Нехай функція диференційована в точці . Тоді її приріст у цій точці можна подати у вигляді
,
де при . Отже, доданок є головною частиною приросту функції, яка лінійно залежить від .
Диференціалом функції в точці називається головна частина приросту функції в цій точці, яка лінійно залежить від .
Диференціал функції позначається так:
.
Враховуючи, що , маємо
.
Диференціалом незалежної змінної називається її приріст: .
Отже,
.
Із останньої формули випливає, що похідну можна обчислити як відношення диференціалів:
.
Диференціал функції має наступний геометричний зміст. Нехай точка (рис. 21) на графіку функції має координати , де .
Пряма - дотична до графіка функції в точці . Тоді приріст в точці , який відповідає приросту аргументу, рівний величині відрізка . Оскільки і , то, враховуючи, що , маємо: диференціал функції в точці дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою , тобто дорівнює величині відрізка .
Оскільки диференціал функції є головною частиною її приросту, то це дає можливість застосувати диференціал функції в наближених обчисленнях: із наближеної рівності , тобто
.
Отже
(1)
Приклад. Знайти наближено .
Розв'язування.Розглянемо функцію . Покладемо . Тоді . Далі маємо .
Отже, .
Якщо функції диференційовані, то мають місце наступні формули:
,
,
,
.
Нехай тепер маємо складену функцію , де диференційовані функції в точках і . Тоді
.
Так як
,
то
.
Оскільки , то маємо .
Таким чином, якщо функція складена, то форма диференціалу не змінює свого виду. Цю властивість називають інваріантністю форми диференціалу.