• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Лінійні перетворення

а) Основні поняття

Кажуть, що в лінійному просторі V задано перетворення А, якщо кожному вектору поставлений у відповідність деякий вектор А(х) (пишуть Ах). Вектор Ах називають образом вектора х.

Перетворення А називається лінійним, якщо для довільних двох векторів х та у із V і довільного дійсного числа α виконуються рівності:

1. А(х+у)=Ах+Ау,

2. А(αх)=αАх.

Виберемо в просторі V довільний базис е=(е₁,е₂,…,е_п). Тоді деякий вектор в цьому базисі розкладеться так:

х=х₁е₁+х₂е₂+…+х_пе_п,

де х₁,х₂,…,х_п–компоненти вектора х в даному базисі. Оскільки А – перетворення лінійне , то

Ах=А(х₁е₁+х₂е₂+…+х_пе_п)=х₁Ае₁+х₂Ае₂+…+х_пАе_п.

Оскільки Ае_і (і=1,2,…,п) – теж вектори із V, то їх можна розкласти за вибраним базисом:

Ае₁=а₁₁е₁+а₂₁е₂+…+а_п1е_п,

Ае₂=а₁₂е₁+а₂₂е₂+…+а_п2е_п,

…………………………………

Ае_п=а_1пе₁+а_2пе₂+…+а_ппе_п,

звідки

Ах=х₁(а₁₁е₁+а₂₁е₂+…+а_п1е_п)+х₂(а₁₂е₁+а₂₂е₂+…+а_п2е_п)+…+х_п(а_1пе₁+а_2пе₂+…+а_ппе_п)=

=(а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1пх_п)е₁+(а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а_2пх_п)е₂+…+(а_п1х₁+а_п2х₂+…+а_ппх_п)е_п.

Якщо координатами вектора Ах в базисі е є тобто

,

то із єдиності розкладу вектора за базисом отримаємо:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1пх_п,

а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а_2пх_п,

………………………………

а_п1х₁+а_п2х₂+…+а_ппх_п.

Звідси випливає, що кожному лінійному перетворенню А в заданому базисі е відповідає цілком певна матриця

стовпчиками якої є коефіцієнти розкладу векторів Ае_і (і=1,2,…,п) за базисом е і рядками якої є коефіцієнти розкладу вектора Ах за координатами вектора х.

Ясно, що в п-вимірному векторному просторі V кожна квадратна матриця п-го порядку є матрицею деякого лінійного перетворення.

Матрицю А називають матрицею лінійного перетворення. Лінійне перетворення називається виродженим (невиродженим), якщо його матриця вироджена (невироджена).

При невиродженому лінійному перетворенні лінійно незалежні вектори переходять в лінійно незалежні вектори.

Дійсно, якщо вектори е₁,е₂,…,е_k лінійно незалежні і

,

то (із невиродженості А)

і α₁=α₂=…=α_k=0 (за умовою).

Отже, вектори Ае₁,Ае₂,…,Ае_k теж лінійно незалежні, що й треба довести.▲

Приклади.

1. Нехай А – поворот всіх векторів площини хОу навколо початку координат на кут φ проти годинникової стрілки. Припустимо, що базисні вектори – одиничні і взаємно ортогональні. Вектор Ае₁– одиничний, він утворює з е₁ кут φ, з е₂– кут . Значить, Ае₁=cosφ·е₁+sinφ·e₂. Вектор Ае₂ – теж одиничний, він утворює з е₁кут з е₂ – φ. Значить, Ае₂=sinφ·e₁+cosφ·e₂. Отже,

2. Нехай А – ортогональне проектування на площину хОу. Це перетворення лінійне, оскільки проекція суми векторів дорівнює сумі проекцій доданків, проекція добутку вектора на число дорівнює добутку проекції вектора на це число. Якщо в ролі базису вибрано одиничні вектори е₁,е₂,е₃ прямокутної декартової системи координат, то Ае₁=е₁, Ае₂=е₂, Ае₃=0, і, значить,

3. Нехай ℰ – тотожнє перетворення векторного простору V, яке визначається рівністю ℰх=х для всіх Тоді ℰе_і=е_і для всіх і=1,2,…,п, і, значить,

4. Нехай Ơ – так зване нульове перетворення векторного простору V, яке визначається рівністю Ơх=0 для всіх . Матриця цього перетворення є нульовою і

Перетворення 1 і 3 – невироджені, 2 і 4 – вироджені.

б) Операції над лінійними перетвореннями

Сумою двох лінійних перетворень А та ℬ називається таке перетворення А+В, при якому

Властивості:

1. А+В = В+А.

2. (А+В)+С = А+(В+С).

3. А+ Ơ = А.

Добутком лінійного перетворення А на число α називається таке теж лінійне перетворення αА, при якому

Властивості:

1. 1·А = А.

2. α(βА)=(αβ)А.

3. (α+β)А=αА+βА.

4. α(А+В)=αА+αВ.

Добутком лінійних перетворень Ата В називається таке теж лінійне перетворення АВ, при якому

Властивості:

1. (АВ)ℂ=А(Вℂ).

2. Аℰ=А.

3. (А+В)ℂ=Аℂ+Вℂ.

4. ℂ(А+В)=ℂА+ℂВ.

5.

Для кожного невиродженого лінійного перетворення А існує таке (обернене до А) лінійне перетворення А^-1, що

А∙А^-1=А^-1·А=ℰ.

Ясно, що добуток невироджених лінійних перетворень теж є невиродженим лінійним перетворенням.

в) Перехід до нового базису

Нехай лінійне перетворення А в базисі е=(е₁,е₂,…,е_п) має матрицю А, а в базисі - матрицю . Знайдемо зв’язок між ними.

Позначимо через С матрицю переходу від базису е до базису . Тоді

Будемо матрицю переходу С розглядати як матрицю лінійного перетворення С в базисі е. Тоді

Значить, лінійне перетворення С переводить вектори базису е у вектори базису . Відомо, що тоді визначник матриці С відмінний від нуля, значить, для С існує обернене перетворення С^-1, при якому

За умовою,

.

Застосуємо до обох частин цієї рівності перетворення С^-1:

.

Підставимо в ліву частину :

,

тобто матрицею перетворення в базисі е є матриця Але, з другого боку матриця цього перетворення рівна добутку матриць відповідних перетворень в базисі е, тобто .

Ясно, що визначник матриці лінійного перетворення не залежить від базису:

Приклад.

В базисі е₁, е₂ перетворення А має матрицю

Написати матрицю цього перетворення в базисі

Розв’язування.

Матриця переходу Тоді Звідси

г) Ранг і дефект лінійного перетворення

Сукупність всеможливих векторів вигляду Ах, де , називається областю значень або образом лінійного перетворення А. Позначається ImА.

Сукупність всеможливих векторів , для яких Ах=0, називається ядром лінійного перетворення А. Позначається KerА.

І образ, і ядро лінійного перетворення А є підпростором в V.

а) Якщо ImА, то х=Ах₁, у=Ау₁, де ,

то х+у=Ах₁+Ау₁=А(х₁+у₁), де і, значить, ImА ,

αх=αАх₁=А(αх₁), де і, значить, αх ImА .

Отже, ImА– підпростір простору V.

б) Якщо KerА, тобто якщо Ах=0 і Ау=0, то і

А(х+у)= Ах+Ау=0+0=0 і А(αх)=αАх=α·0=0,

тобто KerА і KerА.

Отже, KerА – підпростір простору V.

Розмірність образу перетворення А dim(ImА) співпадає з рангом матриці А цього перетворення і називається рангом перетворення А. Дійсно, підпростір ImА породжується векторами Ае₁,Ае₂,...,Ае_п, де е={e₁, e₂,…, e_n} – довільний базис простору V і, значить, розмірність ImА дорівнює максимальній кількості лінійно незалежних стовпчиків матриці А.

Розмірність ядра dim(KerА) називається дефектомлінійного перетворення А.

Важливим є твердження, що сума рангу і дефекту лінійного перетворення А дорівнює розмірності п простору V. Тобто,

dim(ImА) + dim(KerА) = n.

д) Інваріантні підпростори

Нехай V₁ – підпростір векторного простору V, А – деяке лінійне перетворення простору V. Образ Ах вектора х із V₁ не обов’язково належить V₁.

Розглянемо такі підпростори, вектори яких не виводяться із них перетворенням А.

Підпростір V₁ простору V називається інваріантнимвідносно лінійного перетворення А, якщо образ Ах кожного вектора х із V₁ належить V₁.

Приклади.

1. Для лінійного перетворення А – повороту навколо осі Оz звичайного тривимірного простору - інваріантними підпросторами будуть, наприклад, площина хОу і вісь Оz.

2. Для лінійного перетворення А – ортогонального проектування того ж простору на площину хОу - інваріантними підпросторами будуть: площина хОу; всі площини, що проходять через вісь Оz; сама вісь Оz; всі прямі площини хОу, що проходять через початок координат.

3. В довільному просторі кожний підпростір інваріантний відносно тотожнього і нульового перетворень.

4. В довільному просторі при довільному лінійному перетворенні сам простір і його підпростір, що складається із одного нульового вектора, є інваріантними.

Теорема 1. Перетин і сума підпросторів, інваріантних відносно лінійного оператора А, інваріантні відносно А.

Доведення.

а) Якщо підпростори V₁ і V₂ інваріантні відносно А і , то і , значить, і , тобто .

б) Якщо , то x= v₁+v₂, де , . Тоді і , звідки Ах =А (v₁+v₂)=Аv₁+Аv₂▲

Теорема 2. Якщо А – невироджене лінійне перетворення і V₁ – підпростір, інваріантний відносно А, то V₁ інваріантний і відносно А^-1.

Доведення.

Нехай е₁, е₂, …, е_r – базис підпростору V₁. Тоді вектори Ае₁,Ае₂, …,Ае_r, які із інваріантності V₁ теж належать V₁, теж лінійно незалежні і, значить, теж утворюють базис V₁, тобто довільний вектор можна через цей базис виразити:

Читайте також:

1. Адаптивні хвилькові перетворення : Хвилькові пакети.
2. Багатоконтурні лінійні електричні ланцюги
3. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
4. Вектори, лінійні операції над векторами
5. Визначення перетворення за Лапласом
6. Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
7. Визначте соціальні перетворення в процесі радянізації українського суспільства.
8. Виконаємо лінійне перетворення
9. Вимірювальні сигнали, перетворення вимірювальних сигналів, форми вимірювальної інформації
10. Вирішення проблеми не міститься в існуючому знанні та не може бути отримане шляхом перетворення наявної наукової інформації.
11. Вирішення проблеми не міститься в існуючому знанні та не може бути отримане шляхом перетворення наявної наукової інформації.
12. Властивості зворотного перетворення за Лапласом

Переглядів: 5727