Означення випадкових подій та обчислення їх ймовірностей

Випадкові події

Випробуванням називається експеримент, який можна проводити в однакових умовах (принаймні теоретично) будь-яке число разів. Найпростіший результат випробування називається елементарною подією або наслідком і позначається w. При випробуванні обов'язково настає лише один наслідок. Множина всіх можливих наслідків випробування називається основним простором або простором елементарних подій і позначається W. Випадковою подією (подією) називається будь-яка підмножина A простору W, тобто будь-яка множина наслідків. Наслідки, які утворюють подію A, називають сприятливими для A (w Î A) Подія A настає тоді й тільки тоді, коли настає елементарна подія (наслідок), сприятлива для A. Порожня множина Ø і сама множина W, розглядувані як підмножини основного простору, називаються відповідно неможливою і вірогідною подіями.

Оскільки подія означається як множина елементарних подій, то над подіями можна виконувати такі ж операції, як і над множинами.

Сумою подій А і В називається така подія С, яка настає тоді, коли настає принаймні одна з подій А або В, і позначається С = А + В або С = A В.

Добутком (суміщенням) подій А і В називається така подія С, яка настає тоді й тільки тоді, коли настають обидві події А і В, і позначається С = АВ або С = А ∩ В.

Різницею подій А і В єподія С = А – В(С = А\В), яка полягає в тому, що Авідбувається, а В не відбувається.

Подія (доповнення множини А до W) називається протилежною до А. Ця подія полягає в тому, що А не відбувається. Очевидно, Ø, .

Події А і В називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої, тобто АВ =Ø.

Події А_і (і=) утворюють повну групу, якщо в результаті випробування обов'язково настане принаймні одна з них, тобто .

Імовірністю Р (А) події А називається числова функція, яка визначена на множині подій і задовольняє такі три умови (аксіоми ймовірності):

1) для довільної події А Ì W справедлива нерівність Р (А) 0;

2) Р (W) = 1 (ймовірність вірогідної події дорівнює 1);

3) ймовірність суми попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

(аксіоматичне означення ймовірності).

Будь-яке випробування, при якому простір елементарних подій W з скінченою множиною рівноможливих наслідків (тобто Р (w₁) = Р (w₂) =...= =Р (w_n) =), називається класичною схемою або схемою урн. У цьому випадку ймовірність будь-якої події А Ì W означається так:

, (7)

де N (А) =m — число елементів множини А (число наслідків, які сприяють події А), N(W) =n — число елементів множини W (число всіх наслідків випробування) (класичне означення ймовірності).

Неважко перевірити, що так означена функція Р(А)має властивості: 0Р(А)1, Р (Ø) = 0, Р (W) = 1, Р (А+В) = Р(А) + Р(В), якщо АВ =Ø.

Нехай при n-разовому здійсненні досліду подія А відбулася k разів. Тоді відношення називається частотою випадкової події, а границя — ймовірністю цієї події(статистичне означення ймовірності).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Приклади	\|	Приклади

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.