• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

ЛІНЕАРИЗАЦІЯ НЕЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Аналітичні методи дослідження САК є дуже обмеженими навіть стосовно лінійних систем. Тому широкого розповсюдження набули числові алгоритми, які з розвитком обчислювальної техніки зайняли ведучі позиції. На їх основі створюються програмні продукти аналізу САК, які дають можливість розраховувати перехідні процеси, визначати якість регулювання системи, досліджувати вплив зміни параметрів на динаміку роботи системи.

П Е Р Е Д М О В А

Розвиток сучасних систем автоматичного керування (САК) вимагає розв’язування ряду важливих задач. Умовно їх можна розділити на дві групи: проектування систем та їх експлуатація. Розроблення конструкції САК передбачає ряд проміжних етапів. Перший зводиться до вибору структурної схеми системи в залежності від поставленої задачі. Другий передбачає вибір елементної бази та конструктивних параметрів елементів системи. Далі необхідно створити фізичний макет системи і перевірити правильність інженерних розрахунків шляхом фізичного моделювання. Проте, математичне моделювання є менш затратним, тому саме йому слід надавати перевагу при проектуванні САК. Безумовно, щоб скористатись методами математичного моделювання, необхідно спочатку розробити саму математичну модель пристрою, тобто записати його рівняння динаміки. Саме висвітленню цього питання і присвячений даний посібник.

Даний посібник складається з п’яти розділів. У першому розділі розгля­даються загальні теоретичні питання лінеаризації нелінійних диференціальних рівнянь з використанням ряду Тейлора. Другий розділ присвячений питанню визначення передатних функцій та частотних характеристик САК. Усі подальші розділи розглядають виведення та лінеаризацію диференціальних рівнянь динамічних елементів систем. Зокрема, об’єктів керування (третій розділ), електричних та гідравлічних моторів (четвертий розділ), підсилювачів, RLC-фільтрів та однофазних трансформаторів (п’ятий розділ).

Першим кроком в складанні рівнянь динаміки елементів САК є вияв фізичного закону, що визначає його поведінку. Другим кроком є визначення факторів від яких залежать змінні стану, що входять у вихідне рівняння динаміки. Третім кроком є встановлення аналітичних виразів, що описують цю залежність. Як правило ці вирази є нелінійними, тому вихідні рівняння динаміки також будуть нелінійними.

З метою спрощення аналізу процесу керування отримане диференціальне рівняння лінеаризується, при умові якщо для даного рівняння лінеаризація є допустимою.

Означення. Якщо в диференціальному рівнянні коефіцієнти при похідних є константами і воно не містить нелінійних алгебричних функцій, то таке рівняння є лінійним.

Нехай коефіцієнти при похідних є константами, але в диференціальному рівняння присутня певна нелінійна функція , де – змінні стану системи. Для лінеаризації такого рівняння аналітичному функцію необхідно записати в лінійному наближенні. Таку процедуру можна виконати з допомогою ряду Тейлора, який для функції трьох змінних має вигляд

(1.1)

де – фіксовані значення змінних стану, які як правило відповідають усталеному режиму; – залишковий член ряду. Показники степенів вказують на необхідність обчислення похідних вищих порядків, наприклад

(1.2)

При лінеаризації необхідно обмежитись похідними першого порядку ряду Тейлора. Отже, відкинувши у формулі (1.1) похідні вищих порядків, отримаємо

(1.3)

причому значення похідних беруться в точці .

Згідно формули (1.3) можна визначити приріст функції

(1.4)

Розглянемо другий випадок, коли коефіцієнт при похідній є нелінійною функцією. Якщо цей коефіцєнт розкласти в ряд Тейлора, то згідно (1.3) ми отрима­ємо лінійну функцію. Але за означенням, для того щоб диференціальне рівняння було лінійним коефіцієнти при похідних повинні бути константами. Тому в даному випадку розклад в ряд Тейлора не вирішує проблеми. Для лінеаризації таких рівнянь коефіцієнти при похідних заморожують в точці .

Лінеаризоване диференціальне рівняння можна записати у відносних приростах. Для цього необхідно ввести позначення відносних приростів і підставити отримані вирази в лінеаризоване рівняння.

Приклад. Нехай САК описується нелінійним диференціальним рівнянням

, (1.5)

де коефіцієнти є постійними.

Один з коефіцієнтів при похідній є нелінійною функцією відносно змінної стану , тому його необхідно заморозити. В правій частині рівняння (1.5) присутня нелінійна алгебрична функція. Для лінеаризації, її необхідно розкласти в ряд Тейлора за формулою (1.3)

(1.6)

Підставимо (1.6) в (1.5), а коефіцієнт заморозимо

(1.7)

Виразимо змінні стану через їх абсолютні прирости

(1.8)

Підставивши (1.8) в (1.7) отримаємо

(1.9)

З останнього рівняння можна виключити рівняння стану рівноваги (або як його ще називають рівняння статики). Нехай в стані рівноваги змінні стану набувають значень . Підставивши їх в рівняння (1.5) отримаємо

(1.10)

Підставимо (1.10) в (1.9) і введемо позначення коефіцієнтів

, (1.11)

де

Рівняння (1.11) є лінеаризованим рівнянням динаміки записаним в абсолютних приростах. Його можна записати у відносних приростах. Введемо позначення відносних приростів

(1.12)

Запишемо рівняння (1.11) у відносних приростах

. (1.13)

Контрольні запитання.

1. Яке диференціальне рівняння вважається лінійним?

2. Яким чином виконується лінеаризація нелінійного диференціального рівняння?

3. Як лінеаризувати диференціальне рівняння в якого коефіцієнти біля похідних є змінними величинами?

4. Яка мета лінеаризації диференціальних рівнянь?

5. Коли лінеаризація диференціальних рівнянь є недопустимою?

Читайте також:

1. Аналогія величин і рівнянь поступального і обертального руху. Кінетична енергія обертання тіла
2. Визначення коефіцієнтів рівнянь лінійної регресії для багатофакторної задачі
3. Для складання системи нормальних рівнянь
4. Запис рівнянь чотириполюсника через вторинні параметри.
5. Застосування перетворення за Лапласом для розв’язування диференціальних рівнянь
6. Застосування рівнянь та їх систем до розв’язування текстових задач.
7. Лекція №3. Системи лінійних рівнянь
8. Логіка розв’язування рівнянь
9. Матрична форма запису системи лінійних рівнянь
10. Метод ітерації для системи двох рівнянь
11. Метод рівнянь Кірхгофа.

Переглядів: 2566