Лінійними операціями над векторами називають додавання і множення векторів на число.
Нехай і – два довільні вектори (рис. 5.2). Тоді вектор називається сумою векторів і та позначається . Це правило додавання векторів називають правилом трикутника.
Суму двох векторів можна знайти і за правилом паралелограма (рис. 5.3).
Під сумою трьох векторів розуміють вектор, отриманий послідовним додаванням даних векторів: .
Аналогічно визначається сума п векторів.
Різницею векторів і називається вектор, рівний сумі векторів і : .
Відмітимо, що в паралелограмі, побудованому на векторах і , одна направлена діагональ є їх сумою, а інша – різницею (рис. 5.4).
Добутком вектора на число називається вектор або , довжина якого рівна , має напрямок вектора ,якщо і протилежно направлений, якщо .
З означення добутку вектора на число випливають властивості цього добутку:
1) якщо , то і навпаки, якщо , то при деякому вірна рівність ;
2) , тобто кожний вектор рівний добутку його модуля на орт.
Властивості лінійних операцій над векторами:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .
Ці властивості дозволяють проводити перетворення в лінійних операціях над векторами так, як це робиться в алгебрі: доданки міняти місцями, вводити дужки, групувати, виносити за дужки як скалярні, так і векторні множники.