• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Скалярний добуток векторів.

Лекція 2. Добутки геометричних векторів.

Структура федеральных органов исполнительной власти

В даному розділі розглядаються вектори із простору геометричних векторів.

Означення 1. Скалярним добутком двох векторів називається число , рівне: , де – кут утворений векторами та , а через позначено довжину вектора .

Неважко зрозуміти, що скалярний добуток двох ненульових векторів рівний 0 тоді і тільки тоді, коли вектори ортогональні:

Означення 2. Ортом вектора називається вектор одиничної довжини співнапрямлений з вектором . Тобто .

Означення 3. Проекцією вектора на напрямок вектора називається число . Звідси легко одержати, що

Зауваження. З означення випливає, що проекція додатна, якщо кут між векторами та гострий, та від’ємна, у разі, коли кут тупий.

Властивості скалярного добутку векторів.

1. – комутативність скалярного добутку очевидно випливає з його означення;
2. – скалярний множник можна виносити за знак скалярного добутку (доведіть це самостійно);
3. – дистрибутивність скалярного добутку випливає із властивостей проекцій, які вивчались у курсі шкільної програми:

1. – скалярний добуток визначає квадрат довжини вектора.

Нехай у просторі геометричних векторів вибрана деяка ПДСК. Як визначити скалярний добуток векторів та , якщо відомі їх координати? Отже, нехай маємо вектори та . Визначимо скалярний добуток цих векторів, скориставшись властивостями скалярного добутку:

Зауваження. Зверніть увагу, що одержана формула має місце лише для ПДСК. У загальній афінній системі координат ми мали б враховувати кути між базисними векторами.

Таким, чином у прямокутній декартовій системі координат справедлива наступна формула скалярного добутку двох векторів:

(1)

Формула (1) дає важливі наслідки, зокрема, довжина вектора визначається через його координати наступним чином: (2)

Для кута між двома векторами маємо формулу:

(3)

Означення 4. Напрямними косинусами вектора називаються косинуси кутів, утворених вектором з ортами ПДСК. Ці кути позначаються відповідно , та , отже, з формули (3) випливає: , аналогічно , . Звідси маємо основну властивість напрямних косинусів:

(4)

Таким чином, якщо , то – тобто, напрямними косинусами орта є його координати.

Приклади.

1. Знайдемо орт вектора . Маємо , тому .
2. Кут між ортами і рівний . Знайти скалярний добуток цих векторів. Знаходимо за означенням .
3. Нехай , . Знайдемо кут між цими векторами. З формули (3) одержимо , отже .
4. Знайдемо скалярний добуток для векторів з прикладу 3.

Виконаємо спочатку дії над векторами: .

Фізичний зміст скалярного добутку.

Якщо під впливом сили деяка матеріальна точка переміщається з положення у положення , то робота цієї сили по переміщенню даної точки рівна скалярному добутку сили та вектора переміщення точки: .

(див мал.)

Читайте також:

1. Векторний добуток векторів
2. Векторний добуток векторів.
3. Векторний добуток і його властивості.
4. Вираження мішаного добутку через координати векторів.
5. Вуглевидобуток в Україні та перспективи його розвитку
6. Геометричне тлумачення мішаного добутку векторів.
7. Де - місячний видобуток руди у кар’єрі, млн.т.
8. Декартів добуток
9. Дисоціація води. Йонний добуток води
10. Дисоціація води. Йонний добуток води.
11. Добуток ланцюгових темпів зростання становить базовий темп зростання.
12. Добуток розчинності

Переглядів: 1454