Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу

Поняття функції

Функції випадкової величини та їх характеристики

У багатьох випадках треба розглядати дві випадкові величини X та Y. Так, наприклад, при аналізі діяльності підприємства треба враховувати кількість усіх працюючих X та кількість зроблених виробів Y. З різних причин кількість працюючих та зроблених виробів кожного дня можуть бути різними, тобто X та Y будуть випадковими величинами.

Означення 6. Якщо вказано закон, за яким кожному можливому значенню випадкової величини X відповідає певне значення випадкової величини Y,mo Y звуть функцією X і позначають Y= φ(Х).

Відзначимо, що іноді різним можливим значенням випадкової величини X відповідають однакові значення Y. Наприклад, якщо Y = X², то значенням -3 та 3 випадкової величини X відповідає одне значення випадкової величини Y = 9.

Однією із можливих задач теорії імовірностей є визначення законів розподілу та числових характеристик функцій випадкового аргументу, закон розподілу якого відомий. Вкажемо основні формули для розв'язування цієї задачі.

Нехай Y = φ(Х), аргумент X - дискретна випадкова величина з можливими значеннями х₁, х₂,…, х_n, імовірності яких дорівнюють p₁, p₂,…, p_n відповідно, тобто X задана законом

X	х₁	х₂	…	х_n
Р(Х)	p₁	p₂	…	p_n

У цьому випадку Y також дискретна випадкова величина з можливими значеннями

у₁ = φ(х₁), у₂ = =φ(х₂),…, у_n = φ(х_n).

Із події "величина X прийняла значення х_k " випливає подія "величина Y прийняла значення φ(х_k) ", тому імовірності можливих значень Y також дорівнюють p₁, p₂,…, p_n. Це означає, що закон розподілу Y буде мати вигляд

Y	φ(х₁)	φ(х₂)	…	φ(х_n)
Р(Y)	p₁	p₂	…	p_n

Математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення функції У обчислюють за формулами

, (8.7)

Початкові та центральні моменти розподілу знаходять за формулами

Приклад 3. Дискретна випадкова величина задана законом розподілу

X
р	0.2	0.5	0.3

Знайти математичне сподівання функції Y = X² +1.

Розв’язання. Можливими значеннями Y будуть

y₁ = 1² + 1 = 2; у₂ = 3² + 1 = 10; у₃ = 5² + 1 = 26.

За формулою (8.7) знаходимо математичне сподівання У

М(Y) = М(Х² + 1) = 2 · 0.2 + 10 · 0.5 + 26 · 0.3 = 13.2.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Коефіцієнт кореляції	\|	Закон розподілу та числові характеристики функції неперервного випадкового аргументу

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.