Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Лінійні перетворення

а) Основні поняття

Кажуть, що в лінійному просторі V задано перетворення А, якщо кожному вектору поставлений у відповідність деякий вектор А(х) (пишуть Ах). Вектор Ах називають образом вектора х.

Перетворення А називається лінійним, якщо для довільних двох векторів х та у із V і довільного дійсного числа α виконуються рівності:

1. А(х+у)=Ах+Ау,

2. А(αх)=αАх.

Виберемо в просторі V довільний базис е=(е₁,е₂,…,е_п). Тоді деякий вектор в цьому базисі розкладеться так:

х=х₁е₁+х₂е₂+…+х_пе_п,

де х₁,х₂,…,х_п–компоненти вектора х в даному базисі. Оскільки А – перетворення лінійне , то

Ах=А(х₁е₁+х₂е₂+…+х_пе_п)=х₁Ае₁+х₂Ае₂+…+х_пАе_п.

Оскільки Ае_і (і=1,2,…,п) – теж вектори із V, то їх можна розкласти за вибраним базисом:

Ае₁=а₁₁е₁+а₂₁е₂+…+а_п1е_п,

Ае₂=а₁₂е₁+а₂₂е₂+…+а_п2е_п,

…………………………………

Ае_п=а_1пе₁+а_2пе₂+…+а_ппе_п,

звідки

Ах=х₁(а₁₁е₁+а₂₁е₂+…+а_п1е_п)+х₂(а₁₂е₁+а₂₂е₂+…+а_п2е_п)+…+х_п(а_1пе₁+а_2пе₂+…+а_ппе_п)=

=(а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1пх_п)е₁+(а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а_2пх_п)е₂+…+(а_п1х₁+а_п2х₂+…+а_ппх_п)е_п.

Якщо координатами вектора Ах в базисі е є тобто

то із єдиності розкладу вектора за базисом отримаємо:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1пх_п,

а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а_2пх_п,

………………………………

а_п1х₁+а_п2х₂+…+а_ппх_п.

Звідси випливає, що кожному лінійному перетворенню А в заданому базисі е відповідає цілком певна матриця

стовпчиками якої є коефіцієнти розкладу векторів Ае_і (і=1,2,…,п) за базисом е і рядками якої є коефіцієнти розкладу вектора Ах за координатами вектора х.

Ясно, що в п-вимірному векторному просторі V кожна квадратна матриця п-го порядку є матрицею деякого лінійного перетворення.

Матрицю А називають матрицею лінійного перетворення. Лінійне перетворення називається виродженим (невиродженим), якщо його матриця вироджена (невироджена).

При невиродженому лінійному перетворенні лінійно незалежні вектори переходять в лінійно незалежні вектори.

Дійсно, якщо вектори е₁,е₂,…,е_k лінійно незалежні і

то (із невиродженості А)

і α₁=α₂=…=α_k=0 (за умовою).

Отже, вектори Ае₁,Ае₂,…,Ае_k теж лінійно незалежні, що й треба довести.▲

Приклади.

1. Нехай А – поворот всіх векторів площини хОу навколо початку координат на кут φ проти годинникової стрілки. Припустимо, що базисні вектори – одиничні і взаємно ортогональні. Вектор Ае₁– одиничний, він утворює з е₁ кут φ, з е₂– кут . Значить, Ае₁=cosφ·е₁+sinφ·e₂. Вектор Ае₂ – теж одиничний, він утворює з е₁кут з е₂ – φ. Значить, Ае₂=sinφ·e₁+cosφ·e₂. Отже,

2. Нехай А – ортогональне проектування на площину хОу. Це перетворення лінійне, оскільки проекція суми векторів дорівнює сумі проекцій доданків, проекція добутку вектора на число дорівнює добутку проекції вектора на це число. Якщо в ролі базису вибрано одиничні вектори е₁,е₂,е₃ прямокутної декартової системи координат, то Ае₁=е₁, Ае₂=е₂, Ае₃=0, і, значить,

3. Нехай ℰ – тотожнє перетворення векторного простору V, яке визначається рівністю ℰх=х для всіх Тоді ℰе_і=е_і для всіх і=1,2,…,п, і, значить,

4. Нехай Ơ – так зване нульове перетворення векторного простору V, яке визначається рівністю Ơх=0 для всіх . Матриця цього перетворення є нульовою і

Перетворення 1 і 3 – невироджені, 2 і 4 – вироджені.

б) Операції над лінійними перетвореннями

Сумою двох лінійних перетворень А та ℬ називається таке перетворення А+В, при якому

Властивості:

1. А+В = В+А.

2. (А+В)+С = А+(В+С).

3. А+ Ơ = А.

Добутком лінійного перетворення А на число α називається таке теж лінійне перетворення αА, при якому

Властивості:

1. 1·А = А.

2. α(βА)=(αβ)А.

3. (α+β)А=αА+βА.

4. α(А+В)=αА+αВ.

Добутком лінійних перетворень Ата В називається таке теж лінійне перетворення АВ, при якому

Властивості:

1. (АВ)ℂ=А(Вℂ).

2. Аℰ=А.

3. (А+В)ℂ=Аℂ+Вℂ.

4. ℂ(А+В)=ℂА+ℂВ.

Для кожного невиродженого лінійного перетворення А існує таке (обернене до А) лінійне перетворення А^-1, що

А∙А^-1=А^-1·А=ℰ.

Ясно, що добуток невироджених лінійних перетворень теж є невиродженим лінійним перетворенням.

в) Перехід до нового базису

Нехай лінійне перетворення А в базисі е=(е₁,е₂,…,е_п) має матрицю А, а в базисі - матрицю . Знайдемо зв’язок між ними.

Позначимо через С матрицю переходу від базису е до базису . Тоді

Будемо матрицю переходу С розглядати як матрицю лінійного перетворення С в базисі е. Тоді

Значить, лінійне перетворення С переводить вектори базису е у вектори базису . Відомо, що тоді визначник матриці С відмінний від нуля, значить, для С існує обернене перетворення С^-1, при якому

За умовою,

Застосуємо до обох частин цієї рівності перетворення С^-1:

Підставимо в ліву частину :

тобто матрицею перетворення в базисі е є матриця Але, з другого боку матриця цього перетворення рівна добутку матриць відповідних перетворень в базисі е, тобто .

Ясно, що визначник матриці лінійного перетворення не залежить від базису:

Приклад.

В базисі е₁, е₂ перетворення А має матрицю

Написати матрицю цього перетворення в базисі

Розв’язування.

Матриця переходу Тоді Звідси

г) Ранг і дефект лінійного перетворення

Сукупність всеможливих векторів вигляду Ах, де , називається областю значень або образом лінійного перетворення А. Позначається ImА.

Сукупність всеможливих векторів , для яких Ах=0, називається ядром лінійного перетворення А. Позначається KerА.

І образ, і ядро лінійного перетворення А є підпростором в V.

а) Якщо ImА, то х=Ах₁, у=Ау₁, де ,

то х+у=Ах₁+Ау₁=А(х₁+у₁), де і, значить, ImА ,

αх=αАх₁=А(αх₁), де і, значить, αх ImА .

Отже, ImА– підпростір простору V.

б) Якщо KerА, тобто якщо Ах=0 і Ау=0, то і

А(х+у)= Ах+Ау=0+0=0 і А(αх)=αАх=α·0=0,

тобто KerА і KerА.

Отже, KerА – підпростір простору V.

Розмірність образу перетворення А dim(ImА) співпадає з рангом матриці А цього перетворення і називається рангом перетворення А. Дійсно, підпростір ImА породжується векторами Ае₁,Ае₂,...,Ае_п, де е={e₁, e₂,…, e_n} – довільний базис простору V і, значить, розмірність ImА дорівнює максимальній кількості лінійно незалежних стовпчиків матриці А.

Розмірність ядра dim(KerА) називається дефектомлінійного перетворення А.

Важливим є твердження, що сума рангу і дефекту лінійного перетворення А дорівнює розмірності п простору V. Тобто,

dim(ImА) + dim(KerА) = n.

д) Інваріантні підпростори

Нехай V₁ – підпростір векторного простору V, А – деяке лінійне перетворення простору V. Образ Ах вектора х із V₁ не обов’язково належить V₁.

Розглянемо такі підпростори, вектори яких не виводяться із них перетворенням А.

Підпростір V₁ простору V називається інваріантнимвідносно лінійного перетворення А, якщо образ Ах кожного вектора х із V₁ належить V₁.

Приклади.

1. Для лінійного перетворення А – повороту навколо осі Оz звичайного тривимірного простору - інваріантними підпросторами будуть, наприклад, площина хОу і вісь Оz.

2. Для лінійного перетворення А – ортогонального проектування того ж простору на площину хОу - інваріантними підпросторами будуть: площина хОу; всі площини, що проходять через вісь Оz; сама вісь Оz; всі прямі площини хОу, що проходять через початок координат.

3. В довільному просторі кожний підпростір інваріантний відносно тотожнього і нульового перетворень.

4. В довільному просторі при довільному лінійному перетворенні сам простір і його підпростір, що складається із одного нульового вектора, є інваріантними.

Теорема 1. Перетин і сума підпросторів, інваріантних відносно лінійного оператора А, інваріантні відносно А.

Доведення.

а) Якщо підпростори V₁ і V₂ інваріантні відносно А і , то і , значить, і , тобто .

б) Якщо , то x= v₁+v₂, де , . Тоді і , звідки Ах =А (v₁+v₂)=Аv₁+Аv₂▲

Теорема 2. Якщо А – невироджене лінійне перетворення і V₁ – підпростір, інваріантний відносно А, то V₁інваріантний і відносно А^-1.

Доведення.

Нехай е₁, е₂, …, е_r – базис підпростору V₁. Тоді вектори Ае₁,Ае₂, …,Ае_r, які із інваріантності V₁ теж належать V₁, теж лінійно незалежні і, значить, теж утворюють базис V₁, тобто довільний вектор можна через цей базис виразити:

Читайте також:
Адаптивні хвилькові перетворення : Хвилькові пакети.
Багатоконтурні лінійні електричні ланцюги
Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
Вектори, лінійні операції над векторами
Визначення перетворення за Лапласом
Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
Визначте соціальні перетворення в процесі радянізації українського суспільства.
Виконаємо лінійне перетворення
Вимірювальні сигнали, перетворення вимірювальних сигналів, форми вимірювальної інформації
Вирішення проблеми не міститься в існуючому знанні та не може бути отримане шляхом перетворення наявної наукової інформації.
Вирішення проблеми не міститься в існуючому знанні та не може бути отримане шляхом перетворення наявної наукової інформації.
Властивості зворотного перетворення за Лапласом

Переглядів: 5633

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>

Гнійні захворювання шкіри і підшкірної клітковини | Е) Власні вектори і власні значення лінійного перетворення

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.012 сек.