Студопедия
Новини освіти і науки:
Контакти
 


Тлумачний словник






Е) Власні вектори і власні значення лінійного перетворення

Але тоді і

,

 

тобто

 

Розглянемо одновимірні інваріантні підпростори. Якщо V1 – такий підпростір і , то і , і, значить, Ахх. Якщо у – будь-який інший вектор із V1, то

ух і Ау=Ах)=α(λх)=λ(αх)=λу.

 

Вектор називається власним вектором лінійного перетворення А, якщо існує таке число λ, що Ахх. Число λ називається власним значенням перетворення А, яке відповідає власному вектору х.

Очевидно, що якщо V1 – одновимірний інваріантний підпростір простору V, то кожний вектор із V1 є власним вектором перетворення А, причому з одним і тим же власним значенням. Навпаки, якщо х – власний вектор перетворення А, то породжений ним одновимірний підпростір V1 (що складається із всіх векторів вигляду αх) буде інваріантним відносно А.

Припустимо, що лінійне перетворення А має п лінійно незалежних власних векторів е1, е2,, еп із відповідними власними значеннями λ1, λ2,, λп. Якщо власні вектори е1, е2,, еп прийняти за базисні, то із рівностей Ае11е1, Ае22е2,, Аеппеп матриця перетворення А матиме вигляд:

 

 

(така матриця називається діагональною). Ясно, що правильне і зворотне: якщо матриця перетворення А в деякому базисі є діагональною, то всі векто-ри цього базису будуть власними векторами перетворення А.

Теорема1. Власні вектори лінійного перетворення А, що відповідають попарно

різним власним значенням, лінійно незалежні.

Доведення.

Доведення проведемо індукцією за кількістю власних векторів. Для одного вектора х це ясно, оскільки, за означенням власного вектора, він відмінний від нуля і, значить, із рівності αх=0 випливає, що α=0.

Нехай твердження теореми справедливе для k-1 векторів х1,х2,,хk-1. Припустимо, що k власних векторів х1,х2,,хk, які відповідають попарно різним власним значенням λ1,λ2,,λk, є лінійно залежними:

 

α1х12х2+…+αkxk=0, ()

 

де не всі αі (і=1, 2,, k) рівні нулю. Застосувавши до обох частин рівності перетворення А, отримаємо

 

α1Ах12Ах2+…+αkАxk1λ1х12λ2х2+…+αkλkxk=0.

З другого боку, помноживши передостанню рівність на λk, матимемо

 

α1λkх1 + α2λkх2 +…+ αkλkxk = 0.

 

Віднявши дві останні рівності, отримаємо

 

α11k)x122k)x2+…+αk-1k-1k)xk-1=0,

 

звідки із припущення лінійної незалежності х1,х2,,хk-1 випливає

α12=…=αk-1=0.

Тоді із рівності () матимемо αkxk=0 і αk=0. Отже, припущення невірне.▲

 

Розглянемо питання знаходження власних значень і власних векторів лінійного перетворення.

Припустимо, що х – власний вектор, а λ – відповідне йому власне значення лінійного перетворення А. Тоді Ахх. Виберемо в просторі V довільний базис е={e1,e2,,en}, і нехай х1е12е2+...+хпеп, а матриця лінійного перетворення А у вибраному базисі має вигляд

 

 

Тоді із пункту а) випливає:

 

Ах=(а11х112х2+…+а1пхп)е1+(а21х122х2+…+а2пхп)е2+…+(ап1х1п2х2+…+аппхп)еп=

х=λ(х1е12е2+...+хпеп)= λ х1е1+ λ х2е2+...+ λ хпеп .

Звідси із лінійної незалежності векторів e1,e2,,en випливає:

 

а11х112х2+…+а1пхп=λх1,

а21х122х2+…+а2пхп=λх2,

………………………………

ап1х1п2х2+…+аппхп=λхп,

звідки:

 

або .

 

Для існування ненульового розв’язку цієї однорідної системи необхідно і достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю:

 

 

Ліва частина останньої рівності являє собою многочлен п-го степеня відносно λ, який називається характеристичним многочленом перетворення А в базисі е. Він є визначником матриці А-λЕ.

Таким чином, доведено, що кожне власне значення перетворення А є коренем його характеристичного многочлена. І навпаки, кожний корінь характеристичного многочлена перетворення А буде його власним значенням (відповідні власні вектори знаходяться із останньої системи, яка в даному випадку рівності визначника нулю обов’язково має ненульові розв’язки).

Теорема 2. Характеристичний многочлен лінійного перетворення не залежить

від вибору базису.

Доведення.

Характеристичний многочлен перетворення А в базисі е нехай буде Нехай новий базис утворюється із старого за допомогою матриці переходу С. Тоді характеристичний многочлен перетворення А в базисі має вигляд:

 

 

Запишемо характеристичний многочлен перетворення А:

 

 

Видно, що α11122+...+апп, тобто дорівнює сумі діагональних елементів матриці А (ця сума називається слідом матриці А). З другого боку,

=є визначником матриці А. Звідси випливає, що для того, щоб перетворення А було невиродженим, необхідно і достатньо, щоб було відмінне від нуля, тобто щоб перетворення А не мало нульових власних значень.

Приклад.

Знайти власні значення і власні вектори лінійного перетворення А з матрицею

 

 

Розв’язання. Характеристичний многочлен матриці А має вигляд:

 

Коренями характеристичного многочлена є власні значення перетворення А: λ1=6, λ2= -1.

Власні вектори знаходять із системи рівнянь:

 

а) λ1=6. тому в ролі власного вектора

 

можна взяти вектор f1=(2;5) або кратний йому;

 

б) λ2=-1. тому вролі власного вектора

 

можна взяти вектор f2=(1;-1) або кратний йому.


Читайте також:

  1. DIMCLRE (РЗМЦВЛ) - колір виносних ліній (номер кольору). Може приймати значенняBYBLOCK (ПОБЛОКУ) і BYLAYER (ПОСЛОЮ).
  2. I визначення впливу окремих факторів
  3. II. Визначення мети запровадження конкретної ВЕЗ з ураху­ванням її виду.
  4. II. Мотивація навчальної діяльності. Визначення теми і мети уроку
  5. Iсторичне значення революції.
  6. Ne і ne – поточне значення потужності і частоти обертання колінчастого вала.
  7. Ocнoвнi визначення здоров'я
  8. Аварійно-рятувальні підрозділи Оперативно-рятувальної служби цивільного захисту, їх призначення і склад.
  9. Автокореляція залишків – це залежність між послідовними значеннями стохастичної складової моделі.
  10. Автоматизація процесу призначення IP-адрес
  11. Адаптивні хвилькові перетворення : Хвилькові пакети.
  12. Акціонерна власність в економічній системі




<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Лінійні перетворення | 

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:


 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.002 сек.