Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Відношення.

 

Відношення - це будь-який зв’язок між предметами або поняттями множин.

Поняття відношення - чисто математичне поняття, яке не вживається для вказання зв’язків у інших сферах застосування. В цих сферах використовують поняття відносини, взаємини, стосунки.

Відношення між двома елементами називається бінарним.

Способи задання відношень. Якщо є деякий елемент х і деякий елемент у і між цими елементами встановлюється будь-який зв’язок, тобто. відношення, то це відношення записується так:

х R у - х і у знаходяться в деякому відношенні R.

(х, у) Î R - пара елементів х і у належать відношенню R.

х - називають лівим полем відношення

у - називають правим полем відношення

Приклад:

· (3 і 7)Î<; 3<7

елементи 3 і 7 належать відношенню упорядкування, тобто 3 менше 7.

· (Україна, Росія)Îсусіди.

 

В загальному випадку, якщо елемент х належить множині Х, а у належить множині У, то відношення R може бути задано на множинах Х і У як підмножина декартового добутку множин Х Ä У

х Î Х , у Î У Þ R Ì Х Ä У

 

Наприклад:

Х- множина країн СНД

У- множина країн ЄС

R- відношення між країнами СНД і ЄС тобто договори про економічне співробітництво (торгівля ).

 

Для задання відношень на скінчених множинах Х та У, часто використовують графічну форму (графові форми).

При графовому поданні, елементи множин Х та У позначають точками, а наявність відношення R між певними елементами позначають лінією-стрілкою, яку називають направленою дугою.

Наприклад:

 

Х={х1, х2,, х3,, х4, х5}

У={у1, у2, у3}

 

R={(х1, у1), (х1, у2), (х2, у2), (х2, у3), (х3, у1), (х4, у5), (х5, у1), (х5, у3)}

 

Це графічне відношення від Х до У (біграф).

Часто застосовують матричну форму задання відношень.

 

Матриця - прямокутна таблиця, в якій рядки відповідають опису вершин множини Х, а стовпці відповідають опису вершин множини У.

Елементи матриці приймають значення “О” або “1”.

“1”- якщо відповідний елемент матриці, який знаходиться на перетині рядка і стовпця належить відношенню R.

“0”- якщо відповідний елемент матриці, який знаходиться на перетині рядка і стовпця не належить відношенню R.

 

Матричний спосіб задання відношення від Х до У:

 

;

 

Таку матрицю називають матрицею відношень.

Обернене відношення (транспонована матриця)позначають R-1:

 

.

 

Множину всіх перетинів відношення R називають фактор-множиноюмножини У по відношенню R і позначають У/R.

Побудуємо матрицю підстановки, яка складається з двох рядків, а кількість стовпців відповідає елементам множини Х. В першому рядку записують елементи лівого поля (в нашому випадку множини Х). В другому рядку, під кожним елементом множини Х записують фактор-множину множини У(У/R).

 

.

 

Приклад:

 

Х=1, х2, х3, х4, х5}

 

х1 - Росія

х2 -- Україна

х3 - Іран R- відношення торгівлі зброєю.

х4 - Пакистан

х5 - Кувейт

 

Задане аналітичне відношення. Формуємо графічне та матричне відношення.

R={1, ,х2), (х13), (х14) ,(х21), (х24), (х25), (х35), (х45)}

 

 

;

 

Відношення називається симетричним в тому випадку, якщо кожному елементу відношення х R у можна поставити у відповідність кожний елемент у R х..

Наприклад: (Україна, Росія) є сусіди.

 

Композиція відношень. Нехай дано три X, Y, Z та два відношення

R1 Ì X Ä У та R2Ì У Ä Z. Композиція відношень R1 та R2 є відношення R, яке складається з усіх тих пар (x, y) Ì X ´ Z, для яких існує таке y Î Y, що

(x, y) Î R1 та (y, z) Î R2.

Перетин відношення R по х співпадає з перетином R2 за підмножиною R1(x) Ì Y, тобто R(x) = R2(R1(x)).


Властивості відношень.

Розглянемо основні властивості бінарних відношень, що широко використовуються при описі взаємозв’язків об’єктів в задачі прийняття рішень:

Нехай R - якесь бінарне відношення, задане на множині X.

R={ / (xi, xj) володіють властивістю / }

1. Відношення R називається рефлексивним, якщо для будь-якого елемента цього відношення (xi, xj)ÎR випливає, що (xi, xi)ÎR. Тобто ця властивість значить, що об’єкт знаходиться у деякому відношенні R до самого себе. В матриці по головній діагоналі будуть одиниці.

Наприклад:

Х={x1, x2, x3, x4, x5};

R={(x1, x2), (x1, x5), (x3, x4), (x1, x1), (x2, x2), (x3, x3), (x4, x4), (x5, x5)}

Графічне задання рефлексивного відношення:

 

2. Антирефлексивність - з xi R xj випливає що, xi ¹ xj, тобто властивість антирефлексивності може виконуватися, тільки для неспівпадаючих об’єктів : (xi ,, xj) Î R, (xi ,, xi) ÏR . На головній діагоналі нулі.

3. Симетричність - якщо xi R xj, то і xj R xi, тобто відношення симетричне до обох об’єктів R Í (наприклад спільні кордони).

4. Антисиметричність - якщо одночасно xi R xj та xj R xi, тобто це значить, що xi = xj . Нестрога нерівність «£», включення. Наприклад множина А є підмножиною множини В.

5. Трназитивність - якщо xi R xj та xj R xk, то xi R xi .

 

Використовуючи ці властивості, можемо визначити відношення еквівалентності, строгого порядку та нестрогого порядку. Наявність властивості є ознакою для визначення типа відношення. Наприклад відношення еквівалентності називається рефлексивне, симетричне, транзитивне відношення.

Відношення еквівалентності можемо назвати як взаємозаміняємість , однаковість об’єктів.

Відношення строгого порядку є антирефлексивним та транзитивним відношенням (тобто віддання переваги) xi > xj .

Відношення нестрогого порядку - є об’єднання відношень строгого порядку та еквівалентності. Володіє властивостями рефлексивності, антисиметричності та транзитивності. Це означає, що об‘єкт хі або строгої переваги або еквівалентності об’єкту xj , тобто об’єкт хі не гірше xj.

Різноманітність будь-яких об’єктів, показників порівнянь та видів відношень, привело до необхідності встановлення універсальної системи з відношеннями. В якості такої системи використовують числову систему.

Повний граф - коли всі вершини попарно зв’язані.

 

У матриці повного графу всі елементи одиниці, крім елементів головної діагоналі, які приймають значення нуля.

.

 

Функціональні відношення - коли всі його елементи , тобто пари, мають різні ліві координати:

R = {(x1, x4), (x2, x3), (x3, x5), (x4, x2), (x5, x1)}

 

 

Це граф - коли з кожної вершини тільки один зв’язок.

 

 

Функціональне відношення. Відношення R Ì X* Y називається функціональним, якщо усі його елементи (упорядковані пари) мають різні перші координати. Кожному елементу х з Х такому, що (х, у) Î R відповідний один і тільки один елемент у з Y.

 

 

Типи відображень

1. Якщо кожен елемент множини У є значенням (образом) якого-небудь елемента з множини Х, то кажуть, що в цьому випадку є сур’єкція (покриття) множини Х на множину У.

2. Якщо для любих елементів х множини Х їх образи різні, то відображення R називається ін’єкцією множини Х на множину У.

3. Відображення, якому властиві одночасно сур’єкція і ін’єкція, називається бієкцією, або взаємно-одночасне відображення (це коли кількість елементів в множині Х та У співпадають).

 



Читайте також:

  1. Безрозмірною характеристикою гідротрансформатора називається залежність коефіцієнтів пропорційності моментів насосного і турбінного коліс від його передаточного відношення.
  2. Використаємо це співвідношення. Тоді
  3. Логічна норма права і текст нормативного акту: співвідношення.
  4. Нормативно-правові акти, акти застосування права та інтерпретаційні акти: співвідношення.
  5. Поняття бінарного відношення. Способи перетворення бінарних відношень і дії над ними
  6. Права людини і громадянина: співвідношення.
  7. Правосуб'єктність фізичних осіб - це передбачена нормами права здатність (можливість) осіб бути учасниками правовідношення.
  8. Структуроформуючі відношення.




Переглядів: 5928

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Графічний спосіб задання множин | Основні поняття та означення.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.009 сек.