Закон розподілу та числові характеристики функції неперервного випадкового аргументу
Нехай X - неперервна випадкова величина, закон розподілу якої заданий диференціальної функцією розподілу (щільністю імовірностей) f(x); випадкова величина Y = φ(X).
Якщо φ - диференційовна функція, монотонна на усьому проміжку можливих значень X, то щільність розподілу функції Y = φ(X) визначають так
g(y) = f(ψ(y)) · | ψ’(х1) | (8.8)
де ψ - функція, обернена по відношенню до функції φ, ψ’ - похідна першого порядку.
Якщо φ - не монотонна функція в області визначення аргументу X, то обернена функція неоднозначна і щільність розподілу g(y) визначається як сума додатків, кількість яких дорівнює кількості значень оберненої функції, тобто
(8.9)
де ψi(y) - обернені функції при заданому у.
Приклад 4. Випадкова величина X розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням, що дорівнює нулеві. Знайти закон розподілу функції Y = Х3.
Розв’язання. Згідно означенню нормального розподілу неперервної випадкової величини X та умови прикладу диференціальна функція розподілу X має вигляд
Функція Y = X3 диференційовна, Y' = ЗХ2 > 0 тому вона зростає для усіх х Є (-∞,∞). Отже, можна застосувати формулу (8.9) для знаходження диференціальної функції розподілу g(у) випадкової величини Y.
У даному випадку з рівності Y = X3 => X = , тобто
Тому формула (8.8) прийме вигляд
Для знаходження математичного сподівання від Y = φ(X) можна спочатку знайти g(у) - диференціальну функцію розподілу величини Y за формулою (8.8) або (8.9), а потім використати формулу
Але більш доцільно знаходити математичне сподівання функції неперервного випадкового аргументу φ(X) безпосередньо за формулою
, (8.10)
де f(x) - щільність імовірностей величини X.
Якщо величина X може приймати значення лише в проміжку [а, b], то формула (8.10) спрощується
. (8.11)
Приклад 5. Неперервна випадкова величина X задана диференціальною функцією розподілу
Знайти математичне сподівання функції Y = X2.
Розв’язання. У даному випадку φ(X) = X2, х є (0, π/2), тому за формулою (8.11) одержимо
Інтегруючи частинами два рази, одержимо потрібне математичне сподівання
Отже, одержали
M(Y) = M(X2) = π – 2.
Дисперсію функції Y неперервного випадкового аргументу X визначають звичайним чином D(Y) = =М(Y2) - М2(Y), а обчислюють за формулою
(8.12)
У випадку, коли X змінюється лише в проміжку [а, b], дисперсію функції Y = φ(X) знаходять за формулою
(8.13)
У формулах (8.12) та (8.13) f(x) - це щільність імовірностей неперервної випадкової величини X (диференціальна функція розподілу X).