• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Закон розподілу та числові характеристики функції неперервного випадкового аргументу

Нехай X - неперервна випадкова величина, закон розподілу якої заданий диференціальної функцією розподілу (щільністю імовірностей) f(x); випадкова величина Y = φ(X).

Якщо φ - диференційовна функція, монотонна на усьому проміжку можливих значень X, то щільність розподілу функції Y = φ(X) визначають так

g(y) = f(ψ(y)) · | ψ’(х₁) | (8.8)

де ψ - функція, обернена по відношенню до функції φ, ψ’ - похідна першого порядку.

Якщо φ - не монотонна функція в області визначення аргументу X, то обернена функція неоднозначна і щільність розподілу g(y) визначається як сума додатків, кількість яких дорівнює кількості значень оберненої функції, тобто

(8.9)

де ψ_i(y) - обернені функції при заданому у.

Приклад 4. Випадкова величина X розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням, що дорівнює нулеві. Знайти закон розподілу функції Y = Х³.

Розв’язання. Згідно означенню нормального розподілу неперервної випадкової величини X та умови прикладу диференціальна функція розподілу X має вигляд

Функція Y = X³ диференційовна, Y' = ЗХ² > 0 тому вона зростає для усіх х Є (-∞,∞). Отже, можна застосувати формулу (8.9) для знаходження диференціальної функції розподілу g(у) випадкової величини Y.

У даному випадку з рівності Y = X³ => X = , тобто

Тому формула (8.8) прийме вигляд

Для знаходження математичного сподівання від Y = φ(X) можна спочатку знайти g(у) - диференціальну функцію розподілу величини Y за формулою (8.8) або (8.9), а потім використати формулу

Але більш доцільно знаходити математичне сподівання функції неперервного випадкового аргументу φ(X) безпосередньо за формулою

, (8.10)

де f(x) - щільність імовірностей величини X.

Якщо величина X може приймати значення лише в проміжку [а, b], то формула (8.10) спрощується

. (8.11)

Приклад 5. Неперервна випадкова величина X задана диференціальною функцією розподілу

Знайти математичне сподівання функції Y = X².

Розв’язання. У даному випадку φ(X) = X², х є (0, π/2), тому за формулою (8.11) одержимо

Інтегруючи частинами два рази, одержимо потрібне математичне сподівання

Отже, одержали

M(Y) = M(X²) = π – 2.

Дисперсію функції Y неперервного випадкового аргументу X визначають звичайним чином D(Y) = =М(Y²) - М²(Y), а обчислюють за формулою

(8.12)

У випадку, коли X змінюється лише в проміжку [а, b], дисперсію функції Y = φ(X) знаходять за формулою

(8.13)

У формулах (8.12) та (8.13) f(x) - це щільність імовірностей неперервної випадкової величини X (диференціальна функція розподілу X).

Читайте також:

1. I. Доповнення до параграфу про точкову оцінку параметрів розподілу
2. II. Основні закономірності ходу і розгалуження судин великого і малого кіл кровообігу
3. IV. Закони ідеальних газів.
4. IV. Закономірності структурно-функціональної організації спинного мозку
5. V. Поняття та ознаки (характеристики) злочинності
6. Авілум – “син чоловіка” – повноправна людина, охороні його життя, здоров’я, захисту його майнових інтересів присвячена значна частина законника.
7. Авоматизація водорозподілу регулювання за нижнім б'єфом з обмеженням рівнів верхнього б'єфі
8. Автоматизація водорозподілу з комбінованим регулюванням
9. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
10. Автоматизація водорозподілу регулювання зі сталими перепадами
11. Автоматизація водорозподілу регулюванням з перетікаючими об’ємами
12. Автоматизація водорозподілу регулюванням за верхнім б'єфом

Переглядів: 1655