Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу
Поняття функції
Функції випадкової величини та їх характеристики
У багатьох випадках треба розглядати дві випадкові величини X та Y. Так, наприклад, при аналізі діяльності підприємства треба враховувати кількість усіх працюючих X та кількість зроблених виробів Y. З різних причин кількість працюючих та зроблених виробів кожного дня можуть бути різними, тобто X та Y будуть випадковими величинами.
Означення 6. Якщо вказано закон, за яким кожному можливому значенню випадкової величини X відповідає певне значення випадкової величини Y,mo Y звуть функцією X і позначають Y= φ(Х).
Відзначимо, що іноді різним можливим значенням випадкової величини X відповідають однакові значення Y. Наприклад, якщо Y = X2, то значенням -3 та 3 випадкової величини X відповідає одне значення випадкової величини Y = 9.
Однією із можливих задач теорії імовірностей є визначення законів розподілу та числових характеристик функцій випадкового аргументу, закон розподілу якого відомий. Вкажемо основні формули для розв'язування цієї задачі.
Нехай Y = φ(Х), аргумент X - дискретна випадкова величина з можливими значеннями х1, х2,…, хn, імовірності яких дорівнюють p1, p2,…, pn відповідно, тобто X задана законом
X
х1
х2
…
хn
Р(Х)
p1
p2
…
pn
У цьому випадку Y також дискретна випадкова величина з можливими значеннями
у1 = φ(х1), у2 = =φ(х2),…, уn = φ(хn).
Із події "величина X прийняла значення хk " випливає подія "величина Y прийняла значення φ(хk) ", тому імовірності можливих значень Y також дорівнюють p1, p2,…, pn. Це означає, що закон розподілу Y буде мати вигляд
Y
φ(х1)
φ(х2)
…
φ(хn)
Р(Y)
p1
p2
…
pn
Математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення функції У обчислюють за формулами
, (8.7)
Початкові та центральні моменти розподілу знаходять за формулами
,
Приклад 3. Дискретна випадкова величина задана законом розподілу