• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Скалярний добуток векторів.

Лекція 2. Добутки геометричних векторів.

Структура федеральных органов исполнительной власти

В даному розділі розглядаються вектори із простору геометричних векторів.

Означення 1. Скалярним добутком двох векторів називається число , рівне: , де – кут утворений векторами та , а через позначено довжину вектора .

Неважко зрозуміти, що скалярний добуток двох ненульових векторів рівний 0 тоді і тільки тоді, коли вектори ортогональні:

Означення 2. Ортом вектора називається вектор одиничної довжини співнапрямлений з вектором . Тобто .

Означення 3. Проекцією вектора на напрямок вектора називається число . Звідси легко одержати, що

Зауваження. З означення випливає, що проекція додатна, якщо кут між векторами та гострий, та від’ємна, у разі, коли кут тупий.

Властивості скалярного добутку векторів.

1. – комутативність скалярного добутку очевидно випливає з його означення;
2. – скалярний множник можна виносити за знак скалярного добутку (доведіть це самостійно);
3. – дистрибутивність скалярного добутку випливає із властивостей проекцій, які вивчались у курсі шкільної програми:

1. – скалярний добуток визначає квадрат довжини вектора.

Нехай у просторі геометричних векторів вибрана деяка ПДСК. Як визначити скалярний добуток векторів та , якщо відомі їх координати? Отже, нехай маємо вектори та . Визначимо скалярний добуток цих векторів, скориставшись властивостями скалярного добутку:

Зауваження. Зверніть увагу, що одержана формула має місце лише для ПДСК. У загальній афінній системі координат ми мали б враховувати кути між базисними векторами.

Таким, чином у прямокутній декартовій системі координат справедлива наступна формула скалярного добутку двох векторів:

(1)

Формула (1) дає важливі наслідки, зокрема, довжина вектора визначається через його координати наступним чином: (2)

Для кута між двома векторами маємо формулу:

(3)

Означення 4. Напрямними косинусами вектора називаються косинуси кутів, утворених вектором з ортами ПДСК. Ці кути позначаються відповідно , та , отже, з формули (3) випливає: , аналогічно , . Звідси маємо основну властивість напрямних косинусів:

(4)

Таким чином, якщо , то – тобто, напрямними косинусами орта є його координати.

Приклади.

1. Знайдемо орт вектора . Маємо , тому .
2. Кут між ортами і рівний . Знайти скалярний добуток цих векторів. Знаходимо за означенням .
3. Нехай , . Знайдемо кут між цими векторами. З формули (3) одержимо , отже .
4. Знайдемо скалярний добуток для векторів з прикладу 3.

Виконаємо спочатку дії над векторами: .

Фізичний зміст скалярного добутку.

Якщо під впливом сили деяка матеріальна точка переміщається з положення у положення , то робота цієї сили по переміщенню даної точки рівна скалярному добутку сили та вектора переміщення точки: .

(див мал.)

Читайте також:

1. Векторний добуток векторів
2. Векторний добуток векторів.
3. Векторний добуток і його властивості.
4. Вираження мішаного добутку через координати векторів.
5. Вуглевидобуток в Україні та перспективи його розвитку
6. Геометричне тлумачення мішаного добутку векторів.
7. Де - місячний видобуток руди у кар’єрі, млн.т.
8. Декартів добуток
9. Дисоціація води. Йонний добуток води
10. Дисоціація води. Йонний добуток води.
11. Добуток ланцюгових темпів зростання становить базовий темп зростання.
12. Добуток розчинності

Переглядів: 1359