• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Приклади.

.

.

ЛЕКЦІЯ 24

63. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів.

64. Інтегрування найпростіших раціональних дробів.

1. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів

Розглянемо дробово-раціональну функцію , де -

многочлен n-го степеня, а - многочлен k-го степеня. Якщо n³ k, то, виконавши ділення, одержимо

,

де r < k. Наприклад,

.

У вищій алгебрі доводиться, що кожний многочлен можна подати у вигляді добутку

, (1)

де А -коефіцієнт при старшому членові многочлена , а - корені рівняння = 0. Множники називаються елементарними. Якщо серед них є однакові, то групуючи їх, одержимо

, (2)

де . Числа називаються кратностями коренів . Серед коренів можуть бути й комплексні. Якщо - r-кратний комплексний корінь многочлена з дійсними коефіцієнтами, то цей многочлен має також спряжений з r-кратний корінь . Отже, якщо формула (2) містить множник , де , то вона також містить і множник . Перемноживши ці множники, одержимо

=,

де , , p, q - дійсні числа.

Ураховуючи всі комплексні корені многочлена , формулу (2) можна записати у вигляді

,

де - дійсні числа.

Дріб , де r < n називається правильним раціональним дробом.

Теорема. Правильний раціональний дріб , де

можна єдиним чином подати у вигляді суми найпростіших дробів

,

де - дійсні числа.

Подання, про яке йдеться у наведеній теоремі, можна виконати методом невизначених коефіцієнтів, котрий розглянемо на наступному прикладі.

Приклад. Розкласти на найпростіші дроби

.

Розв’язування. Згідно з наведеною теоремою маємо:

,

де - поки що невідомі числа.

Зведемо праву частину останньої рівності до спільного знаменника.

Два многочлени тотожно рівні між собою тоді й тільки тоді, коли рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях х. Тому для визначення коефіцієнтів складемо систему

Розв’язавши цю систему, одержимо:

.

Отже,

.

Читайте також:

1. В чому полягає явище тунелювання через потенціальний бар’єр, наведіть приклади.
2. Конст-правовий звичай як джерело конст права в ЗК,поняття та ознаки,приклади.
3. Приклади.
4. Приклади.
5. Приклади.
6. Приклади.
7. Розглянемо умовні приклади.

Переглядів: 758