• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Означення та властивості імовірності та частості

Для порівняння випадкових подій за степенем їх можливості треба кожну подію пов'язати з певним числом, яке повинно бути тим більше, чим більш можлива подія. Таке число рназивають імовірністю події. Існує декілька означень імовірності. Ознайомимось із ними.

Означення 10. Імовірність події є численна міра степеня об'єктивної можливості цієї події.

Це означення імовірності визначає філософську суть імовірності, але не вказує закону знаходження імовірності будь-якої події.

Означеним 11. (Класичне) Імовірність події А дорівнює відношенню числа елементарних наслідків, які сприяють появі події А, до загального числа усіх єдиноможливих та рівноможливих елементарних наслідків.

Імовірність події А позначають Р(А). За означенням 2

P(A)= m/n, (2.1)

де m – число елементарних наслідків, що сприяють події А, n - число усіх єдиноможливих та рівноможливих елементарних наслідків.

Приклад 9. В урні 6 однакових за розміром куль: 2 червоні, 3 сині, 1 біла. Знайти імовірність появи червоної кулі, якщо беруть одну кулю з урни навмання.

Розв’язання. Нехай подія А – навмання взята червона куля. З урни можна взяти будь-яку кулю із шести, тому усіх можливих наслідків 6 (n=6). Для появи червоної кулі сприяти будуть лише 2 кулі, тому m=2. За формулою (2.1) одержимо P(A)= 2/6 = 1/3.

Зауваження 1. При розв'язанні багатьох задач знаходження чисел т та п має певні труднощі, запобігти яким допомагають принципи та формули комбінаторики, з якими ознайомимось нижче.

Зауваження 2. Класичне означення імовірності має місце лише тоді, коли т та п скінчені, усі елементарні наслідки рівноможливі (саме таке становище у більшості азартних ігор, що здійснюються без шахрайства).

Якщо множина елементарних наслідків нескінчена або елементарні наслідки не рівноможливі, то формулою (2.1) користуватись не можна.

Якщо множина усіх елементарних наслідків нескінчена і, як наслідок, займає деяку область G, а події А сприяє лише частина g Є G, то обчислення імовірності події А виконують згідно геометричного означення імовірності.

Означення 12. (геометричне). Імовірність випадкової події А дорівнює відношенню міри g до міри G

Р(А) = , (2.2)

Зауваження 3. Якщо область G - проміжок, поверхня, або просторове тіло, g - частина G, тоді мірою G та g буде довжина, площа або об'єм відповідної області. Якщо G та g проміжки часу, тоді їх мірою буде час.

У загальному випадку міру області визначають аксіомами.

Приклад 10. Два туристичних пароплава повинні причалити до одного причалу. Час прибуття обох пароплавів рівноможливий на протязі доби.

Визначити імовірність того, що одному з пароплавів доведеться чекати звільнення причалу, якщо час стоянки першого пароплава дорівнює одній годині, а другого - двом годинам.

Розв’язання. Нехай X та Y - час прибуття пароплавів.

Можливі значення X та Y: 0 ≤ X ≤ 1; 0 ≤ Y ≤ 24.

Сприятливі значення: Y-X ≤ 1; Х-Y ≤ 2.

Побудуємо цю область (див. Рис. 2.1).

Відношення площі заштрихованої фігури m(g) до площі квадрата, сторона якого дорівнює 24, згідно формули (2.2) дорівнює шуканій імовірності

Означення 13. Відносною частотою або частостю події А називають відношення числа випробувань, у яких подія А з’явилась, до числа фактично виконаних випробувань.

Відносну частоту події А позначають W(A) або р_n(А).

Отже, р_n(А) = W(A) = m/n, де m - кількість випробувань, у яких з'явилась подія А, п - кількість усіх випробувань.

Приклад 11. Відділ технічного контролю серед 100 виробів виявив 8 нестандартних. Чому дорівнює відносна частота появи нестандартних виробів?

Роза'язання. Позначимо через А таку подію, як поява нестандартного виробу. Тоді за означенням частості події А одержимо W(A) = 8/100=0,08.

Зауваження 4. Підкреслимо, що імовірність Р(А) події А обчислюється до випробування, а частость W(A) обчислюється після випробування.

Частость має властивість стійкості: при великій кількості випробувань частость змінюється дуже мало, коливаючись біля деякого постійного числа - імовірності появи цієї події, тобто

р(А) =.

Означення 14. Статистична імовірність - це відносна частота (частость) або число, близьке до неї.

Тепер розглянемо основні властивості імовірності, використовуючи формулу (2.1) класичного означення імовірності події А.

1 . Якщо подія А достовірна, то її імовірність дорівнює одиниці, тобто р( А) = 1.

2. Якщо подія А неможлива, то її імовірність дорівнює нулеві, тобто р(А) = 0.

З . Якщо подія А випадкова, то її імовірність задовольняє співвідношення

0 < Р(А) < 1. (2.3)

Дійсно, при розгляданих умовах достовірна подія обов'язково з'явиться, як наслідок, усі можливі елементарні наслідки сприяють події А, тобто n = m і з формули (2.1) одержимо

р(А) = m/n = n/n = 1.

Якщо при умовах, що розглядаються, подія А неможлива, тоді серед усіх можливих наслідків немає тих, що сприяють події А, тобто m=0, і за формулою (2.1) одержимо р(А) = 0.

Якщо подія А випадкова, то серед усіх п можливих наслідків є m наслідків, що сприяють події А, 0 < т < n. Тому, згідно формули (2.1) одержимо співвідношення (2.3).

Зауваження 5. Остання властивість імовірності випадкових подій використовується для здійснення самоконтроля при розв'язанні багатьох задач теорії імовірностей.

Приклад 12. У кошику 4 яблука першого сорту та 5 яблук другого сорту. Навмання беруть 2 яблука. Знайти імовірність того, що будуть взяті яблука різних сортів.

Розв’язання. Нехай подія А - навмання взяті 2 яблука різних сортів.

Всього яблук 9, з них сполучень по 2 буде , тобто кількість усіх можливих наслідків n = .

Події А будуть сприяти сполуки, утворені з пар, елементами яких будуть яблука різних сортів. Згідно принципу добутку кількість таких пар буде дорівнювати m=∙ .

Використовуючи класичне означення імовірності, одержимо шукану імовірність події А

Читайте також:

1. Аеродинамічні властивості колісної машини
2. Аналізатори людини та їхні властивості.
3. Аналізатори людини та їхні властивості.
4. Атрибутивні ознаки і властивості культури
5. Білки, властивості, роль в життєдіяльності організмів.
6. Біосфера Землі, її характерні властивості
7. Будова атомів та хімічний зв’язок між атомами визначають будову сполук, а отже і їх фізичні та хімічні властивості.
8. Будова і властивості аналізаторів
9. Векторний добуток і його властивості.
10. Види і властивості радіоактивних випромінювань
11. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
12. Визначення імовірності партії вантажу, для перевезення якої необхідним є автомобіль відповідної вантажопідйомності.

Переглядів: 1753