Метод Монте-Карло в імітаційному моделюванні

Метод Монте-Карло — сукупність формальних процедур, засобами яких відтворюються на ЕОМ будь-які випадкові фактори (випадкові події, випадкові величини з довільним розподілом, випадкові вектори тощо). У межах цього підходу будується імовірнісна модель, яка відповідає математичній чи фізичній задачі, і на ній реалізується випадкова вибірка. «Розігрування» вибірок за методом Монте-Карло є основним принципом імітаційного моделювання систем із стохастичними (випадковими, імовірними) елементами.

Метод Монте-Карло застосовується в багатьох галузях науки і техніки. Більшість виробничих і соціальних процесів, що характерні для господарських та економічних систем, значною мірою відбуваються під впливом випадкових факторів, які не підлягають контролю з боку осіб, відповідальних за прийняття і реалізацію рішень у контексті забезпечення оптимального функціонування систем.

Зародження методу Монте-Карло пов’язане з дослідженнями фон Неймана та Улана наприкінці 40-х років, коли вони запровадили термін «метод Монте-Карло» і застосували цей метод до розв’язання деяких задач екранування ядерних випромінювань.

Методи Монте-Карло – це загальна назва групи методів для рішення різних задач за допомогою випадкових послідовностей. Ці методи (як і вся теорія імовірностей) виросли з спроб людей поліпшити свої шанси в азартній грі. Цим пояснюється і той факт, що назву цій групі методів дало місто Монте-Карло – столиця європейського грального бізнесу.

Імітаційне моделювання по методу Монте-Карло (Monte-Carlo Simulation) дозволяє побудувати математичну модель для проекту з невизначеними значеннями параметрів, і, знаючи ймовірнісні розподіли параметрів проекту, а також зв'язок між змінами параметрів (кореляцію) отримати розподіл прибутковості проекту.

2. Приклад застосування методу Монте-Карло

Задача Бюффона.Кидаємо голку на площину, де зображено рівновіддалені одна від одної паралельні прямі. Яка ймовірність того, що голка перетнеться з однією з прямих?

Теоретично доведено, що ця ймовірність

(5.1)

Це співвідношення дає змогу експериментально визначити число π. Для цього потрібно, кидаючи голку на площину із зображеними на ній паралельними прямими, фіксувати число m перетинів голки з прямими і число n усіх кидань. Оскільки ймовірність випадкової події оцінюється за частотою появи цієї події, то згідно з цією формулою знайдемо наближене значення:

(5.2)

Це твердження перевірили експериментально. Знайдені результати добре підтвердили відоме значення числа π.

Обчислення визначеного інтеграла.Ідею застосування методу Монте-Карло, зокрема для розв’язання цілком детермінованих задач, легко зрозуміти на прикладі обчислення визначеного інтеграла. Нехай потрібно обчислити інтеграл від деякої функції на заданому відрізку змінювання аргументу. Після нескладних перетворень початкову задачу можна звести до задачі обчислення інтеграла

(5.3)

де 0 £ f (x) £ 1 при 0 £ x £ 1.

Схему, що ілюструє обчислення визначеного інтеграла методом Монте-Карло, зображено на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Схема до обчислення визначеного інтеграла

Визначимо площу I фігури, обмеженої кривою y = f (x), віссю x і прямими х = 0, х = 1 (див. рис. 4.3, заштрихована частина).

Уявімо тепер симетричну дзиґу у вигляді десятигранника, кожну з граней якого позначено однією з цифр 0, 1, 2,..., 9. Пустимо дзигу. Після її падіння на верхній грані з однаковою ймовірністю можна очікувати будь-яку з десяти згаданих цифр.

Розглянемо два десяткові k-розрядні числа і , значення яких містяться між нулем та одиницею і утворюються таким чином. Пускаючи k раз дзигу, вважатимемо здобуту послідовність цифр десятковими розрядами числа .

Повторивши експеримент, дістанемо число . Наприклад, якщо k = 5 і на верхній грані дзиґи випали відповідно цифри 0, 3, 7, 0, 5, то шукане число дорівнює 0,03705. Точку з координатами називатимемо випадковою точкою, а спосіб її утворення — киданням.

Очевидно, що ймовірність попадання випадкової точки в заштриховану область дорівнює відношенню площі цієї фігури, тобто значення інтеграла I, до площі квадрата, яка дорівнює одиниці. Отже, ймовірність попадання випадкової точки в заштриховану область дорівнює значенню шуканого інтеграла. Тому задача обчислення інтеграла зводиться до задачі пошуку ймовірності. Останню оцінимо статистичними методами з допомогою відносної частоти.

Кидаємо n випадкових точок на площину квадрата. Нехай виконується умова

(5.4)

Тоді точка належить заштрихованій області. Припустимо тепер, що m — число точок, для яких виконується умова (4.4). Відносна частота попадання точки в заштриховану область дорівнює . Згідно з теоремою Бернуллі

(5.5)

Отже, є наближеним значенням шуканого інтеграла.

Зауважимо, що метод Монте-Карло для обчислення інтеграла доцільно застосовувати для багатовимірних задач, оскільки число необхідних повторень n при заданій точності не залежить від кратності інтеграла.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Поняття про Метод Монте-Карло	\|	Точність оцінки ймовірності за допомогою відносної частоти.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.009 сек.