Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Лінійні перетворення

а) Основні поняття

Кажуть, що в лінійному просторі V задано перетворення А, якщо кожному вектору поставлений у відповідність деякий вектор А(х) (пишуть Ах). Вектор Ах називають образом вектора х.

Перетворення А називається лінійним, якщо для довільних двох векторів х та у із V і довільного дійсного числа α виконуються рівності:

 

1. А(х+у)=Аху,

2. А(αх)=αАх.

 

Виберемо в просторі V довільний базис е=(е1,е2,,еп). Тоді деякий вектор в цьому базисі розкладеться так:

х1е12е2+…+хпеп,

 

де х1,х2,,хп–компоненти вектора х в даному базисі. Оскільки А – перетворення лінійне , то

Ах(х1е12е2+…+хпеп)=х1Ае12Ае2+…+хпАеп.

 

Оскільки Аеі (і=1,2,,п) – теж вектори із V, то їх можна розкласти за вибраним базисом:

Ае111е121е2+…+ап1еп,

Ае212е122е2+…+ап2еп,

…………………………………

Аеп1пе12пе2+…+аппеп,

звідки

 

Ах=х111е121е2+…+ап1еп)+х212е122е2+…+ап2еп)+…+хп1пе12пе2+…+аппеп)=

=(а11х112х2+…+а1пхп)е1+(а21х122х2+…+а2пхп)е2+…+(ап1х1п2х2+…+аппхп)еп.

Якщо координатами вектора Ах в базисі е є тобто

 

,

 

то із єдиності розкладу вектора за базисом отримаємо:

 

а11х112х2+…+а1пхп,

а21х122х2+…+а2пхп,

………………………………

ап1х1п2х2+…+аппхп.

 

Звідси випливає, що кожному лінійному перетворенню А в заданому базисі е відповідає цілком певна матриця

 

 

стовпчиками якої є коефіцієнти розкладу векторів Аеі (і=1,2,,п) за базисом е і рядками якої є коефіцієнти розкладу вектора Ах за координатами вектора х.

Ясно, що в п-вимірному векторному просторі V кожна квадратна матриця п-го порядку є матрицею деякого лінійного перетворення.

Матрицю А називають матрицею лінійного перетворення. Лінійне перетворення називається виродженим (невиродженим), якщо його матриця вироджена (невироджена).

При невиродженому лінійному перетворенні лінійно незалежні вектори переходять в лінійно незалежні вектори.

Дійсно, якщо вектори е1,е2,,еk лінійно незалежні і

 

,

 

то (із невиродженості А)

 

і α12=…=αk=0 (за умовою).

 

Отже, вектори Ае1,Ае2,,Аеk теж лінійно незалежні, що й треба довести.▲

 

Приклади.

1. Нехай А – поворот всіх векторів площини хОу навколо початку координат на кут φ проти годинникової стрілки. Припустимо, що базисні вектори – одиничні і взаємно ортогональні. Вектор Ае1– одиничний, він утворює з е1 кут φ, з е2– кут . Значить, Ае1=cosφ·е1+sinφ·e2. Вектор Ае2 – теж одиничний, він утворює з е1кут з е2φ. Значить, Ае2=sinφ·e1+cosφ·e2. Отже,

 

2. Нехай А – ортогональне проектування на площину хОу. Це перетворення лінійне, оскільки проекція суми векторів дорівнює сумі проекцій доданків, проекція добутку вектора на число дорівнює добутку проекції вектора на це число. Якщо в ролі базису вибрано одиничні вектори е1,е2,е3 прямокутної декартової системи координат, то Ае1=е1, Ае2=е2, Ае3=0, і, значить,

 

3. Нехай – тотожнє перетворення векторного простору V, яке визначається рівністю ℰх=х для всіх Тоді ℰеі=еі для всіх і=1,2,,п, і, значить,

 

4. Нехай Ơ – так зване нульове перетворення векторного простору V, яке визначається рівністю Ơх=0 для всіх . Матриця цього перетворення є нульовою і

 

Перетворення 1 і 3 – невироджені, 2 і 4 – вироджені.

 

 

б) Операції над лінійними перетвореннями

Сумою двох лінійних перетворень А та ℬ називається таке перетворення А, при якому

Властивості:

1. А+В = В+А.

2. (А+В)+С = А+(В+С).

3. А+ Ơ = А.

Добутком лінійного перетворення А на число α називається таке теж лінійне перетворення αА, при якому

Властивості:

1. 1·А = А.

2. α(βА)=(αβ)А.

3. (α+β)А=αА+βА.

4. α(А+В)=αА+αВ.

Добутком лінійних перетворень Ата В називається таке теж лінійне перетворення АВ, при якому

Властивості:

1. (АВ)ℂ=А(Вℂ).

2. Аℰ=А.

3. (А+В)ℂ=Аℂ+Вℂ.

4. ℂ(А+В)=ℂА+ℂВ.

5.

Для кожного невиродженого лінійного перетворення А існує таке (обернене до А) лінійне перетворення А-1, що

А∙А-1-1·А=ℰ.

 

Ясно, що добуток невироджених лінійних перетворень теж є невиродженим лінійним перетворенням.

 

в) Перехід до нового базису

Нехай лінійне перетворення А в базисі е=(е1,е2,,еп) має матрицю А, а в базисі - матрицю . Знайдемо зв’язок між ними.

Позначимо через С матрицю переходу від базису е до базису . Тоді

 

 

Будемо матрицю переходу С розглядати як матрицю лінійного перетворення С в базисі е. Тоді

 

 

Значить, лінійне перетворення С переводить вектори базису е у вектори базису . Відомо, що тоді визначник матриці С відмінний від нуля, значить, для С існує обернене перетворення С-1, при якому

За умовою,

.

Застосуємо до обох частин цієї рівності перетворення С-1:

 

.

 

Підставимо в ліву частину :

 

,

 

тобто матрицею перетворення в базисі е є матриця Але, з другого боку матриця цього перетворення рівна добутку матриць відповідних перетворень в базисі е, тобто .

Ясно, що визначник матриці лінійного перетворення не залежить від базису:

 

 

Приклад.

В базисі е1, е2 перетворення А має матрицю

 

Написати матрицю цього перетворення в базисі

Розв’язування.

Матриця переходу Тоді Звідси

 

 

 

г) Ранг і дефект лінійного перетворення

Сукупність всеможливих векторів вигляду Ах, де , називається областю значень або образом лінійного перетворення А. Позначається ImА.

Сукупність всеможливих векторів , для яких Ах=0, називається ядром лінійного перетворення А. Позначається KerА.

І образ, і ядро лінійного перетворення А є підпростором в V.

а) Якщо ImА, то х=Ах1, у=Ау1, де ,

то х+у=Ах1+Ау1=А(х1+у1), де і, значить, ImА ,

αхАх1=Ах1), де і, значить, αх ImА .

Отже, ImА– підпростір простору V.

б) Якщо KerА, тобто якщо Ах=0 і Ау=0, то і

А(х+у)= Ах+Ау=0+0=0 і Ах)=αАх=α·0=0,

тобто KerА і KerА.

Отже, KerА – підпростір простору V.

Розмірність образу перетворення А dim(ImА) співпадає з рангом матриці А цього перетворення і називається рангом перетворення А. Дійсно, підпростір ImА породжується векторами Ае1е2,...еп, де е={e1, e2,, en} – довільний базис простору V і, значить, розмірність ImА дорівнює максимальній кількості лінійно незалежних стовпчиків матриці А.

Розмірність ядра dim(KerА) називається дефектомлінійного перетворення А.

Важливим є твердження, що сума рангу і дефекту лінійного перетворення А дорівнює розмірності п простору V. Тобто,

 

dim(ImА) + dim(KerА) = n.

 

д) Інваріантні підпростори

 

Нехай V1 – підпростір векторного простору V, А – деяке лінійне перетворення простору V. Образ Ах вектора х із V1 не обов’язково належить V1.

Розглянемо такі підпростори, вектори яких не виводяться із них перетворенням А.

Підпростір V1 простору V називається інваріантнимвідносно лінійного перетворення А, якщо образ Ах кожного вектора х із V1 належить V1.

 

Приклади.

1. Для лінійного перетворення А повороту навколо осі Оz звичайного тривимірного простору - інваріантними підпросторами будуть, наприклад, площина хОу і вісь Оz.

2. Для лінійного перетворення А – ортогонального проектування того ж простору на площину хОу - інваріантними підпросторами будуть: площина хОу; всі площини, що проходять через вісь Оz; сама вісь Оz; всі прямі площини хОу, що проходять через початок координат.

3. В довільному просторі кожний підпростір інваріантний відносно тотожнього і нульового перетворень.

4. В довільному просторі при довільному лінійному перетворенні сам простір і його підпростір, що складається із одного нульового вектора, є інваріантними.

 

Теорема 1. Перетин і сума підпросторів, інваріантних відносно лінійного оператора А, інваріантні відносно А.

Доведення.

а) Якщо підпростори V1 і V2 інваріантні відносно А і , то і , значить, і , тобто .

б) Якщо , то x= v1+v2, де , . Тоді і , звідки Ах =А (v1+v2)=Аv1+Аv2

 

Теорема 2. Якщо А – невироджене лінійне перетворення і V1 – підпростір, інваріантний відносно А, то V1 інваріантний і відносно А-1.

Доведення.

Нехай е1, е2,, еr – базис підпростору V1. Тоді вектори Ае1е2, еr, які із інваріантності V1 теж належать V1, теж лінійно незалежні і, значить, теж утворюють базис V1, тобто довільний вектор можна через цей базис виразити:


Читайте також:

  1. Адаптивні хвилькові перетворення : Хвилькові пакети.
  2. Багатоконтурні лінійні електричні ланцюги
  3. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
  4. Вектори, лінійні операції над векторами
  5. Визначення перетворення за Лапласом
  6. Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
  7. Визначте соціальні перетворення в процесі радянізації українського суспільства.
  8. Виконаємо лінійне перетворення
  9. Вимірювальні сигнали, перетворення вимірювальних сигналів, форми вимірювальної інформації
  10. Вирішення проблеми не міститься в існуючому знанні та не може бути отримане шляхом перетворення наявної наукової інформації.
  11. Вирішення проблеми не міститься в існуючому знанні та не може бути отримане шляхом перетворення наявної наукової інформації.
  12. Властивості зворотного перетворення за Лапласом




Переглядів: 5708

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Гнійні захворювання шкіри і підшкірної клітковини | Е) Власні вектори і власні значення лінійного перетворення

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.014 сек.