Нехай - диференційовна в точці , а, отже, частинні похідні , які є функціями змінних і від них можна брати похідні. Позначають другу похідну, наприклад, по х: . Частинні похідні по різним змінним називають мішаними похідними: , і т. д.
- похідна за означенням.
Для функції двох змінних , маємо 2 частинні похідні І порядку і чотири частинні похідні другого порядку
Частинних похідних третього порядку буде вже вісім.
Приклад:. Знайдемо мішану похідну:
Природно ставити питання чи залежить результат диференціювання функцій багатьох змінних від послідовності диференціювання по різним змінним, тобто чи тотожні, наприклад, .
Справедлива теорема (про мішані похідні)
і неперервні в точці Р0 і в деякому околі точки Р0 , тоді в цій точці похідна не залежить від порядку її обчислення і
Якщо мішані похідні не будуть неперервні в точці Р0 , то теорема може не виконуватись.
Означення. називається п раз диференційовною в точці Р0 , якщо частинні похідні по всім змінним до (п-1) порядку, і кожна з них як функція диференційована в точці Р0.
Теорема. Якщо двічі диференційовна в точці Р0 є Е, то справедлива рівність:
Має місце загальна теорема про мішані похідні.
Якщо , п-раз диференційовна в точці Р0 , то похідна п-того порядку не залежить від послідовності її обчислення.
Диференціали вищих порядків
, .
Нехай існує такий окіл , що диференційована :
,
.
Якщо визначений в околі і диференційовний в точці , то його диференціал називається другим диференціалом в точці :