Частотні характеристики лінійних стаціонарних систем

До них відносять частотний коефіцієнт передачі, що включає амплітудно-частотну та фазочастотну характеристики.

Частотний коефіцієнт передачі. При математичному дослідженні систем особливий інтерес представляють такі вхідні сигнали, які, будучи перетворені системою, залишаються незмінними за формою. Якщо є рівність

(2.21)

то є власною функцією системного оператора , а число , у загальному випадку комплексне,— його власним значенням.

Покажемо, що комплексний сигнал при будь-якому значенні частоти є власна функція лінійного стаціонарного оператора. Для цього скористаємося інтегралом Дюамеля виду (2.11) і обчислимо

(2.22)

Звідси видно, що власним значенням системного оператора є комплексне число:

(2.23)

називане частотним коефіцієнтом передачі системи. Формула (2.23) установлює принципово важливий факт – частотний коефіцієнт передачі й імпульсна характеристика лінійної стаціонарної системи зв'язані між собою перетворенням Фур'є. Тому завжди, знаючи функцію можна визначити імпульсну характеристику

(2.24)

Ми підійшли до найважливішого положення теорії лінійних стаціонарних систем - будь-яку таку систему можна розглядати або в часовій області за допомогою її імпульсної або перехідної характеристик, або в частотній області, задаючи частотний коефіцієнт передачі. Обидва підходи рівноцінні й вибір одного з них диктується зручностями одержання вихідних даних про систему й простоту обчислень.

На закінчення відзначимо, що частотні властивості лінійної системи, що має входів і виходів, можна описати матрицею частотних коефіцієнтів передачі

(2.25)

Тут – частотний коефіцієнт передачі між j-м входом і i-м виходом.

Між матрицями й існує закон зв'язку, аналогічний тому, що заданий формулами (2.23), (2.24).

Амплітудно-частотна та фазочастотна характеристики. Функція має просту інтерпретацію: якщо на вхід системи надходить гармонічний сигнал з відомою частотою й комплексною амплітудою , те комплексна амплітуда вихідного сигналу (рис. 2.11)

(2.26)

Часто користуються представленням частотного коефіцієнта передачі в показовій формі:

(2.27)

Обидві вхідні сюди дійсні функції носять спеціальні назви: – амплітудно-частотна характеристика (АЧХ), – фазочастотна характеристика (ФЧХ) системи.

Є прилади, що дозволяють експериментально вимірювати АЧХ і ФЧХ радіотехнічних пристроїв у всіляких діапазонах частот.

Обмеження, що накладаються на частотний коефіцієнт передачі. Далеко не кожна функція може бути частотним коефіцієнтом передачі фізично реалізованої системи. Найпростіше обмеження пов'язане з тим, що імпульсна характеристика такої системи зобов'язана бути дійсною. У силу властивостей перетворення Фур'є (див. п. 1.3) це означає, що

(2.28)

Відповідно до формули (2.28) модуль частотного коефіцієнта передачі (АЧХ) є парна, а фазовий кут (ФЧХ) - непарна функція частоти.

Набагато складніше відповістити на запитання про те, яким повинен бути частотний коефіцієнт передачі для того, щоб виконувалися умови фізичної реалізуємості (2.14) і (2.16). Приведемо без доказу остаточний результат, відомий за назвою критерію Пелі-Вінера: частотний коефіцієнт передачі фізично реалізованої системи повинен бути таким, щоб існував інтеграл

– критерій Пелі-Вінера

(2.29)

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Перехідна характеристика лінійної стаціонарної системи	\|	Математичний опис динамічної системи

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.