Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Розклад вектора за базисом

Нехай дано вектори .

Вектор

,

де – числа,

називається лінійною комбінацією векторів , а числа коефіцієнтами цієї комбінації.

Якщо вектор представлений у вигляді лінійної комбінації векторів , тобто , то кажуть, що вектор розкладений за векторами .

Базисом на площині назвемо два ненульових, неколінеарних вектори цієї площини, взятих в певному порядку.

Нехай на площині заданий базис . Доведемо, що будь-який вектор цієї площини можна єдиним чином розкласти за базисними векторами .

Розглянемо можливі випадки:

1) Вектор колінеарний одному з базисних векторів, наприклад, . Тоді за властивостями добутку вектора на число існує таке число , що або і такий розклад єдиний.

2) Вектор не колінеарний ні одному з базисних векторів. Зобразимо три вектори , , (рис. 5.5). Очевидно, що єдиним чином можна представити у вигляді , де і колінеарні відповідно векторам , а отже існують такі числа і , що , і

. (5.1)

Коефіцієнти і розкладу (5.1) називаються координатами вектора в базисі і записують (,).

Таким чином, кожному вектору на площині в заданому базисі відповідає єдина пара чисел, взятих в певному порядку, і навпаки, кожній парі чисел, взятих в певному порядку, відповідає в заданому базисі єдиний вектор на площині.

Базисом в просторі назвемо три некомпланарних вектори, взятих в певному порядку.

Нехай в просторі заданий базис . Доведемо, що будь-який вектор можна єдиним чином розкласти за базисними векторами .

Розглянемо можливі випадки:

1) Вектор і два базисних вектори, наприклад, компланарні. Як показано вище, або .

2) Вектор не компланарний з жодними двома з базисних векторів. Зобразимо вектори , , , (рис. 5.6). Очевидно, що єдиним чином можна представити у вигляді , де колінеарний , а компланарний з векторами . Тоді існують такі числа , , , що вектор єдиним чином можна представити у вигляді , а . Отже

. (5.2)

Коефіцієнти , , розкладу (5.2) називаються координатами вектора в базисі і записують (,,).

Таким чином, кожному вектору простору в заданому базисі відповідає єдина трійка чисел, взятих в певному порядку, і навпаки, кожній трійці чисел, взятих в певному порядку, відповідає в заданому базисі єдиний вектор.

Відмітимо, що всі координати нульового вектора рівні нулю. Якщо вектор , то .

Базис називається ортонормованим, якщо базисні вектори одиничні і попарно ортогональні.

 


Читайте також:

  1. В. Друга теорема про розклад.
  2. Вектори, лінійні операції над векторами
  3. Вибір оптимального розкладу (режиму) роботи в наукових організаціях.
  4. Визначення вектора за компонентами
  5. Від продрозкладки до терору голодом
  6. Гігієнічні вимоги до розкладу уроків
  7. Графік і розклад руху пасажирських поїздів.
  8. Кут між двома векторами.
  9. Лінійні операції над векторами
  10. Лінійні операції над векторами в координатній формі
  11. Лютого – 1-й тиждень РОЗКЛАД ЗАНЯТЬ
  12. Метод інтегрування розкладу




Переглядів: 2144

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Лінійні операції над векторами | Лінійні операції над векторами в координатній формі

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.003 сек.