Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Лінійні операції над векторами в координатній формі

Нехай заданий базис і вектори (,,), або, що те ж саме, , .

Сума векторів.Запишемо суму векторів

або, згідно властивостям лінійних операцій над векторами,

. (5.3)

Таким чином, при додаванні векторів їх відповідні координати додаються.

Добуток вектора на число.Помножимо вектор на число :

або

. (5.4)

Тобто при множенні вектора на число координати вектора множаться на це число.

Приклад 5.1.В базисі дано вектори , . Знайти вектор .

Розв’язок. Згідно формулам (5.3), (5.4)

.

Відповідь: t

Рівність векторів.З означення вектора як направленого відрізка, який можна переміщати в просторі паралельно самому собі, випливає, що два вектори і рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх координати:

Колінеарність векторів.Вияснимо умови колінеарності векторів і ,заданих своїми координатами.

Так як , то за властивостями добутку вектора на число можна записати , де – деяке число, тобто

.

Звідси , , , тобто , , або

. (5.5)

Таким чином, координати колінеарних векторів пропорційні. Справедливе і обернене твердження: вектори, що мають пропорційні координати, колінеарні.

Зауваження. Співвідношення (5.5) умовно записуватимемо і у випадку, коли серед чисел , , є рівні нулю.

Нехай на площині заданий базис і вектори , . В цьому випадку мають місце формули, аналогічні формулам (5.3) – (5.5).

Приклад 5.2.Перевірити, чи колінеарні вектори і , задані в базисі :

а) , ; б) , .

Розв’язок. Згідно формули (5.5):

а) , а отже .

б) .

Так як друга координата в обох векторів рівна нулю, то їх можна розглядати як вектори, задані на площині в базисі , а отже і . t

Приклад 5.3.В базисі дано вектори , . Показати, що вектори утворюють базис, і знайти координати вектора в базисі .

Розв’язок. Якщо два вектори утворюють базис, то вони неколінеарні. Згідно формули (5.5):

,

а отже вектори неколінеарні і утворюють базис.

В новому базисі вектор можна представити у вигляді лінійної комбінації

,

де коефіцієнти , – невідомі і є координатами вектора в базисі .

Знайдемо ці координати. Для цього розпишемо розклад вектора в координатній формі:

,

що рівносильно системі двох лінійних рівнянь з двома невідомими

Розв’яжемо цю систему за формулами Крамера:

; .

Обчислимо визначники:

;

;

.

Отримаємо ; .

Відповідь: . t

Приклад 5.4.В базисі дано вектори , , . Показати, що вектори утворюють базис, і знайти координати вектора в базисі .

Розв’язок. Якщо три вектори утворюють базис, то жоден з них не є лінійною комбінацією двох інших. Тоді визначник, складений з координат цих векторів, відмінний від нуля, так як лінійні операції над векторами зводяться до відповідних лінійних операцій над їх координатами. Обчислимо цей визначник:

.

Отже, вектори утворюють базис.

В новому базисі вектор можна представити у вигляді лінійної комбінації

,

де коефіцієнти – невідомі і є координатами вектора в базисі .

Знайдемо ці координати. Для цього розпишемо розклад вектора в координатній формі:

,

що рівносильно системі трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Розв’яжемо цю систему за формулами Крамера:

; ; .

Очевидно, що визначник як визначник транспонованої матриці:

.

Обчислимо

Отримаємо ; ;

Відповідь: . t

 


Читайте також:

  1. Активні операції банків
  2. Активні операції комерційних банків
  3. Алгебраїчні операції
  4. Арифметичні операції
  5. Арифметичні операції в різних системах числення
  6. Арифметичні операції над цілими числами
  7. Багатоконтурні лінійні електричні ланцюги
  8. Банк і його операції. Правова природа банківської діяльності
  9. Бартерні операції
  10. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
  11. Біржові операції.
  12. Біржові операції. Котирування цін на біржі




Переглядів: 3612

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Розклад вектора за базисом | Декартова прямокутна система координат

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.02 сек.