МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||||||||||||||||||||
Функція розподілу ймовірностей (інтегральна функція) та її властивостіЗакон розподілу ймовірностей можна подати ще в одній формі, яка придатна і для дискретних, і для неперервних випадкових величин, а саме: як функцію розподілу ймовірностей випадкової величини F(х), так звану інтегральну функцію. Функцію аргументу х, що визначає ймовірність випадкової події Х < x, називають функцією розподілу ймовірностей: F(x) = P(X < x) (62) Цю функцію можна тлумачити так: унаслідок експерименту випадкова величина може набути значення, меншого за х . Розглянемо властивості F(x): 1. Ця властивість випливає з означення функції розподілу. 2. є неспадною функцією, а саме , якщо .
Доведення.Позначимо відповідно А, В, С події (Х < x2), (Х < x1) і . Випадкові події В і С є несумісними (А С = Æ) / Тоді подію А можна записати так: А = В С (А = В + С). За формулою додавання для несумісних випадкових подій (6) маємо: Р(А) = Р(В С) = Р(В) + Р(С) або Р(Х < x2) = Р(Х < x1) + P(x1 £ Х £ х2). (63) Звідси на підставі означення інтегральної функції F(x), дістаємо F(x2) = F(x1) + P(x1 £ Х £ х2) або (64) Отже, Із другої властивості F(x) випливають наведені далі висновки: 1. Імовірність того, що випадкова величина Х набуде можливого значення , дорівнює приросту інтегральної функції F(x) на цьому проміжку: (65) 2. Якщо випадкова величина Х є неперервною, то ймовірність того, що вона набуде конкретного можливого значення, завжди дорівнює нулю: І справді, поклавши в (65) , дістанемо . Коли маємо: . (66) Оскільки при Х = хі, то що й потрібно було довести. Отже, для неперервної випадкової величини Х справджуються такі рівності: (67) 3. Якщо , виконуються два подані далі співвідношення. 1) Оскільки подія Х < – ¥ полягає в тому, що випадкова величина набуває значення, яке міститься ліворуч від – ¥. А така подія є неможливою (Æ). 2) Подія Х < полягає в тому, що випадкова величина Х набуває числового значення, яке міститься ліворуч від + ¥. Ця подія є віро- Із цих двох співвідношень випливає висновок: якщо можливі значення випадкової величини Х належать обмеженому проміжку [а; b], то (68) Приклад 6.Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:
Побудувати F(x) та її графік. Розв’язання. Згідно з властивостями F(x), дістаємо наведені далі співвідношення. 1) F(– 4) = P(X < – 4) = 0; 2) F(–1) = P(X < –1) = P(X = – 4) = 0,1; 3) F(2) = P(X < 2) = P(X = – 4) + P(X = –1) = 0,1 + 0,2 = 0,3; 4)F(6) = P(X < 6) = P(X = – 4) + P(X = –1) + P(X = 2) = 0,1 + 0,2 + 5) F(9) = P(X < 9) = P(X = – 4) + P(X = –1) + P(X = 2) + P(X = 6) = 6) F(12) = P(X < 13) = P(X = – 4) + P(X = –1) + P(X = 2) + P(X = 9) = 7) F(x)|x >13 = P(X > 13) = P(X = – 4) + P(X = –1) + P(X = 2) + P(X = 9) + Компактно F(x) можна записати в такій формі: Графік функції F(x) зображено на рис. 23. Рис. 23
22. Щільність імовірностей (диференціальна функція) f(x) і її властивості Для неперервних випадкових величин закон розподілу ймовір- Щільністю ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається перша похідна від інтегральної функції F(x): (69) звідки Оскільки то добуток f (x) dx — ймовірність того, що випадкова величина Х міститиметься у проміжку [х, х + dx], де . Геометрично на графіку щільності ймовірності f (x) dx відповідає площа прямокутника з основою dx і висотою f (x) (рис. 27а). Рис. 27а Властивості f (x) 1. . Ця властивість випливає з означення щільності ймовірності як першої похідної від F(x) за умови, що F(x) є неспадною функцією. 2. Умова нормування неперервної випадкової величини Х: (70)
Доведення. Якщо неперервна випадкова величина Х визначена лише на проміжку [a; b], то умова нормування має такий вигляд: (71) 3. Імовірність попадання неперервної випадкової величини в інтервалі обчислюється за формулою
(72) Доведення. За властивістю функції розподілу ймовірностей (67) Залежність (72) можна подати так: 4. Функція розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини має вигляд (73)
Доведення. . Якщо можливі значення неперервної випадкової величини належать лише інтервалу [а; b], то (74) Приклад 2. Закон неперервної випадкової величини Х задано у вигляді: Знайти F(x) і побудувати графіки функцій f (x), F(x). Обчислити Розв’язання.Згідно із (74) маємо: Отже, функція розподілу ймовірностей буде така: Графіки функцій f (x), F(x) зображені відповідно на рис. 29 і 30. Рис. 29 Рис. 30 Імовірність події можна обчислити згідно з (65) або (72). Застосуємо формулу (72): Читайте також:
|
||||||||||||||||||||||||||
|