• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Основні поняття теорії множин

ОСНОВИ ДИСКРЕТНОЇ МАТЕМАТИКИ

ПРАКТИКУМ

Рекомендовано вченою радою ППІ НУК, протокол № 4 від 25.02.2008 р.

Первомайськ 2008

УДК 519.854(075.8)

М. В. Святецький, І. О. Островська. Основи дискретної математики: Практикум. – Миколаїв: ППІ НУК, 2008 – 36 с.

Кафедра фундаментальних та загальнотехнічних дисциплін

Посібник містить 4 розділи з основ дискретної математики. Кожен розділ включає в себе короткі теоретичні відомості, приклади розв’язання типових задач, питання для самоперевірки, а також завдання для аудиторної та самостійної роботи. Призначений для студентів спеціальності 7.080401 “Інформаційні управляючі системи та технології”.

Рецензент: канд.фіз.-мат.наук, доцент О. П. Слободянюк

© М. В. Святецький

І. О. Островська

© Національний університет

кораблебудування, 2008

ЗМІСТ

ПЕРЕДМОВА

Виконання практичних завдань є необхідною умовою засвоєння теоретичного курсу, а також істотною складовою самостійної роботи студентів – запоруки успішного оволодіння курсом дискретної математики.

Для зручності цей посібник в кожному розділі містить стислий довідковий матеріал (означення, формули та ін.). Наведені приклади розв’язання деяких типових задач. До більшості задач даються відповіді, а до кожної теми питання для самоперевірки.

Слід відмітити, що розв’язуванню прикладів (задач) повинно передувати вивчення теоретичного матеріалу на лекційних аудиторних заняттях, а також шляхом самостійного вивчення з використанням рекомендованої літератури. Вказана література може бути використана для поглибленого вивчення даної дисципліни.

РОЗДІЛ 1. МНОЖИНИ

Основні поняття теорії множин

Під множиною слід розуміти певну сукупність деяких об’єктів або деякий набір предметів, що мають принаймні одну спільну властивість. Об’єкти, що утворюють множину, називаються її елементами. Множина вважається визначеною, якщо можна встановити, чи є будь-який об’єкт її елементом, чи ні.

Дві множини A і B рівні, A = B, тоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини A є і елементом множини B, і навпаки.

Є кілька способів задання множин:

1. Список (перелік) усіх елементів множини (наприклад, A = {1, 3, 5, 8}).

2. Предикатний за допомогою характеристичної властивості P(x), спільної для всіх елементів: X ={x êP(x)}. В цьому випадку aÎ{x êP(x)}, якщо P(a) істинне. Наприклад, {x êx² = 4}− це множина чисел, квадрат яких дорівнює чотирьом; { xêx –великі літери українського алфавіту}={А, Б,…, Я}.

3. Аналітичний, тобто задання множини з використанням формул, які містять операції над відомими множинами.

Множина A, всі елементи якої належать і множині B, називається підмножиною множини B. Це відношення між множинами називається відношенням включення і позначається символом Ì, тобто A Ì B. Вважається, що підмножиною будь-якої множини є порожня множина Æ, тобто Æ Ì A.

Питання для самоперевірки

1.Що таке множина? Наведіть приклади різних множин.

2.Як можна задати множину?

3.В яких випадках можна говорити, що множини K₁, K₂, i K₃ є рівними?

4.Що таке скінченна та нескінченна множини? До яких з цих множин відноситься порожня множина?

5.Для чого використовується порожня множина?

6.Що таке підмножина? Чи завжди будь-яка множина містить порожню множину?

7.Які підмножини називаються властивими підмножинами деякої множини?

Література: [1], c. 14-19; [2], c. 5-8.

Вправи

1. Які з наведених співвідношень неправильні і чому?

а) xÎ{3, b, x}; б) 3Î{2, {3, 4}, 5}; в) xÎ{4, cos x} г) {x, , y}Î{a, {x, y},b}.

2. Перерахуйте всі елементи наступних множин:

а){x êx є множником числа 12};

б) {x êx є однією із цифр шестизначного числа 543163};

в) {x êx є буквою слова “математика”}.

3. Запишіть множини за допомогою визначальної властивості:

а) {1, 3, 5, 7, 9}; б) ; в) .

4. Дано множини А і В. Які з них рівні між собою ?:

а) A = {2, 7, 8}; B = {8, 2, 7}; б) A = {1, {3, 5},4}; B = {1, 3, 4, 5} в) А=Æ; B = {Æ}.

5. Довести, що коли A є множиною коренів рівняння x² + 8x – 9 =0 і

B = (–9, 1), то A = B.

6. Довести, що існує лише одна множина, яка не має жодного елемента.

7. Дано множини: A = {1, 3, 5, 7}; B = {3, 5}; E = {2}; D = {5, 7, 9}. Вкажіть серед наступних тверджень істинні і хибні:

а) B Ì A; б) E ÌA; в) B Ì D; г) D Ì A; д) E Ë B; е) Æ Ì B.

8. Напишіть всі можливі підмножини для множин:

а) M = {a, b , c}; б) M = {y êyê є парне число між 1 і 9}; в) M = {{1, 2, 3}, 2}.

9. Прийнявши множину перших двадцяти натуральних чисел за універсум, напишіть наступні її підмножини: А - парних чисел; В- непарних чисел; С - квадратів чисел; D - простих чисел. В яких відношеннях знаходяться ці підмножини?

10. В яких відношеннях знаходяться між собою наступні три множини: A = (1, 3); B – множина непарних натуральних чисел; С – множина коренів рівняння x² – 2x + 1 = 0?

11. Вибрати порожні множини:

а) Х = { х êх є розв'язок рівняння х²=0 }; б) Z = { Æ }; в) W = { х êх є людиною, чий вік перевищує 200 років}; д) V ={ х êх є дійсний корінь рівняння х² - 2х + +2=0}.

12. Дано множини: А = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }; B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }; C = {2, 4, 4, 5, 6 }; D = { 3, 4 }. Завершіть формулювання наступних тверджень, вставляючи замість крапок правильні символи: а) 3 ... A; б) 2 ... D; в) С ... D; г) C ... B; д) Æ ... D.

Читайте також:

1. I. ОСНОВНІ ЕТАПИ ВИКОНАННЯ КУРСОВОЇ РОБОТИ
2. II. Основні закономірності ходу і розгалуження судин великого і малого кіл кровообігу
3. II. Основні засоби
4. II. ОСНОВНІ ПОВНОВАЖЕННЯ ТРУДОВИХ КОЛЕКТИВІВ
5. II. Поняття соціального процесу.
6. II.3. Основні способи і прийоми досягнення адекватності
7. III. Основні обов'язки робітників та службовців
8. IV. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ ПРО ПЕРШУ МЕДИЧНУ ДОПОМОГУ ПОТЕРПІЛИМ.
9. IV. Основні обов'язки адміністрації
10. V. ОСНОВНІ ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ КУРСОВОЇ РОБОТИ
11. V. Поняття та ознаки (характеристики) злочинності
12. VII. ОСНОВНІ ЕТАПИ РОЗВИТКУ УКРАЇНСЬКОЇ КУЛЬТУРИ У ХХ ст.

Переглядів: 3928