• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Конус. Осьовий переріз конуса. Перерізи конуса площинами.

Конус – це тіло, що складається з круга, точки, що не лежить на площині круга, та відрізків, що сполучають дану точку з точками круга.

Конус – тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо одного із його катетів.

Основою конуса є круг, вершиною конуса є точка, що не лежить у площі круга, твірними конуса є відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи.

Прямим є конус, у якого пряма, що сполучає вершину конуса з центром його основи, перпендикулярна до площини основи. Висотою конуса є перпендикуляр, опущений з вершини на площу основи.

Віссю прямого конуса є пряма, що містить його висоту.

Площина, паралельна основі прямого конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню по колу з центром на осі конуса.

Якщо січна площина проходить через вісь конуса, то його переріз – це рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює діаметру основи конуса, а бічні сторони є твірними конуса. Такий переріз називається осьовим.

Конус, осьовий переріз якого є рівностороннім трикутником, називається рівностороннім конусом. Якщо січна площина проходить через вершину конуса під кутом до площини основи, то його переріз – це рівнобедрений трикутник, основа якого є хордою основи конуса, а бічні сторони – твірними конуса.

Якщо січна площина проходить паралельно основі конуса, то перерізом є круг з центром на осі конуса. Така січна площина розтинає конус на дві частини – конус і зрізаний конус. Круги, що лежать у паралельних площинах цього конуса, – його основи; відрізок, що з’єднує їх центри, - це висота зрізаного конуса.

Дотичною площиною до конуса називається площина, що проходить через твірну конуса і перпендикулярна площині осьового перерізу, яка містить цю твірну.

Конус.

- площа бічної поверхні конуса.

- площа повної поверхні конуса.

- об’єм конуса.

Розв’язання задач, підготовка до письмової роботи

до теми«Площі поверхонь та об’єм конуса».

№ 1.

Дано конус. Твірна = 15 см, а діаметр основи = 18 см.

Знайти:

1) S осьового перерізу; 2) S основи; 3) S бічної поверхні; 4) S повної поверхні; 5) V конуса.

Дано конус, l = АS = 15 см, АВ = 18 см.

Знайти: 1) - ? 2) -? 3) -? 4) -? 5) -?

Розв’язання:

1) - ?

Осьовим перерізом конуса є рівнобедрений трикутник АSВ. АS = ВS. Його площу знайдемо за формулою: . ; ОS - ?

З D АОS (ÐО = 90°) за теоремою Піфагора обчислимо ОS.

Н = ОS = 12 см.

Обчислимо . , = 108 см².

2) -?

Основою конуса є круг, його площа знаходиться за формулою: .

Обчислимо . R = АВ = ×18 = 9 (см), . = 81p см².

3) -?

; ; = 135p см².

4) -?

; ; = 216p см².

5) -?

Для знаходження об’єму конуса скористаємося формулою: .

Обчислимо . (см³), = 324 p см³.

Відповідь:

1. = 108 см².
2. = 81p см².
3. = 135p см².
4. = 216p см².
5. = 324 p см³.

№ 2.

Дано конус. Висота конуса = 4 см, а довжина кола основи = 6p см.

Знайти:

1) S осьового перерізу; 2) S основи; 3) S бічної поверхні; 4) S повної поверхні; 5) V конуса.

Дано конус, Н = ОS = 4 см, с = 6p см.

Знайти: 1) - ? 2) -? 3) -? 4) -? 5) -?

Розв’язання:

1) - ?

Осьовим перерізом конуса є рівнобедрений трикутник АSВ. АS = ВS. Його площу знайдемо за формулою: . ; АВ - ?

АВ = 2 АО = 2R, R - ?

За умовою: с = 6p см. За формулою: .

с = с, = 6p , R = 3 см, тоді АВ = 2×3 = 6(см), АВ = 6 см.

Обчислимо . , =12 см².

2) -?

Основою конуса є круг, його площа знаходиться за формулою: .

Обчислимо , . = 9p см².

3) -?

, l = АS - ?

З D АОS (ÐО = 90°) за теоремою Піфагора обчислимо АS.

l = АS = 5 см.

Обчислимо . , = 15p см².

4) -?

; ; = 24p см².

5) -?

Для знаходження об’єму конуса скористаємося формулою: .

Обчислимо . (см³), = 12p см³.

Відповідь:

1. = 12 см².
2. = 9p см².
3. = 15p см².
4. = 24p см².
5. = 12p см³.

№ 3.

Дано конус. Кут нахилу твірної до основи = 30°. Твірна = 12 см.

Знайти:

1) S осьового перерізу; 2) S основи; 3) S бічної поверхні; 4) S повної поверхні; 5) V конуса.

Дано конус, l = АS = 12 см, ÐSАО = 30°.

Знайти: 1) - ? 2) -? 3) -? 4) -? 5) -?

Розв’язання:

1) - ?

Осьовим перерізом конуса є рівнобедрений трикутник АSВ. АS = ВS. Його площу знайдемо за формулою: . ; АВ - ? ОS - ?

З D АОS (ÐО = 90°) за співвідношенням кутів та сторін в прямокутному трикутнику обчислимо ОS і АО: sin ÐА = Þ ; , Н = ОS = 6 см.

cosÐА = Þ ; . АО = R = см.

Довжину АО можна знайти іншим способом: через tg ÐA, або ctgÐA, або за теоремою Піфагора.

АВ = 2×R = 2× = (см)

Обчислимо . , = см².

2) -?

Основою конуса є круг, його площа знаходиться за формулою: .

Обчислимо , . = 108p см².

3) -?

; ; = p см².

4) -?

; ;

= p см².

5) -?

Для знаходження об’єму конуса скористаємося формулою: .

Обчислимо . (см³), = 216p см³.

Відповідь:

1. = см².
2. = 108p см².
3. = p см².
4. = p см².
5. = 216p см³.

№ 4.

Дано конус. Кут нахилу твірної до висоти = 60°. Твірна = 8см.

Знайти: 1) S осьового перерізу; 2) S основи; 3) S бічної поверхні; 4) S повної поверхні; 5) V конуса.

Дано конус, l = АS = 8 см, ÐАSО = 60°.

Знайти: 1) - ? 2) -? 3) -? 4) -? 5) -?

Розв’язання:

1) - ?

Осьовим перерізом конуса є рівнобедрений трикутник АSВ. АS = ВS. Його площу знайдемо за формулою: . ; АВ - ? ОS - ?

З D АОS (ÐО = 90°) маємо, що ÐSАО = 30°, тому ОS = АS = × 8 = 4(см), (катет, що лежить навпроти кута 30° дорівнює гіпотенузи.) Н = 4 см.

З D АОS (ÐО = 90°) за теоремою Піфагора обчислимо АО:

R= см

АВ = 2 АО = 2× = (см). Обчислимо . , = см².

2) -? .

Обчислимо , . = 48p см².

3) -?

; ; = p см².

4) -?

; ;

= p см².

5) -?

Для знаходження об’єму конуса скористаємося формулою: .

Обчислимо . (см³), = 64p см³.

Відповідь:

1. = см².
2. = 48p см².
3. = p см².
4. = p см².
5. = 64p см³.

Письмова робота до теми«Площі поверхонь та об’єм конуса».

І варіант.

1. Дано конус. Твірна = 10 см, а довжина кола основи = 12p см.

Знайти: 1) S осьового перерізу; 2) S основи; 3) S бічної поверхні; 4) S повної поверхні; 5) V конуса.

2. Дано конус. Кут нахилу твірної до основи = 30°. Твірна = 10 см.

Знайти: 1) S осьового перерізу; 2) S основи; 3) S бічної поверхні; 4) S повної поверхні; 5) V конуса.

ІІ варіант.

1. Дано конус. Висота конуса = 16 см, а діаметр основи = 24 см.

Знайти: 1) S осьового перерізу; 2) S основи; 3) S бічної поверхні; 4) S повної поверхні; 5) V конуса.

2. Дано конус. Кут нахилу твірної до висоти = 60°. Твірна = 10 см.

Знайти: 1) S осьового перерізу; 2) S основи; 3) S бічної поверхні; 4) S повної поверхні; 5) V конуса.

Читайте також:

1. А АА1В1В – осьовий переріз
2. Вибір перерізу повітряних ліній
3. Вибір перерізу провідників у мережах напругою до 1000 В з урахуванням плавких запобіжників
4. Вибір перерізу провідників у мережах напругою до 1000В з урахуванням автоматичних вимикачів і теплових реле
5. Визначення площі перерізу арматури
6. Визначення потрібної площі перерізу стояка.
7. Визначення розмірів поперечного перерізу колони
8. Внутрішні сили. Метод перерізів
9. Геометричні характеристики деяких перерізів
10. Геометричні характеристики поперечного перерізу
11. Головні осі інерції та головні моменти інерції перерізу
12. Головні осі інерції та головні моменти інерції перерізу

Переглядів: 20104