• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Похідні вищих порядків

Нехай - диференційовна в точці , а, отже, частинні похідні , які є функціями змінних і від них можна брати похідні. Позначають другу похідну, наприклад, по х: . Частинні похідні по різним змінним називають мішаними похідними: , і т. д.

- похідна за означенням.

Для функції двох змінних , маємо 2 частинні похідні І порядку і чотири частинні похідні другого порядку

Частинних похідних третього порядку буде вже вісім.

Приклад:. Знайдемо мішану похідну:

Природно ставити питання чи залежить результат диференціювання функцій багатьох змінних від послідовності диференціювання по різним змінним, тобто чи тотожні, наприклад, .

Справедлива теорема (про мішані похідні)

і неперервні в точці Р₀ і в деякому околі точки Р₀ , тоді в цій точці похідна не залежить від порядку її обчислення і

Якщо мішані похідні не будуть неперервні в точці Р₀ , то теорема може не виконуватись.

Означення. називається п раз диференційовною в точці Р₀ , якщо частинні похідні по всім змінним до (п-1) порядку, і кожна з них як функція диференційована в точці Р_0.

Теорема. Якщо двічі диференційовна в точці Р₀ є Е, то справедлива рівність:

Має місце загальна теорема про мішані похідні.

Якщо , п-раз диференційовна в точці Р₀ , то похідна п-того порядку не залежить від послідовності її обчислення.

Диференціали вищих порядків

, .

Нехай існує такий окіл , що диференційована :

,

.

Якщо визначений в околі і диференційовний в точці , то його диференціал називається другим диференціалом в точці :

Визначимо диференціали для функції двох змінних:

. Останній вираз є символічним записом.

Диференціал п-го порядку для :

Читайте також:

1. Визначники малих порядків
2. Диференціали вищих порядків.
3. Загальна характеристика вищих рослин.
4. Загальна характеристика професійної діяльності психолога у спорті вищих досягнень.
5. Історія розвитку методу культури клітин вищих рослин
6. Нескінченні похідні
7. Односторонні похідні
8. Означення 5.5. Якщо існують похідні , то матриця
9. Поверхневі м’язи – похідні зябрових дуг
10. Похідні від права власності правові титули майна: право довірчої власності, право господарського відання, право оперативного управління, право користування.
11. Похідні дифенілметану

Переглядів: 1838