• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Інтегрування раціональних функцій.

Інтегрування елементарних дробів.

Визначення: Елементарниминазиваються дроби наступних чотирьох типів:

I. III.

II. IV.

m, n – натуральні числа ( ) і b² – 4ac <0.

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто приводяться до табличних підстановкою t = ax + b.

I.

II.

Розглянемо метод інтегрування елементарних дробів виду III.

Інтеграл дробу виду III може бути представлений у вигляді:

Тут у загальному вигляді показане приведення інтеграла дробу виду III до двох табличних інтегралів.

Розглянемо застосування зазначеної вище формули на прикладах.

Приклад.

Загалом кажучи, якщо в тричлена ax² + bx + c вираз b² – 4ac >0, то дріб за визначенням не є елементарним, однак, його можна інтегрувати зазначеним вище способом.

Приклад.

Приклад.

Розглянемо тепер методи інтегрування найпростіших дробів IV типу.

Спочатку розглянемо окремий випадок при М = 0, N = 1.

Тоді інтеграл виду можна шляхом виділення в знаменнику повного квадрата представити у вигляді . Зробимо наступне перетворення:

.

Другий інтеграл, що входить у цю рівність, будемо брати частинами.

Позначимо:

Для вихідного інтеграла одержуємо:

Отримана формула називається рекурентною. Якщо застосувати її n – 1 раз, то вийде табличний інтеграл .

Повернемося тепер до інтеграла від елементарного дробу виду IV у загальному випадку.

В отриманій рівності перший інтеграл за допомогою підстановки t = u² + s приводиться до табличного , а до другого інтеграла застосовується розглянута вище рекурентна формула.

Незважаючи на видиму складність інтегрування елементарного дробу виду IV, на практиці його досить легко застосовувати для дробів з невеликим ступенем n, а універсальність і загальність підходу уможливлює дуже просту реалізацію цього методу на ЕОМ.

Приклад:

Інтегрування раціональних дробів.

Для того, щоб проінтегрувати раціональний дріб необхідно розкласти його на елементарні дроби.

Теорема: Якщо – правильний раціональний дріб, знаменник P(x) якого представлений у вигляді добутку лінійних і квадратичних множників (відзначимо, що будь-який багаточлен з дійсними коефіцієнтами може бути представлений у такому вигляді: P(x) = (x – a)^a…(x-b)^b(x²+px+q)^l…(x²+rx+s)^m), то цей дріб може бути розкладена на елементарні за наступною схемою:

де A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – деякі постійні величини.

При інтегруванні раціональних дробів вдаються до розкладу вихідного дробу на елементарні. Для знаходження величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i застосовують так званий метод невизначених коефіцієнтів, суть якого полягає в тому, що для того, щоб два багаточлени були тотожно рівні, необхідно й досить, щоб були рівні коефіцієнти при однакових ступенях х.

Застосування цього методу розглянемо на конкретному прикладі.

Приклад.

Оскільки , то

Приводячи до спільного знаменника й дорівнюючи відповідні чисельники, одержуємо:

Отже:

Приклад.

Оскільки дріб неправильний, то попередньо слід виділити в ньому цілу частину:

6x⁵ – 8x⁴ – 25x³ + 20x² – 76x – 7 3x³ – 4x² – 17x + 6

6x⁵ – 8x⁴ – 34x³ + 12x² 2x² + 3

9x³ + 8x² – 76x – 7

9x³ – 12x² – 51x +18

20x² – 25x – 25

Розкладемо знаменник отриманого дробу на множники. Видно, що при х = 3 знаменник дробу перетворюється в нуль. Тоді:

3x³ – 4x² – 17x + 6 x – 3

3x³ – 9x² 3x² + 5x – 2

5x² – 17x

5x² – 15x

– 2x + 6

– 2x + 6

Таким чином 3x³ – 4x² – 17x + 6 = (x – 3)(3x² + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тоді:

Для того, щоб уникнути при знаходженні невизначених коефіцієнтів розкриття дужок, групування й розв’язання системи рівнянь (яка в деяких випадках може виявитися досить великою) застосовують так званий метод довільних значень. Суть методу полягає в тому, що в отриманий вище вираз підставляються по черзі декілька (по числу невизначених коефіцієнтів) довільних значень х. Для спрощення обчислень прийнято як довільні значення приймати точки, при яких знаменник дробу дорівнює нулю, тобто в нашому випадку – 3, – 2, 1/3. Одержуємо:

Остаточно одержуємо:

=

Приклад.

Знайдемо невизначені коефіцієнти:

Тоді значення заданого інтеграла:

Інтегрування деяких тригонометричних функцій.

Інтегралів від тригонометричних функцій може бути нескінченно багато. Більшість із цих інтегралів взагалі не можна обчислити аналітично, тому розглянемо деякі найголовніші типи функцій, які можуть бути проінтегровані завжди.

Читайте також:

1. Аденогіпофіз, його гормони, механізм впливу, прояви гіпер- та гіпофункцій.
2. Альтернативні уявлення щодо макроекономічного регулювання: теорії раціональних сподівань та економіка пропозиції. Крива Лафера.
3. Безпосереднє інтегрування
4. Вибір раціональних способів усунення заданих дефектів
5. Вибір раціональних способів усунення заданих дефектів
6. Вироблення та реалізація раціональних управлінських рішень.
7. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.
8. Властивості множини невід’ємних раціональних чисел.
9. Гіпофункцій.
10. Диференціювання та інтегрування матриць.
11. Додавання і віднімання невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність суми і різниці. Властивості (закони) додавання.
12. Замикання і замкнені класи булевих функцій.

Переглядів: 2182