• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Приклад економічної задачі та її математичне формулювання.

ЗАДАЧА ДРОБОВО-ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ.

Нехай виробництво випускає однорідний продукт і володіє технологічними способами (технологіями).

При роботі за цими технологіями за одиницю часу підприємство отримує продукту відповідно q₁, q₂,…q_n,. а виробничі витрати за одиницю часу складають p₁, p₂,…p_n, одиниць.

Якщо план, по якому підприємство буде працювати за відповідними технологіями складає x₁, x₂,…x_n – одиниць часу, то загальний випуск продукції буде рівний:

, (1.1)

а загальні витрати складають:

(1.2)

Відношення загальних витрат до загального об’єму продукту, що випускається визначає економічний показник, що називається собівартістю продукції.

(1.3)

Економічний зміст задачі: скласти такий план роботи підприємства (знайти час роботи по кожній технології), при якому собівартість продукції була б мінімальною і одночасно виконувались би деякі умови (обмеження).

При плануванні виробництва намагаються знизити цей показник, щоб випускати продукцію з найменшими витратами.

Функція виду

називається дробово-лінійною.

Собівартість є не єдиним економічним показником, що має дробово-лінійну структуру (наприклад, рентабельність).

Загальна задача Д-ЛП полягає у визначенні максимального (мінімального) значення функціоналу:

® max(min) (1.4)

за умов:

(1.5)

, (1.6)

де p_j, q_j, a_i, - деякі постійні числа, а

(1.7)

(коли , то знак можна віднести до чисельника).

2. Геометричний зміст і графічний спосіб розв’язання задачі дробово-лінійного програмування.

Розглянемо на площині Ox₁x₂ цільову функцію:

(2.1)

звідки виразимо x₂:

ввівши позначення: , отримаємо: x₂=k x₁.

x₂=k x₁ - пряма, яка проходить через початок координат.

Рис.1

Визначимо, як буде поводити себе кутовий коефцієнт k при монотонному зростанні функції . Для цього візьмемо похідну від k по .

(Fq₂-P₂)² , а чисельник не залежить від F.

Отже, похідна має постійний знак і при зміні F кутовий коефіцієнт буде або тільки зростати, або тільки спадати і пряма буде повертатися в одну сторону. При повороті прямої в одному напрямку функціонал F також буде або зростати або спадати. Встановивши напрямок повороту для зростання F, знаходимо необхідну вершину многогранника поворотом прямої навколо початку координат.

При цьому можливі такі випадки:

1.

Рис.2

2.

Рис.3

3. Область необмежена, і один із екстремумів не досягається (Рис.4).

Рис.4

4.

Рис.5

ПРИКЛАД.

Знайти максимум і мінімум функціоналу графічним методом.

при обмеженнях

РОЗВ’ЯЗАННЯ.

Рис 6.

Визначимо де буде max, а де min. Виразимо з із цільової функції x₂ :,

Так як при будь-якому F функція спадна, зі збільшенням F кутовий коефіцієнт k зменшується. Це відповідає повороту за годинниковою стрілкою. Отже, в тоці А(2;3) значення F буде найменшим, а у вершині В(4;1) – найбільшим. Обчислимо значення функціоналу в цих точках.

Оскільки F_A < F_B, то і .

Читайте також:

1. Абсолютні синоніми (наприклад, власне мовні й запозичені) в одному тексті ділового стилю вживати не рекомендується.
2. АГД як галузь економічної науки
3. Аграрна політика як складова економічної політики держави. Сут­ність і принципи аграрної політики
4. Актуальні проблеми економічної безпеки України.
5. Алгоритм однофакторного дисперсійного аналізу за Фішером. Приклад
6. Алгоритм розв’язання задачі
7. Алгоритм розв’язання розподільної задачі
8. Алгоритм розв’язування задачі
9. Алгоритм розв’язування задачі
10. Алгоритм розв’язування задачі
11. Алгоритм розв’язування задачі
12. Алгоритм розв’язування задачі

Переглядів: 731