• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Розклад вектора за базисом

Нехай дано вектори .

Вектор

,

де – числа,

називається лінійною комбінацією векторів , а числа – коефіцієнтами цієї комбінації.

Якщо вектор представлений у вигляді лінійної комбінації векторів , тобто , то кажуть, що вектор розкладений за векторами .

Базисом на площині назвемо два ненульових, неколінеарних вектори цієї площини, взятих в певному порядку.

Нехай на площині заданий базис . Доведемо, що будь-який вектор цієї площини можна єдиним чином розкласти за базисними векторами .

Розглянемо можливі випадки:

1) Вектор колінеарний одному з базисних векторів, наприклад, . Тоді за властивостями добутку вектора на число існує таке число , що або і такий розклад єдиний.

2) Вектор не колінеарний ні одному з базисних векторів. Зобразимо три вектори , , (рис. 5.5). Очевидно, що єдиним чином можна представити у вигляді , де і колінеарні відповідно векторам , а отже існують такі числа і , що , і

. (5.1)

Коефіцієнти і розкладу (5.1) називаються координатами вектора в базисі і записують (,).

Таким чином, кожному вектору на площині в заданому базисі відповідає єдина пара чисел, взятих в певному порядку, і навпаки, кожній парі чисел, взятих в певному порядку, відповідає в заданому базисі єдиний вектор на площині.

Базисом в просторі назвемо три некомпланарних вектори, взятих в певному порядку.

Нехай в просторі заданий базис . Доведемо, що будь-який вектор можна єдиним чином розкласти за базисними векторами .

Розглянемо можливі випадки:

1) Вектор і два базисних вектори, наприклад, компланарні. Як показано вище, або .

2) Вектор не компланарний з жодними двома з базисних векторів. Зобразимо вектори , , , (рис. 5.6). Очевидно, що єдиним чином можна представити у вигляді , де колінеарний , а компланарний з векторами . Тоді існують такі числа , , , що вектор єдиним чином можна представити у вигляді , а . Отже

. (5.2)

Коефіцієнти , , розкладу (5.2) називаються координатами вектора в базисі і записують (,,).

Таким чином, кожному вектору простору в заданому базисі відповідає єдина трійка чисел, взятих в певному порядку, і навпаки, кожній трійці чисел, взятих в певному порядку, відповідає в заданому базисі єдиний вектор.

Відмітимо, що всі координати нульового вектора рівні нулю. Якщо вектор , то .

Базис називається ортонормованим, якщо базисні вектори одиничні і попарно ортогональні.

Читайте також:

1. В. Друга теорема про розклад.
2. Вектори, лінійні операції над векторами
3. Вибір оптимального розкладу (режиму) роботи в наукових організаціях.
4. Визначення вектора за компонентами
5. Від продрозкладки до терору голодом
6. Гігієнічні вимоги до розкладу уроків
7. Графік і розклад руху пасажирських поїздів.
8. Кут між двома векторами.
9. Лінійні операції над векторами
10. Лінійні операції над векторами в координатній формі
11. Лютого – 1-й тиждень РОЗКЛАД ЗАНЯТЬ
12. Метод інтегрування розкладу

Переглядів: 2044