• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Лекція № 12

Висновки з перетворень Лоренца

Рис. 14.5

Нехай система відліку К' рухається відносно системи К прямолінійно і рівномірно вздовж координати х зі швидкістю v. Координатні осі х і х' збігаються за напрямом, осі у, z і у', z' відповідно паралельні. У момент часу t = t' = 0 початок координат в обох системах відліку збігається. Лоренц користувався не тривимірним, а чотири вимірним простором Мінковського.

Просторових координат три, четверта — часова, що якісно відрізняється від просторових. Об'єднання чотирьох координат події в один комплекс зовсім не означає прагнення стерти будь-яку відмінність між простором і часом. У просторі, наприклад, можна рухатись назад і вперед, але жодна теорія, в тому числі й теорія відносності, не дає можливості побудувати «машину часу», на якій можна було б відправитися в минуле.

Виявляється, що за цих умов координати тієї самої події в обох системах пов'язані такими формулами:

; ; ; '. (14.9)

Ці формули дають змогу визначити координати х', у', z', t' деякої події в системі К', якщо відомі її координати в системі К.

Зворотний перехід від системи Кдо системи К' визначають такими формулами:

; ; ; . (14.10)

Формули (14.9) і (14.10) називають перетвореннями Лоренца, оскільки їх вперше вивів Лоренц. До речі, відомі рівняння Максвелла, не інваріантні перетворенням Галілея, виявилися інваріантними перетворенням Лоренца. Розглядаючи ці формули, насамперед помічаємо, що координати у, zне змінюються; це відповідає відсутності поперечного лоренцового скорочення. Формули перетворень симетричні, лише швидкість замінена на –. Це, звичайно, відповідає рівноправності всіх систем відліку. Основним є те, що змінюється не лише просторова координата х, а й час t. Це свідчить про відносність не тільки просторових координат, а й часу. Як зазначалося в ньютонівській механіці, час не змінювався при переході від однієї системи координат до іншої: t = t'. Неважко помітити, що коли швидкість відносного руху систем відліку мала порівняно зі швидкістю світла с, перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея. Це означає, що релятивістська механіка не відкидає класичну, яка є граничним ви­падком релятивістської механіки, коли .

Слід зазначити, що у формули перетворень Лоренца (14.9)і (14.10)входять не довжини відрізків і не проміжки часу, а координати окремих подій. Наприклад, час tвідлічується за годинником, який перебуває в стані спокою в системі К, а час t'— за годинником, що не рухається в системі К'. Із перетворень Лоренца випливає чимало незвичайних з погляду класичної механіки висновків.

1. Відносність одночасності.У класичній фізиці проміжок часу між будь-якими двома подіями не залежить від системи відліку. Це знайшло своє відображення у перетвореннях Галілея для часу: t = t'. Тоді проміжок часу

де t_iі t_i^’ — моменти часу, що відповідають здійсненню першої (t₁ і t₁^’ ) і другої (t₂і t'₂) подій, виміряних відповідно в нерухомій і рухомій інерціальних системах відліку. Якщо , то дві події одночасні в деякій інерціальній системі відліку (Δ) мають бути одночасними і в усіх інших інерціальних системах відліку (Δ). Отже, виходячи з перетворень Галілея, одночасність абсолютна.

З перетворень Лоренца випливає відносність одночасності: події, одночасні в одній інерціальній системі відліку, не обов'язково є одночасними в інших інерціальних системах, які рухаються відносно першої прямолінійно і рівномірно. Справді, нехай у системі Кдві події сталися в момент часу t₁і t₂, а місце їх визначається координатами х₁ і х₂. У системі К'цим подіям відповідатимуть моменти часу t₁^’і t₂^’і координати х₁^’ і х₂^’ . Припустімо, що в системі Кподії відбуваються одночасно, тобто t₁= t₂=t. Тоді, виходячи з перетворень Лоренца (14.9), можна записати

(14.11)

Із формул (14.11)випливає, що коли одночасні події в системі Квідбуваються в одній точці простору (х₁= х₂), вони збігатимуться в просторі () і часі () і в системі К’а також у будь-якій іншій інерціальній системі, яка рухається відносно системи К.

Проте якщо одночасні події в системі Кпросторово розділені (), то в системі К'вони неодночасні () і просторово розділені ().

2. Сповільнення часу.Розглянемо процес, що відбувається в точці з координатою х^/нерухомій відносно системи К'. Позначимо тривалість цієї події за годинником системи К'через , причому , де індекси 1і 2відповідають початку і кінцю процесу. Визначимо тривалість події у системі К. Відповідно до формул перетворення Лоренца (14.10) можна записати:

(14.12)

Отже, тривалість події, що відбувається в певній точці, мінімальна втій інерціальній системі відліку, відносно якої ця точка є нерухомою. Одержаний результат можна сформулювати інакше, а саме: годинник, який рухається відносно інерціальної системи відліку, йде повільніше від годинника, що перебуває у стані спокою. Тому плинність часу в рухомій системі повільніша, ніж у нерухомій. Із співвідношення (14.12) видно, що сповільнення ходу годинника стає істотним лише при швидкостях , що наближаються до швидкості світла у вакуумі. Релятивістський ефект сповільнення плинності часу блискуче підтвердився в дослідах з -мезонами — нестабільними елементарними частинками, що входять до складу космічного випромінювання. Середній час життя нерухомого -мезона становить близько 2 • 10^–6 с. Здавалося б, що, рухаючись навіть зі швидкістю світла, -мезони можуть пройти шлях близько 600 м. Проте, як свідчать спостереження, -мезони виникають у космічному випромінюванні на висоті 20...З0 км і багато з них досягає поверхні Землі. Це пояс-нюється тим, що 2 • 10^–6 с — власний час життя -мезона — час, виміряний за годинником, який би рухався разом з ним. Час, відрахований за годинником експериментатора на Землі, відповідно до співвідношення (14.12), набагато більший.

3. Формула лоренцового скорочення.Розглянемо стрижень, розташований уздовж осі х, який перебуває в стані спокою відносно системи К'. Тоді відносно системи Кцей стрижень рухатиметься зі швидкістю . Порівняємо довжини стрижня у системах Кі К'. У системі К', відносно якої стрижень перебуває у стані спокою, визначення довжини стрижня зводиться до визначення координат х'₁ і х'₂ його кінців. Довжиною стрижня у системі К'є

У системі К, відносно якої стрижень рухається, справа ускладнюється тим, що треба визначити одночасно координати кінців стрижня х₁ і х₂. Тоді . Відповідно до формул перетворень Лоренца (14.9) маємо

>

Звідси

(14.13)

Отже, в системі К, відносно якої стрижень рухається, довжина його менша, ніж у системі К', відносно якої стрижень перебуває в стані спокою. Співвідношення (14.13) називають формулою лоренцового скорочення. Слід зауважити, що формули перетворень Лоренца втрачають свій зміст, коли =c, оскільки тоді в знаменнику з'являються нулі, а ділення на нуль, як відомо, неможливе. Це означає, що ніякі дві системи відліку не можуть мати відносну швидкість, яка дорівнювала б швидкості світла. Цей результат випливає також із формули лоренцового скорочення: тіло, що рухалося б зі швидкістю світла, мало б поздовжні розміри, які дорівнювали б нулю.

4. Закон додавання швидкостей. У класичній механіці, як відомо, швидкість тіла просто додається до швидкості системи відліку. Розглянемо це питання в релятивістській механіці й обмежимося одновимірним випадком. Нехай у двох системах відліку Кі К'вивчається рух тіла, яке переміщується прямолінійно і рівномірно паралельно осям хі х^/обох систем відліку (див. рис. 14.5). Нехай швидкість тіла, визначена в системі К, є и, а швидкість того самого тіла, визначена в системі К', — и'. Швидкість системи К'відносно системи Кпозначимо через . Унаслідок руху тіла його координати в системах Кі К'змінюються. Початкове положення тіла в системі Квизначається координатами х₁ , t₁, кінцеве — x₂, t₂. У системі К'координати тіла відповідно дорівнюватимуть х₁^’ , t₁^’і x₂^’, t₂^’. Швидкість тіла визначається відношенням пройденого тілом шляху до відповідного проміжку часу. Тому для знаходження швидкості тіла в обох системах відліку треба різницю просторових координат обох подій поділити на різницю часових координат:

; . (14.14)

Із формул перетворень Лоренца дістанемо

; (14.15)

(14.16)

Поділимо відповідно праві і ліві частини цих рівностей:

(14.17)

Отже, дістанемо релятивістську формулу додавання швидкостей

(14.18)

Розглянемо мислений експеримент. Нехай ракета рухається зі швидкістю світла (=с) відносно системи К', а сама система К'також рухається відносно системи Кзі швидкістю = с. Якою буде швидкість ракети відносно нерухомої системи К? Щоб відповісти на це запитання, скористаємось релятивістським законом додавання швидкостей (14.18)

(14.19)

Цей результат пояснює і дослід Майкельсона. Один з основних висновків спеціальної теорії відносності полягає в тому, що жодне тіло не може рухатись зі швидкістю, більшою за швидкість світла у вакуумі. Справді, якщо швидкість тіла наближається до швидкості світла, то його об'єм унаслідок лоренцового скорочення (14.13) прагнутиме до нуля, а маса — до нескінченності.

Слід звернути увагу на те, що однаковою в усіх системах є лише швидкість світла у вакуумі. Швидкість світла в речовині в різних системах відліку різна. Значення с/пвона має в системі відліку, що пов'язана з середовищем, в якому поширюється світло. Якщо , то формула (14.18) переходить у формулу додавання швид­костей класичної механіки.

Читайте також:

1. Вид заняття: лекція
2. Вид заняття: лекція
3. Вид заняття: лекція
4. Вид заняття: лекція
5. Вид заняття: лекція
6. Вступна лекція
7. Вступна лекція 1. Методологічні аспекти технічного регулювання у
8. Клітинна селекція рослин.
9. Колекція фонограм з голосами осіб, які анонімно повідомляли про загрозу вибуху
10. ЛЕКЦІЯ (4): Мануфактурний період світової економіки
11. Лекція - Геополітика держави на міжнародній арені
12. Лекція 02.04.2013

Переглядів: 550