• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Випадковий процес

Теорія випадкових величин вивчає імовірнісні явища "в статиці", розглядаючи їх як деякі зафіксовані результати експериментів. Для опису сигналів, які відображають розвинуті у часі випадкові явища, методи класичної теорії ймовірностей виявляються недостатніми. Подібні завдання вивчає – теорія випадкових процесів.

За визначенням, випадковий процес - це особливого виду функція, що характеризується тим, що в будь-який момент часу прийняті його значення є випадковими.

Ансамблі реалізацій. Маючи справу з детермінованими сигналами, ми відображаємо їх функціональними залежностями або осцилограмами. Якщо ж мова йде про випадкові процеси, фіксується на певному проміжку часу миттєві значення випадкового сигналу, то отримуємо лише єдину реалізацію випадкового процесу. Випадковий процес являє нескінченну сукупність таких реалізацій, що утворюють статичний ансамбль. Наприклад, ансамблем є набір сигналів , які можна одночасно спостерігати на виходах абсолютно однакових генераторів шумової напруги (мал.8.3)

Мал.8.3

Випадкові процеси, утворені реалізаціями, залежними від кінцевого числа параметрів, прийнято називати квазі детермінованими процесами.

Щільності ймовірності випадкових процесів.

Нехай - випадковий процес, заданий ансамблем реалізацій, а - деякий довільний момент часу. Фіксуючи величини , одержувані в окремих реалізаціях, здійснюємо одномірний перетин даного випадкового процесу і спостерігаємо випадкову величину . Її щільність ймовірності називають одновимірною щільністю ймовірності процесу в момент часу . Поряд з одновимірною щільністю використовуються - мірна щільність ймовірності випадкового процесу .

Моментні функції випадкових процесів.

Менш детальні, але цілком задовільні в практичному сенсі характеристики випадкових процесів можна отримати, обчислюючи моменти тих випадкових величин, які спостерігаються в перетинах цих процесів. Оскільки в загальному випадку ці моменти залежать від тимчасових аргументів, вони отримали назву моментних функцій.

Найбільше значення мають три моментних функції низьких порядків, звані математичним очікуванням, дисперсією і функцією кореляції.

Математичне сподівання

(8.17)

є середнє значення процесу в поточний момент часу ; усереднення проводяться по всьому ансамблю реалізацій процесу.

Дисперсія

(8.18)

Дозволяє судити про ступінь розкиду миттєвих значень, прийнятих окремими реалізаціями у фіксованому перетині , щодо середнього значення.

Двовимірний центральний момент

(8.19)

називається функцією кореляції випадкового процесу . Ця моментна функція характеризує ступінь статистичного зв'язку тих випадкових величин, які спостерігаються при и .

Детерміновані та не детерміновані випадкові процеси.

Кожна реалізація ансамблю часу і її майбутні значення не можуть бути точно передбачені на основі зареєстрованих раніше значень, то такий випадковий процес є недетермінованим. Майже всі існуючі в природі випадкові процеси є недетермінованими.

Однак є можливість визначити випадкові процеси, для яких майбутні значення якої-небудь реалізації можна точно передбачити, знаючи минулі значення. Такі випадкові процеси називають детермінованими (квазідетермінованими). В якості прикладу розглянемо випадковий процес

,

де і - сталі, - випадкова величина з певним розподілом, тобто для якоїсь однієї реалізації величина має одне і те ж значення для всіх , але для інших членів ансамблю - інші значення. У цьому випадку мають місце випадкові змінювані тільки по ансамблю реалізацій, але не за часом.

В якості другого прикладу детермінованого процесу розглянемо періодичний випадковий процес

,

де і - незалежні випадкові величини, які є фіксованими для якоїсь однієї реалізації. Не є необхідним, вимога, щоб детерміновані процеси були періодичними.

Стаціонарні та нестаціонарні випадкові процеси

Стаціонарний процес - випадковий процес, статичні характеристики якого однакові у всіх перетинах ансамблю.

Іншими словами можна сказати, що процес називається стаціонарним якщо всі безумовні одномірні і спільні щільності ймовірностей випадкового процесу не залежать від вибору початку відліку часу.

Якщо яка-небудь з густин ймовірностей змінюється при зсуві початку відліку часу, то випадковий процес є нестаціонарним. У цьому випадку хоча б одна із статичних характеристик (математичне сподівання, моменти) буде залежати від часу.

Якщо ж обмежити вимоги тим, щоб математичне сподівання і дисперсія процесу не залежали від часу, а функція кореляції залежала лише від різниці , тобто , то подібний випадковий процес буде стаціонарним у широкому сенсі.

Властивість ергодичності.

Стаціонарний випадковий процес називають ергодичним, якщо при знаходженні його моментних функцій усереднення по статичному ансамблю можна замінити усередненням за часом. Операція усереднення виконується над єдиною реалізацією , тривалість якої теоретично може бути скільки завгодно велика. Позначаючи усереднення за часом кутовими дужками, запишемо математичне сподівання ергодичного випадкового процесу:

, (8.20)

яке дорівнює постійній складовій обраної реалізації.

Дисперсія подібного процесу

. (8.21)

Аналогічно знаходять функцію кореляції:

(8.22)

Достатньою умовою ергодичності випадкового процесу, стаціонарного в широкому сенсі, є прагнення до нуля функції кореляції при необмеженому зростанні тимчасового зсуву :

(8.23)

Випадковий процес, що не задовольняє умовам (8.20), (8.21), (8.22) є не ергодичним.

Лекція №9

Спектральна щільність і кореляційна функція випадкового процесу їх співвідношення. Вузькосмуговий випадковий процес.

Через імовірнісний характер окремих реалізацій пряме перенесення методів спектрального аналізу в теорію випадкових процесів неможливий. Функціям, що мають різну форму, відповідають різні спектральні характеристики. Випадковий процес в тимчасовій області породжує інший випадковий процес в частотній області. Можна отримати ряд спектральних характеристик, перетворюючи по Фур'є деякі функції, отримані шляхом усереднення реалізацій.

Окремо взята реалізація випадкового процесу є детермінована функція, яку можна представити у вигляді зворотного перетворення Фур'є

(9.1)

з деякою детермінованою спектральною щільністю

Усереднимо миттєві значення сигналів по ансамблю реалізацій:

,

через випадковість і незалежності фаз спектральних складових у різних реалізаціях.

Випадкова спектральна щільність окремих реалізацій стаціонарного випадкового процесу повинна мати нульове математичне сподівання на всіх частотах.

Скористаємося тим, що сигнал дійсний, так що на ряду з (9.1) справедлива рівність

, (9.2)

Запишемо вираз функції кореляції процесу , використовуючи спектральне розкладання випадкових реалізацій:

(9.3)

У внутрішньому підінтегральному виразі множник має сенс функції кореляції випадкової спектральної щільності.

Спектральна щільність потужності стаціонарного випадкового процесу.

Запишемо множник з урахуванням коефіцієнта пропорційності, що залежить від частоти

. (9.4)

Функція називається спектральною щільністю потужності випадкового процесу , (або спектр потужності).

Підставивши (9.4) в (9.3), приходимо до результату:

. (9.5)

Функція кореляції і спектр потужності стаціонарного випадкового процесу пов'язані між собою перетворенням Фур'є. Тому

. (9.6)

Формули (9.5) і (9.6) в теорії випадкових процесів отримали назву теореми Вінера-Хінчина.

. (9.7)

Інтервал кореляції. Випадкові процеси, як правило, мають наступну властивість: їх функція кореляції прагне до нуля із захопленням тимчасового зсуву .

Числовою характеристикою, що служить для оцінки швидкості зміни реалізацій випадкового процесу, є інтервал кореляції, який визначається виразом

. (9.8)

Ефективна ширина спектру. Нехай випадковий процес характеризується функцією - одностороннім спектром потужності, причому - екстремальне значення цієї функції. Замінимо подумки цей випадковий процес іншим випадковим процесом, у якого спектральна щільність потужності постійна і дорівнює в межах ефективної смуги частот , вибирається з умови рівності середніх потужностей обох процесів:

.

Звідси виходить формула для ефективної ширини спектра:

. (9.9)

Дисперсія випадкового процесу може визначатися виразом .

Диференціювання та інтегрування випадкових процесів.

Похідна від випадкового процесу. Припустимо, що реалізація випадкового процесу подається на диференційний пристрій, що створює на виході нову реалізацію . Сукупність реалізацій утворюють випадковий процес , званий похідною процесу .

.

Щоб знайти математичне сподівання похідної, проведемо усереднення по ансамблю реалізацій:

. (9.10)

При диференціюванні стаціонарного випадкового процесу виникає новий випадковий процес з нульовим математичним очікуванням.

Знайдемо функцію кореляції похідної.

Скористаємося тим, що

і представимо функцію кореляції похідної таким чином:

Всі чотири доданки у квадратних дужках являють собою функції кореляції початкового процесу, обчислювальні при різних величинах затримки. Чітко бачити, що

Права частина рівності являє собою другу похідну функції , взяту з протилежним знаком. Таким чином приходимо до формули

(9.11)

Кореляційний зв'язок між випадковим процесом і його похідною. У багатьох задачах електроніки важливим є питання ймовірнісного зв'язку між миттєвими значеннями випадкового сигналу і його похідної. Обчислимо функцію взаємної кореляції випадкових процесів і , провівши усереднення:

звідки

. (9.12)

На підставі (9.12) випливає, що миттєві значення випадкового сигналу і його похідної взяті в один і той же момент часу, є некорельованими.

Вузькосмуговий випадковий процес.

В електронних додатках виняткову роль грає особливий клас випадкових процесів, спектральна щільність потужності яких має різко виражений максимум поблизу деякої частоти , відмінною від нуля, або іншими словами відношення (мал.9.11).

Мал.9.11

Функція кореляції вузькосмугового випадкового процесу. Розглянемо стаціонарний випадковий процес , односторонній спектр потужності якого концентрується в околиці деякої частоти .

За теорією Вінера-Хінчина функція кореляції процесу

. (9.13)

Змістимо спектр з околиці частоти в околицю нульової частоти, виконавши заміну змінної . Тоді вираз (9.13) набуває вигляду

. (9.14)

Відповідно до припущення про вузькосмуговий процес його спектр потужності зникаюче малий на частотах, близьких до нуля. Тому у виразі (9.14) нижню межу інтегрування можна замінити на і записати функцію кореляції у вигляді

,

де

(9.15)

Повільно мінливі функції аргументу .

Початкова фаза вузькосмугового випадкового процесу розподілена рівномірно на інтервалі . Ймовірність обвідної вузькосмугового випадкового процесу описується законом Релея.

Читайте також:

1. A) правові і процесуальні основи судово-медичної експертизи
2. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
3. II. Поняття соціального процесу.
4. IV. План навчального процесу.
5. Iзобаричний процес
6. Iзотермiчний процес
7. Iзохоричний процес
8. V Практично всі психічні процеси роблять свій внесок в специфіку організації свідомості та самосвідомості.
9. V Процес інтеріоризації забезпечують механізми ідентифікації, відчуження та порівняння.
10. А. В. Петровський виділяє три стадії розвитку особистості в процесі соціалізації: адаптацію, індивідуалізацію і інтеграцію.
11. А. Особливості диференціації навчального процесу в школах США
12. А/. Поняття про судовий процес.

Переглядів: 2965