Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Рідини. Явища в рідинах

По характеру руху молекул і сил взаємодії між ними рідини займають проміжне положення між газами і твердими тілами. В рідинах молекули протягом певного часу здійснюють коливання навколо тимчасового положення рівноваги. Цей час називається часом осідлого стану молекули. Потім молекула перескакує в інше положення рівноваги (рис.6.37). Ці хаотичні переходи нагадують рух молекул газу, а коливальний рух – рух атомів у твердих тілах. Для рідин характерний ближній порядок в розміщенні молекул. Це означає, що розміщення найближчих сусідніх молекул однакове для всіх молекул. Але по мірі віддалення такий порядок порушується. Твердим же кристалічним тілам характерний дальній порядок в розміщенні молекул. У зв’язку з цим для кристалів має місце анізотропія властивостей (різні властивості в різних напрямках), а для рідин характерні ізотропні (однакові в різних напрямках) властивості. Але існують так звані рідкі кристали, названі так із-за анізотропії своїх властивостей, яка зумовлена анізотропією властивостей окремих молекул, а не дальнім порядком в їх розміщенні. Молекули рідких кристалів уявляють собою довгі ланцюги полімерних сполук. При паралельній одна одній орієнтації молекул і виникає анізотропія.

В рідинах спостерігаються ряд специфічних для них властивостей:

1) поверхнева енергія; 2) сила поверхневого натягу; 3) поверхневий тиск; 4) змочування і незмочування 5) капілярні.

Розглянемо кожне із них.

– Поверхнева енергія. Розглянемо сили, які діють з боку сусідніх молекул на дві молекули рідини (рис.6.38): об’ємну (А) і поверхневу (В). Оточення об’ємної молекули А симетричне, тому рівнодіюча сил дорівнює нулю. На поверхневу молекулу В діють сили з боку рідини більші, ніж з боку газу. Виникає рівнодіюча сила, направлена всередину рідини. Отже для переведення молекули з об’єму на поверхню необхідно виконати роботу проти цієї рівнодіючої. Ця робота перетворюється в потенціальну енергію поверхневих молекул.

Поверхнева енергія U_S дорівнює різниці енергії поверхневих молекул і енергії такої ж кількості об’ємних молекул. Ясно, що вона пропорційна кількості поверхневих молекул, тобто площі поверхні рідини S . (6.78)

Тут - коефіцієнт поверхневого натягу, для кожної рідини величина стала, але залежить від температури і домішок.

– Сила поверхневого натягу. Відомо (розділ 4.7), що стійкою рівновагою системі є стан з мінімальною потенціальною енергією. Тому рідина має тенденцію зайняти стан з мінімальною площею поверхні, тобто скоротитись. Це приводить до виникнення сили поверхневого натягу, яка діє вздовж межі поверхні по дотичній до неї. Знайдемо величину цієї сили F. Нехай на прямокутну рамку з рухомою стороною натягнута плівка рідини (рис.6.39). Розтягнемо плівку силою F на відстань х. Таке розтягування фактично є не що інше, як процес переводу молекул із об’єму рідини на поверхню. Буде виконана робота А = F∙x, яка дорівнює збільшенню поверхневої енергії . Одержуємо для сили поверхневого натягу . (6.79)

Силою поверхневого натягу рідина уже стиснута. Цим і пояснюється погана стискуваність рідин.

– Поверхневий тиск. Коли поверхня рідини викривлена (утворився меніск), її площа більша, ніж плоскої поверхні і поверхнева енергія не мінімальна. Тенденція поверхні до скорочення приводить до виникнення сили, яка направлена до центру кривизни поверхні. Виникає поверхневий тиск Р_S (рис.6.40). Знайдемо його величину на прикладі краплини рідини, яка має форму кулі радіусом R (таку форму буде мати рідина у стані невагомості). Уявно розріжемо її діаметральною площиною (рис.6.41). Вздовж лінії перерізу (кола) діє сила поверхневого натягу , яка і стискує дві півкулі. Ця сила розподіляється по площі перерізу . Виникає поверхневий тиск, направлений до центра кулі

. (6.80)

Тут - кривизна сферичної поверхні. Якщо ж поверхня не сферична, то її кривизна визначається як півсума обернених радіусів кривизни R₁ і R₂ ліній перетину цієї поверхні двома будь-якими взаємно-перпендикулярними площинами (рис.6.42)

. (6.81)

Наприклад, для циліндричного меніска (рис.6.43) кривизна .

– Явище змочування і не змочування. На поверхневу молекулу, яка межує з поверхнею твердого тіла і газом діють сили: F_т.р – на межі тверда поверхня-рідина; F_т..г – на межі тверде тіло-газ; F_р..г – на межі рідина-газ (рис.6.44). Умовою рівноваги цієї молекули є рівняння

, (6.82)

де θ – крайовий кут – це кут між дотичною до поверхні та межею між рідиною і твердою поверхнею, відрахований в середині рідини. Із (6.82) . В залежності від співвідношення сил, крайовий кут може мати значення від 0^о до 180^о. Якщо кут 0^о ≤ θ < 90^о гострий, рідина змочує поверхню (рис.6.45,а). Якщо ж кут 90^о ≤ θ ≤180^о тупий, рідина не змочує поверхню (рис.6.45,б). Саме явище змочування чи незмочування твердої поверхні і є причиною викривлення поверхні рідини, тобто утворення меніску.

– Капілярні явища – заключаються у зміні рівня рідини у вузьких каналах (капілярах) порівняно з її рівнем у широкій посудині (рис.6.46). Рідина піднімається, або опускається за рахунок поверхневого тиску меніску рідини, який утворюється при змочуванні чи не змочуванні рідиною поверхні капіляру. Зміна висоти рівня припиняється тоді, коли поверхневий тиск зрівноважується гідростатичним тиском стовпчика рідини . (ρ – густина рідини). Отже, різниця рівнів рідини в капілярі . (6.83)

Кривизну меніска знайдемо через геометричні розміри капіляра і крайовий кут.

У циліндричному капілярі меніск має сферичну поверхню, кривизна якої . Із рис.6.46 знаходимо . Таким чином, для циліндричного капіляра

. (6.84)

Якщо капіляр утворений двома паралельними площинами, відстань між якими r, меніск має циліндричну поверхню. Тому кривизна , а висота . (6.85)

6.28 Фазові переходи. Діаграма стану речовини. Рівняння Клапейрона-Клаузіуса

Фазою називається однакові за фізичними властивостями частини системи. На рис.6.47 зображені три фази: вода, лід, пара.

Перехід речовини із однієї фази в іншу називається фазовим переходом. Розрізняють фазові переходи 1-го і 2-го роду. При фазових переходах 1-го роду виділяється, або поглинається прихована теплота переходу. Наприклад, плавлення (кристалізація)

, (6.86)

випаровування (конденсація)

. (6.87)

Тут λ і r – питомі теплоти плавлення і випаровування відповідно.

При фазових переходах 2-го роду прихована теплота не проявляється, але відбувається стрибкоподібна зміна певних фізичних властивостей. Як правило такі переходи супроводжується стрибкоподібною зміною теплоємності. Тому теплоємність може слугувати як індикатор фазових переходів 2-го роду. Прикладами таких переходів є перехід графіту в алмаз (змінюється твердість), перехід у надпровідний стан (змінюється електропровідність), перехід феромагнетику в парамагнетик при нагріванні (змінюється магнітна проникність), перехід у надтекучий стан (змінюється коефіцієнт в’язкості) і т.д.

При певних умовах різні фази речовини можуть знаходитись у рівновазі при контакті однієї фази з іншою. Такий стан має місце при певних зовнішніх умовах (температура Т, тиск Р, ... ). Сукупність станів рівноваги різних фаз в координатах Р-Т називається діаграмою стану речовини (рис.6.48). Лінія АТ - крива сублімації, ВТ - крива випаровування, СТ – крива плавлення. Точка діаграми стану відповідає рівновазі відповідних фаз, тобто відповідають умовам відповідного фазового переходу. Звертає на себе увагу точка Т рівноваги трьох фаз. Ця точка називається потрійною точкою. Для різних речовин параметри потрійної точки різні. Наприклад, для води: Р₃ = 4,58 мм рт.ст., .Кожна точка діаграми стану відповідає умовам відповідного фазового переходу. Отже, при зміні тиску dP змінюється і температура фазового переходу на dT (рис.6.49). Таку зміну описує рівняння Клапейрона-Клаузіуса

. (6.88)

Тут: V₂ і V₁ – об’єми речовини відповідно після і до фазового переходу, Q – прихована теплота фазового переходу.

Наприклад, відомо, що при плавленні льоду об’єм речовини зменшується V₂ < V₁. Для плавлення потрібно затратити тепло, тобто Q < 0. Отже, при dP > 0 збільшенні тиску dT < 0 температура плавлення зменшується, і може стати меншою 0^оС. Таке явище має місце під ковзанами спортсменів. Утворювана під ковзанами вода виконує роль змащування і зменшує тертя. Аналогічно пояснюється і зменшення температури кипіння води в горах при зниженому тискові.

7 Електродинаміка. Електростатика

7.1 Поняття про заряд. Закон збереження заряду. Взаємодія зарядів. Закон Кулона. Силові характеристики поля

Дослідами по взаємодії тіл встановлено, що деякі тіла взаємодіють з силами, набагато більшими (приблизно в 10³⁹ разів), ніж сила гравітаційної взаємодії. Таким тілам приписали властивість мати заряд. Всі заряди умовно поділені на позитивні і негативні у відповідності з двозначним характером їх взаємодії: однойменні заряди відштовхуються, різнойменні притягуються. Сучасній науці відомо, що носіями заряду являються електрони та іони. Елементарним (найменшим) зарядом є заряд електрона е = -1,6∙10^-19 Кл. Кл (кулон) це одиниця заряду в системі одиниць СІ. У всіх електричних явищах має місце закон збереження заряду - алгебраїчна сума зарядів замкнутої (ізольованої) системи не змінюється.

В основі електростатики, тобто вчення про взаємодію нерухомих зарядів, лежить закон Кулона (1785р.) для точкових зарядів:

(7.1)

Сила , з якою взаємодіють два точкових заряди Q і q прямо пропорційна добуткові цих зарядів, обернено пропорційна квадрату відстані r між ними і направлена по лінії, що з’єднує ці заряди

- діелектрична стала, яка не має фізичного змісту, а введена для узгодження одиниць вимірювання в системі СІ; - відносна діелектрична проникність середовища, яка показує у скільки разів сила взаємодії у вакуумі F_o більша, ніж сила взаємодії F в даному середовищі. Для повітря і вакууму = 1.

По сучасним поглядам, взаємодія зарядів відбувається через особливу форму матерії – електричне поле. Кожний заряд утворює у навколишньому середовищі електричне поле, яке і діє на внесений у нього заряд.

Силовою характеристикою електростатичного поля є напруженість

(7.2)

Ця векторна величина дорівнює силі, яка діє з боку поля на одиничний позитивний пробний заряд. Для поля точкового заряду Q напруженість

(7.3)

Вектор

направлений по радіальним лініям від заряду Q, якщо він позитивний, і до нього, якщо він негативний.

Вектор називається вектором індукції електростатичного поля. Це теж силова, векторна характеристика поля, але на відміну від напруженості, вона не залежить від властивостей середовища. Дійсно, для точкового заряду, враховуючи (7.3), маємо

. (7.4)

Діелектричні властивості середовища (ε і ε_о) в цій формулі відсутні.

Графічно електростатичне поле зображається силовими лініями. Це лінії, дотична до яких в кожній точці співпадає з вектором напруженості

(індукції

) (рис.7.1). Силові лінії починаються на позитивних і закінчуються на негативних зарядах. Вони не перетинаються, так як вектори напруженості і індукції однозначні. У точці ж перетину напрямок цих векторів не визначений.

По густині силових ліній можна судити про величину . Вони більші там, де густина ліній більша.

7.2 Принцип суперпозиції та його застосування до розрахунку

електростатичного поля

Якщо поле утворене декількома зарядами, то вектор напруженості результуючого поля знаходиться по принципу суперпозиції, як векторна сума напруженостей, утворених в даній точці кожним зарядом незалежно від інших зарядів (рис.7.2).

. (7.5)

Ступінь зарядженості тіл, які не можна вважати точковими, характеризуються такими величинами:

лінійна густина заряду – заряд одиниці довжини

; (7.6)

поверхнева густина заряду – заряд одиниці площі

; (7.7)

об’ємна густина заряду – заряд одиниці об’єму

. (7.8)

Для полів, утворених неточковими зарядами, напруженість розраховується також по принципу суперпозиції, але формула (7.5) переходить у відповідний ( криволінійний, поверхневий чи об’ємний ) інтеграли

, , , (7.9)

де - напруженість поля, створеного нескінченно малим елементом тіла dl, dS чи dV. Розглянемо декілька прикладів застосування принципу суперпозиції для розрахунку поля заряджених тіл.

Приклад 1. Розрахувати напруженість електричного поля на осі зарядженого кільця радіусом R, зарядом Q на відстані h від центра кільця (рис.7.3).

Елемент dl₁ кільця, заряд якого , створює напруженість поля . (7.10)

Діаметрально протилежний елемент dl₂ створює напруженість dE₂. Ясно, що Х–ві проекції цих векторів попарно компенсуються, а У-ві – додаються.

. Враховуючи (7.10), і що , одержуємо

. (7.11)

При h =0 ( в центрі кільця) Е=0. При h → ∞ Е = 0.

Приклад 2. Розрахувати поле нескінченної зарядженої осі в точці, яка знаходиться на відстані R від неї. Лінійна густина заряду осі дорівнює τ (рис.7.4).

Нескінченно малий елемент dℓ(точковий заряд) створює напруженіcть . Заряд цього елемента дорівнює . Відстань . Одержуємо . Знаходимо проекції цього вектора на осі координат: , . Інтегрування по всій осі зводиться до інтегрування по куту α в межах від 0 до π.

. (7.12)

Так як Е_у = 0, вектор напруженості направлений вздовж осі ох, тобто перпендикулярно до зарядженої осі.

Приклад 3. Розрахувати поле нескінченної зарядженої площини з поверхневою густиною заряду σ (рис.7.5).

Положення нескінченно малого елемента dS, заряд якого dq = σ∙dS,

задамо полярними координатами ρ і α. В цих координатах dS = ρ∙dρ∙dα. Знайдемо dE_z , яка перпендикулярна до площини. Щоб охопити всю площину, кут α повинен змінюватись від 0 до 2π, а радіус ρ – від 0 до ∞. Беремо подвійний інтеграл в цих межах

Проекція вектора напруженості на площину, перпендикулярну до осі ОZ дорівнює нулю. В цьому можна впевнитись математично, замінивши соsφ на sinφ, а можна і такими міркуваннями: на нескінченній площині завжди можна знайти елемент dS₂, симетричний dS₁ відносно перпендикуляра h до площини (рис7.6). Ці елементи створюють однакові вектори напруженості dE₁ і dE₂, Z-ві проекції яких співпадають, а перпендикулярні проекції взаємно протилежні і тому компенсують одна одну. Отже вектор напруженості поля нескінченної зарядженої площини

(7.13)

перпендикулярний до неї і не залежить від положення точки, тобто однакове в усіх точках простору. Такі поля називаються однорідними.

7.3 Теорема Остроградського-Гаусса та її застосування до розрахунку електростатичного поля заряджених тіл

Для спрощення розрахунку полів симетричних заряджених тіл застосовується теорема Остроградського – Гауса: потік вектора електростатичної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, охоплених цією поверхнею. . (7.14)

Потоком dФ векторачерез площадку dS називається добуток вектора на величину площадки dS і на косинус кута α між вектором і нормальним до площадки dS одиничним вектором (рис.7.7).

. (7.15)

Площадку dS вважають вектором, який за напрямком співпадає з вектором . Якщо заряд, наприклад, q₁ знаходиться за межами замкнутої поверхні (рис.7.8), потік дорівнює нулю. Дійсно, скільки силових ліній входить в об’єм, обмежений поверхнею, стільки ж і виходить. Силові ж лінії від заряду q₂, який знаходиться всередині поверхні, тільки виходять з неї.

Розглянемо приклади застосування цієї теореми.

Приклад 1. Напруженість поля точкового заряду.

Поверхню S вибираємо у вигляді сфери радіусом r, в центрі якої знаходиться заряд q (рис.7.9).

По теоремі Остроградського-Гауса маємо

Для різних точок сфери вектор D однаковий за величиною, так як всі вони однаково розміщені по відношенню до заряду q. Тому його винесли за знак інтегралу. А дає площу поверхні сфери. Одержуємо

і . (7.16)

Приклад 2. Поле зарядженої по поверхні до заряду q металевої кулі радіусом R (рис.7.10).

Для r < R Тому D = 0 і Е = 0. Поле всередині провідників відсутнє. При r > R аналогічно прикладу 2,

і . (7.17)

Графік залежності індукції D від радіуса r показана на рис.7.12. На поверхні кулі індукція зазнає стрибкоподібної зміни на величину σ поверхневої густини вільних зарядів.

Приклад 3. Поле рівномірно зарядженої по об’єму до заряду q кулі радіусом R (рис.7.13).

Для r>R аналогічно прикладу 2 і 3

і . (7.18)

Об’ємна густина заряду . Вирази (7.18) приймуть вид

(7.19)

При r<R одержуємо .

, (7.20)

або через густину заряду і (7.21)

Графік залежності індукції D від радіуса r показана на рис.7.14. При r = R вирази (7.18) і (7.20) дають однакову величину D. Отже на поверхні кулі вектор індукції розриву не зазнає.

Висновок. Із прикладів 1-3 видно, що поле зарядженої кулі за її межами таке ж, як і поле точкового заряду, якщо заряд кулі зосередити в її центрі (див. вирази (7.16)-(7.18).

Приклад 4. Поле нескінченної зарядженої осі (циліндра) з лінійною густиною заряду τ (рис.7.15).

Поверхню S виберемо у вигляді циліндра, вісь якого співпадає з зарядженою віссю. Для основ цього циліндра кут між і дорівнює 90^о. Тому потік через основи дорівнює нулю. Для елементів бічної поверхні цей кут дорівнює 0^о. Отже можна записати Одержуємо (7.22).

Одержаний результат співпадає з (7.12).

Приклад 5. Поле нескінченної зарядженої площини з поверхневою густиною заряду σ (рис.7.16).

Поверхню S вибираємо у вигляді циліндра, основи якого радіусом r паралельні площині. Для бічної поверхні кут між і дорівнює 90^о. Тому потік через бічну поверхню дорівнює нулю. Для елементів основ цей кут дорівнює 0^о. Отже можна записати

Одержуємо (7.23).

Одержали такий же результат, як і в (7.13).

Приклад 6. Поле нескінченних паралельних різнойменно заряджених площин до густини зарядів +σ і -σ.

По принципу суперпозиції . Якщо густини зарядів однакові, то за межами площин (рис.7.17), а між площинами

(7.24)

7.4 Робота в електростатичному полі. Різниця потенціалів. Потенціал. Циркуляція вектора напруженості електростатичного поля

Нехай в деякому електростатичному полі переміщується заряд q із точки 1 в точку 2 (рис.7.18). На заряд діє сила . Тоді елементарна механічна робота

Загальна робота знаходиться шляхом інтегрування

, (7.25)

де α – кут між вектором і напрямком переміщення .

Для однорідного поля . (7.26)

Покажемо, що робота в електричному полі не залежить від форми шляху, а визначається тільки зарядом q і положеннями початкової і кінцевої точок та напруженістю електричного поля . Нехай в однорідному полі напруженістю переміщується заряд q двома способами (рис.7.19): по прямій 1-2 і по ломаній 1-3-2. Знайдемо роботу електричного поля в обох випадках. .

Одержали однакову роботу. А це й означає незалежність роботи від форми шляху. Якщо ж поле неоднорідне, то аналогічні міркування виконуються для нескінченно малих відрізків, на яких можна вважати поле однорідним. Загальна робота дорівнює сумі робот на кожному із цих відрізків. Ясно, що якщо на кожному із них робота не залежить від форми шляху, то і сумарна робота не буде залежати від форми шляху.

Якщо в (7.25) віднести роботу до заряду q, то воно уже не буде залежати від величини заряду, а буде визначатись тільки положенням початкової і кінцевої точок та напруженістю поля. Це дає можливість ввести нову енергетичну характеристику поля: потенціал і різницю потенціалів. Із (7.25) одержуємо

(7.27).

- різниця потенціалів, дорівнює роботі, яку виконують сили електростатичного поля при переміщенні одиночного позитивного заряду із точки 1 в точку 2.

Отже робота в електростатичному полі дорівнює добуткові заряду на різницю потенціалів вихідної і кінцевої точок

. (7.28)

Якщо точку 2 віддалити у нескінченність, де поле відсутнє, одержуємо потенціал

(7.29).

Потенціал– це робота сил електричного поля по переміщенню одиничного позитивного заряду із даної точки поля r в нескінченність, де потенціал поля прийнятий за нуль. Потенціал і його різниця вимірюються у вольтах (В).

Криволінійний інтеграл по замкнутому контуру називається циркуляцією вектора напруженості. Враховуючи (7.27), видно, що такий інтеграл дорівнює нулю (початкова і кінцева точки переміщення заряду співпадають φ₁ = φ₂). Умова є необхідною умовою потенціального характеру поля.

Знайдемо потенціал поля точкового заряду. За означенням

Будемо переміщувати пробний заряд q_o по радіальній лінії (рис.7.20). Тоді кут α = 0^о і з врахуванням (7.16) одержуємо

(7.30)

Для потенціалу, як і для напруженості (розділ 7.2), справедливий принцип суперпозиції:

(7.31)

потенціал поля, створеного декількома зарядами, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених у цій точці кожним зарядом. Якщо тіло не точкове, то сума (7.31) переходить в інтеграл.

7.5 Еквіпотенціальні поверхні. Зв’язок між напруженістю і потенціалом електростатичного поля

Геометричне місце точок однакового потенціалу називається еквіпотенціальною поверхнею. Встановимо зв’язок між напруженістю і потенціалом. Нехай маємо дві еквіпотенціальні поверхні з потенціалами φ і φ+dφ (рис.7.21). Перемістимо заряд q із однієї поверхню на другу. Робота для такого переміщення дорівнює:

, або через напруженість

Прирівнюємо праві частини цих рівнянь, або . (7.32)

Напруженість дорівнює градієнту потенціалу з протилежним знаком.

Для однорідного поля напруженість дорівнює відношенню різниці потенціалів між двома точками до проекції відстані між ними на напрямок поля . (7.33)

Еквіпотенціальні і силові лінії взаємно перпендикулярні (рис.7.21). Дійсно, при переміщенні заряду по еквіпотенціальній поверхні робота дорівнює нулю (). Але на заряд діє сила, і щоб її робота дорівнювала нулю, необхідно, щоб кут між

силою і переміщенням становив 90^о (соs 90^o = 0).

7.6 Електроємність. Конденсатори. З’єднання конденсаторів

Досліди показують, що при зарядженні провідників змінюється і їхній потенціал, причому між ними має місце лінійна залежність . (7.34)

Коефіцієнт пропорційності , (7.35)

тобто відношення заряду провідника до його потенціалу називається електроємністю провідника. Одиницею вимірювання електроємності в системі СІ є фарада (Ф). Це електроємність такого провідника, при зміні заряду якого на 1Кл його потенціал змінюється на 1В. Менші одиниці електроємності: 1мкФ = 10^-6Ф, 1нФ = 10^-9Ф, 1пФ = 10^-12Ф.

Для системи провідників (конденсаторів) їхня взаємна електроємність , (7.36)

де різниця потенціалів між тілами, q – заряд одного із тіл.

Знайдемо електроємності простих конденсаторів.

Приклад 1. Електроємність сфери радіусом R.

Із (7.30) знаходимо . (7.37)

Приклад 2. Електроємність плоского конденсатора.

Як правило відстань між пластинами d набагато менша від розмірів пластин. Тому крайовими ефектами можна знехтувати і вважати поле між пластинами однорідним. Із (7.33) з врахуванням (7.24) одержуємо Тоді . (7.38)

Приклад 3. Електроємність циліндричного конденсатора (рис.7.23). Це два коаксіальних циліндри. Із (7.27), враховуючи (7.22) і (7.6) знайдемо різницю потенціалів між циліндрами.

Тоді (7.39)

Приклад 4. Електроємність сферичного конденсатора (рис.7.24).

Різницю потенціалів між сферами знайдемо врахувавши висновок розділу 7.3 і формулу (7.30).

Тоді електроємність (7.40)

Висновок. Приклади 1-4 і формули (7.37)-(7.40) показують , що електроємність не залежить від заряду, а визначається геометричними розмірами конденсаторів і властивостями діелектрика.

При з’єднанні конденсаторів у батареї загальна електроємність знаходиться так:

при паралельному з’єднанні як сума електроємностей конденсаторів;

(7.41)

при послідовному з’єднанні обернена електроємність батареї дорівнює сумі обернених електроємностей конденсаторів

. (7.42)

7.7 Енергія та густина енергії електростатичного поля

Для того, щоб зарядити тіло необхідно виконати роботу по перенесенню порції заряду dq проти сил відштовхування від раніше перенесеного однойменного заряду q. Ця робота перетворюється в потенціальну енергію зарядженого тіла (в енергію електричного поля). Підставивши із (7.35), одержимо . Інтегрування в інтервалі від 0 до із врахуванням (7.34) дає енергію

. (7.43)

Густина енергії електростатичного поля – це енергія, яка зосереджена в одиниці об’єму простору, де це поле утворене

(7.44)

Знайдемо її на прикладі плоского конденсатора (див. приклад 2 розділ 7.6). Об’єм . Із (7.38), (7.43), (7,44) і враховуючи (7.33), одержуємо

. (7.45)

8 Постійний електричний струм та його закони

8.1 Сила струму. Електрорушійна сила (е.р.с.). Напруга. Густина струму

Електричним струмом називається всякий направлений рух зарядів. За напрямок струму прийнятий напрямок руху позитивних зарядів. Для його існування необхідні дві умови:

– наявність рухомих зарядів;

– наявність сили, яка приводить ці заряди в направлений рух.

Наприклад, заряджене тіло переміщуємо у просторі мускульною силою руки. Це струм? Так. є заряд і є сила, яка його переміщує.

Найчастіше силою, яка переміщує заряд, виступає сила електричного поля. Робота цього поля витрачається на переміщення зарядів, і тому його енергія зменшується. Для того щоб струм протікав тривалий час, потрібно поповнювати енергію поля. Це відбувається в джерелах струму, або джерелах електрорушійної сили (е.р.с.). В них відбувається перетворення в електричну енергію різних видів енергії: механічної, оптичної, теплової, хімічної і т. ін., окрім електричної. Ці сили називаються сторонніми. Дійсно, в джерелах е.р.с. позитивні заряди рухаються проти електричного поля (від – до +) (рис.8.1). Такий їх рух не може здійснюватись силами електричного поля.

Робота по переміщенню заряду по дільниці кола, в якій є е.р.с., виконується силами електричного поля і сторонніми силами

Тут е.р.с. - це робота, яку виконують сторонні сили по переміщенню одиничного позитивного заряду в середині джерела. Величина (8.1)

називається напругою. Це робота, яку виконують сили електричного поля і сторонні сили по переміщенню одиничного позитивного заряду із точки 1 в точку 2.

Силою струму I називається швидкість направленого переносу заряду

. (8.2)

Вимірюється струм у системі СІ в амперах (А). Це основна одиниця в цій системі і буде визначена по взаємодії провідників із струмом у розділі “електромагнетизм”.

Для характеристики розподілу струму по поперечному перетину провідника введена густина струму j – це струм, який протікає через одиницю поперечного перерізу

. (8.3)

Не дивлячись, що струм величина скалярна, густина струму – це вектор, напрямок якого збігається з напрямком руху позитивних зарядів, тобто

. (8.4)

Струм, через густину струму знаходять шляхом інтегрування по площі перерізу провідника . (8.5)

8.2 Основні положення класичної теорії електропровідності металів. Експериментальне підтвердження електронної природи струму в металах

Після відкриття у 1897 р. Дж. Томсоном електрона німецький фізик П. Друде у 1900 році заклав основи класичної теорії електропровідності металів, яка знайшла подальший розвиток у роботах нідерландського фізика Х. Лоренца. Розглянемо положення цієї електронної теорії Друде-Лоренца.

– Електронний газ в металах має властивості одноатомного молекулярного ідеального газу. Рухаючись хаотично, електрони зазнають зіткнень тільки з атомами кристалічної гратки, а не між собою, так як розміри електронів набагато менші, ніж атомів. Тому вважається, що середня довжина вільного пробігу електронів дорівнює міжатомній відстані і складає декілька ангстремів (1Å = 10^-10м).

– Так як теплові швидкості (середня арифметична, середня квадратична, найбільш ймовірна) із-за малої маси електронів дуже великі (~ 100 км/с), вважається що всі вони однакові. Тепловий хаотичний рух не приводить до направленого руху електронів, тобто струм не виникає.

– Під дією зовнішнього електричного поля виникає направлений рух електронів із швидкістю V, яка направлена проти напруженості поля. Знайдемо силу струму і його густину (рис.8.2). За час dt через перпендикулярний до вектора швидкості V переріз dS провідника перейдуть тільки ті носії, які знаходяться від нього на відстані не більшій, ніж і перенесуть свій заряд через цей переріз. Носії, які знаходяться далі, не встигнуть за цей час дійти до перерізу dS і внести вклад в електричний струм. Сумарний перенесений заряд дорівнює заряду носіїв, які знаходяться в зображеному циліндрі. (n - концентрація вільних носіїв заряду). Враховуючи (8.2) і (8.3), одержуємо струм та густину струму . (8.6)

Оцінка значення швидкості V із формули (8.6) дає ~ 0,8 мм/с, що набагато менше, ніж теплова швидкість. Не дивлячись на це, струм у провіднику виникає практично миттєво, так як у направлений рух після вмикання електричного поля приходять усі електрони.

– Від зіткнення до зіткнення з атомами електрон рухається з середньою тепловою швидкістю. Вважається, що при зіткненні електрона з іоном кристалічної гратки він повністю втрачає набуту швидкість направленого руху. Отже направлений рух електрона між зіткненнями рівноприскорений без початкової швидкості направленого руху.

Розглянемо досліди, які підтверджують електронну природу струму в металах:

– Через послідовно з’єднані мідь-алюміній-мідь (рис.8.3) приблизно протягом року пропускався електричний струм, після чого досліджувались контакти на предмет взаємного проникнення металів. Не дивлячись на те, що в одному контакті струм протікав від міді до алюмінію, а в другому від алюмінію до міді, взаємне проникнення металів в обох контактах було однаковим. Стимульованої струмом дифузії виявлено не було. Це означає, що протікання струму в металах не супроводжується переносом речовини, а носіями струму являються загальні для всіх металів частинки – електрони.

– Металевий стержень, замкнутий чутливим гальванометром (рис.8.4), рухався, а потім різко зупинявся. Гальванометр фіксував імпульс струму, зумовлений тим, що в момент зупинки кристалічної гратки металу електрони ще продовжують рухатись по інерції в напрямку направленого руху.

– У 1913 році російські фізики Л.І.Мандельштам і М.Д.Папалексі вдосконалили вище розглянутий дослід. Вони замінили масивний провідник котушкою (довжина дроту ~500 м), яку привели в обертальні коливання (рис.8.5). В момент зміни напрямку руху котушки в ній виникав електричний струм, наявність якого фіксувалася телефоном, увімкнутим до кінців котушки (виникав характерний тріск). Тепер фіксувались уже не поодинокі імпульси струму.

–У 1916 році шотландський фізик Ч.Стюарт і американський Т.Толмен замінили в досліді Л.І.Мандельштама і М.Д.Папалексі телефон, чутливим гальванометром. Це дало можливість провести кількісні вимірювання, а саме визначити відношення заряду носіїв струму до їх маси (питомій заряд). Виявилось, що це відношення дорівнює питомому заряду електрона.

Отже струм у металах зумовлений направленим рухом електронів.

8.3 Закон Ома по класичній теорії електропровідності металів. Електричний опір провідників

Запишемо другий закон Ньютона для направленого руху електрона . Інтегруємо це рівняння в межах швидкості від 0 до V_макс, і в межах часу від 0 до τ. – час вільного пробігу електрона . Одержуємо

. (8.7)

Середня швидкість направленого руху V дорівнює півсумі початкової (V₀ = 0, див положення 4) і кінцевої V_макс. Враховуючи (8.6), густина струму , або . (8.8)

Це і є закон Ома в диференційній формі. Тут питома електропровідність . (8.9)

Величина обернена питомій електропровідності називається питомим опором ρ

. (8.10)

Це опір суцільного куба з ребром 1м при протіканні струму між протилежними гранями.

Одержимо закон Ома в інтегральній формі. Для цього рівняння (8.8) домножаємо скалярно на вектор переміщення вздовж провідника в напрямку протікання струму і інтегруємо в межах двох точок провідника . Врахуємо (7.27), 8.1) і що кут між векторамидорівнює нулю, одержуємо .

. . (8.11)

Тут U – напруга, R – опір провідника

(8.12)

залежить від матеріалу і геометричних розмірів: площі перерізу S та довжини ℓ.

Приклад. Знайти опір R однорідного провідника у формі зрізаного конуса при протіканні струму між його основами (рис.8.6). Задані геометричні розміри R₁, R₂ і питомий опір ρ.

Елемент dx довжини провідника має переріз радіусом . Тоді опір цього елементу .

Загальний опір .

При з’єднанні резисторів загальний опір знаходиться так:

при послідовному з’єднанні як сума опорів;

, (8.13)

при паралельному – обернений опір дорівнює сумі обернених опорів . (8.14)

8.4 Закон Джоуля-Ленца по класичній теорії електропровідності металів

Закон Джоуля –Ленца – це закон про теплову дію електричного струму: якщо електричний струм не виконує механічної роботи, то вся його енергія перетворюється в тепло. Який механізм нагрівання провідників електричним струмом? Електрон прискорюється електричним полем. Швидкість і кінетична енергія його поступального руху зростають за рахунок енергії електричного поля. При зіткненні з вузлом кристалічної гратки він повністю втрачає набуту швидкість, а значить і кінетичну енергію направленого руху (див. положення 4, розділ 8.2). Ця енергія передається атому кристалічної гратки, внаслідок чого він починає коливатись більш інтенсивно. А це і означає нагрівання кристалу.

Знайдемо питому потужність w, тобто енергію, яка виділяється в одиниці об’єму провідника за одиницю часу

. (8.15)

За час dt кожний електрон зазнає зіткнень, при кожному з яких кристалу буде передана енергія . В об’ємі dV_об знаходиться електронів. Тоді

. Підставляємо в (8.15). З врахуванням (8.7 ) і (8.9 ), після спрощень, одержуємо

. Якщо скористатися законом Ома (8.8 ), закон Джоуля-Ленца в диференційній формі запишеться так:

. (8.16)

В інтегральній формі цей закон має вид

(8.17)

Для потужності електричного струму маємо

(8.18)

8.5 Закон Відемана-Франца по класичній теорії електропровідності металів

Дослідами встановлено, що метали наряду з високою електропровідністю мають і хорошу теплопровідність, які значно перевищують електропровідність і теплопровідність діелектриків. Логічно припустити, що ця різниця властивостей зумовлена наявністю електронного газу в металах і його відсутністю в діелектриках.

У 1853 році два німецьких фізики: Г. Відеман і Р. Франц експериментально встановили закон, який носить їхнє ім’я:

для всіх металів при одній і тій же температурі відношення коефіцієнта теплопровідності до питомої електропровідності σ однакове і пропорційне абсолютній температурі Т

. (8.19)

С – константа, яка не залежить від природи металу.

Розглянемо пояснення цього закону в рамках класичної теорії електропровідності. Коефіцієнт теплопровідності електронного газу, як одноатомного молекулярного газу (6.34) з рахуванням (6.49), дорівнює

Враховуючи (8.9 ) і (6.25), а також положення про рівність усіх теплових швидкостей електрона (положення 2 розд.8.2), знаходимо відношення

. (8.20)

Одержали закон (8.19). Числове значення С_теор=2,23∙10^-8(В/К)² близьке до С_експ= 2,21∙10^-8(В/К)², що підтверджує справедливість теорії.

8.6 Протиріччя класичної теорії електропровідності металів

Досягненням класичної теорії електропровідності металів є те, що вона пояснила такі експериментальні закони: 1) закон Ома; 2) закон Джоуля-Ленца; 3) закон Відемана-Франца. Але ряд експериментальних фактів пояснити не вдалося. Розглянемо ці протиріччя теорії і експерименту.

– Температурна залежність опору металів. По теорії ця залежність визначається (8.10) температурною залежністю середньої арифметичної швидкості електронів (6.24), так як ні концентрація n, ні довжина вільного пробігу λ (див. положення 1, розділ 8.2), а тим більше заряд і маса електрона, не залежать від температури. Таким чином, по теорії (рис.8.7, а).

Експеримент же дає (рис.8.7, б) лінійну залежність

. (8.21)

ρ_о – питомий опір при 0^оС; - (8.22)

температурний коефіцієнт опору. Він показує відносну зміну опору при зміні температури на 1 градус.

Більш того, при наднизьких температурах у декілька Кельвінів має місце перехід у надпровідний стан (опір різко зменшується до нуля). Класична теорія ніяк не може пояснити це явище.

– Якщо по експериментально виміряному значенню питомого опору порахувати за формулою (8.10) довжину вільного пробігу електрона λ, одержується значення ~ 10^-8м, що на два порядки більше, ніж у положенні 1, розділ 8.2 ~ 10^-10м. Теорія не може пояснити таке дивне поводження електрона в щільно упакованій кристалічній гратці, щоб він пролітав сотню міжатомних відстаней, не стикаючись з іонами.

–Неузгодження з теплоємностями. По класичній теорії теплоємність металів повинна бути більшою, ніж діелектриків, на величину теплоємності електронного газу. Для одного моля ця різниця повинна складати 3/2∙R (див. (6.49)).

Експеримент же дає, що молярна теплоємність при не дуже низьких температурах для всіх твердих тіл (і металів і діелектриків) однакова і дорівнює 3R. Цей закон встановили французькі фізики П. Дюлонг і А. Пті у 1819 році. Пізніше було встановлено, що при низьких і наднизьких температурах теплоємність твердих тіл зменшується до нуля ~ Т³ ( закон П. Дебая, 1912 р.). Класична теорія не може пояснити ці експериментальні факти. Все це спонукало розробку більш досконалої, квантової теорії електропровідності.

8.7 Закони Кірхгофа для розгалужених електричних кіл

Дамо означення декільком понятям електричних схем:

Вузол електричної схеми – це точка, в якій сходяться більше двох провідників.

Вітка – ділянка схеми між двома сусідніми вузлами.

Контур - довільна замкнута дільниця схеми.

Лінійно незалежні контури – це такі, які відрізняються по крайній мірі однією віткою.

Одним із методів розрахунку розгалужених електричних кіл є метод за

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Внутрішня енергія реального газу	\|	ЛІНЕАРИЗАЦІЯ НЕЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.067 сек.