• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тема 1. Матриці та визначники. Мінори. Обернена матриця.

Розділ 1. Матриці та вектори

Пояснювальна записка

Курс лекцій з предмету «Вища математика» розрахований на студентів спеціальності «Обслуговування та ремонт автомобілів і двигунів», що здобувають освіту за освітньо-кваліфікаційним рівнем молодшого спеціаліста.

Він складається із дев’яти розділів, що відповідають робочій програмі курсу, та містять весь необхідний теоретичний матеріал предмету «Вища метематика». Матеріал викладено у логічній послідовності. Розглянуто велику кількість задач та завдань, що застосовують теоретичні викладки на практиці.

Призначено для студентів другого курсу спеціальності «Обслуговування та ремонт автомобілів і двигунів». Може бути використаний для самостійного вивчення.

Мета: Розглянути поняття матриці та визначника, їх основні властивості та дії над ними. Вказати шлях знаходження оберненої матриці та знаходження рангу.

План.

1. Поняття матриці. Дії над матрицями та їх властивості.

2. Визначник матриці. Основні властивості визначників.

3. Мінори та алгебраїчні доповнення. Мінор матриці.

4. Обернена матриця та її знаходження.

5. Ранг матриці.

1. Матрицею розміру m´n називається таблиця з mn чисел, яка складається з m рядків та n стовпців. Як правило, вони позначаються великими латинськими літерами.

Наприклад, А=- матриця розміру 2´3.

В загальному випадку матриця має вигляд А=.

Якщо m¹n, то матриця називається прямокутною, якщо m=n, то квадратною з порядком n.

Елементи мариці, в яких i=j складають головну діагональ матриці. Інша діагональ називається побічною.

(a₁₁, a₁₂, ....., a_1n)- матриця- рядок, розміром 1´n.

- матриця- стовпець, розміром m´1.

Якщо в матриці рядки замінити стовпцями, то отримаємо нову матрицю, яка називається транспонованою до данної.

B=; B^T=- транспонована до B матриця.

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулеві, називається нульовою.

C= - нульова матриця розміром 3´4.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, які не лежать на головній діагоналі дорівнюють нулеві (причому на головній діагоналі можуть бути і нульові елементи).

D= - діагональна матриця розміру 3.

Одиничною матрицею називається діагональна матриця, всі елементи якої рівні 1.

Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають однаковий розмір і їх відповідні елементи рівні між собою.

Дії над матрицями.

1. Множення матриці на число.

Добутком матриці А на число a називається матриця, елементи якої є добутком матриці А на число a.

А= ; aA= ;

Властивості: 1). aA=Аa;

2). 0А=0;

3). a(bА)=(ab)А.

2. Додавання матриць (додавати можна лише матриці одного розміру).

Сумою двох матриць однакового розміру називається матриця того ж розміру, елементи якої є сумами відповідних елементів матриць.

А=; В=; А+В=+=.

Властивості: 1). А+В=В+А.

2). А+0=А.

3). (А+В)+С=А+(В+С).

4). a(А+В)=a А+aВ.

5). (a+b)А=aА+bА.

3. Різниця матриць. А-В=А+(-1)В.

4. Множення матриць. Дві матриці А і В можна множити тільки тоді, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої матриці.

Нехай маємо дві матриці

А=(m´n), B= (n´p).

Добутком матриці А і В (АВ) називається матриця С, розміром m´p

С=, де c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+.....+a_inb_nj. i=1,2,...,m; j=1,2,...,p.

Тобто, щоб одержати елемент с_ij, який розміщений в i-ому рядку, в j-ому стовпчику потрібно всі елементи i-ого рядка матриці А перемножити на відповідні елементи j-ого стовпця матриці В і отримані добутки додати.

Властивості: 1) АВ¹ВА (в загальному випадку).

2) АЕ=ЕА=А (де Е- одинична матриця).

3) (АВ)С=А(ВС).

4) А(В+С)=АВ+АС.

5) a(АВ)=(a А)В=А(aВ).

Якщо АВ=ВА, то такі матриці називаються комутативними, наприклад, одинична матриця комутативна з будь- якою свого порядку.

Аⁿ, де nÎN (А в степені n)- можлива лише, коли матриця квадратна і утворюється послідовними добутками. А⁰=Е.

2. Нехай маємо квадратну матрицю другого порядку .

Визначником другого порядку, який відповідає даній матриці, називають число a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ і позначаємо = a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a_21.

Нехай задана матриця третього порядку .

Визначником третього порядку, який відповідає даній матриці називається число a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₂₁ a₃₂ a₁₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ - a₁₃ a₂₂ a₃₁ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₂₃ a₃₂ a₁₁, і позначається

.

Властивості визначників:

1) Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити стовпцями (стовпці і рядки є рівноправними).

= a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁ і = a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁

2) Якщо поміняти місцями два рядки (стовпці), то визначник змінить знак на протилежний, не змінюючи своєї абсолютної величини.

= a₂₁ a₁₂ - a₂₂ a₁₁ = -( a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁) = - .

3) Якщо у визначнику є два однакових рядки (стовпці), то такий визначник дорівнює нулеві.

Дійсно, нехай визначник D має два однакові рядки. Переставивши їх місцями отримаємо D = - D (за 2-ою властивістю) і, звідси, 2D = 0, D = 0.

4) Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) помножити на одне і теж число, то визначник також помножиться на це число.

= k a₁₁ a₂₂ - k a₁₂ a₂₁ = k(a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁) = k.

Отже, спільний множник всіх елементів деякого рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.

5) Визначник, в якому два стовпці пропорційні рівний нулеві.

Дійсно, коли ми винесемо за знак визначника спільний множник, то отримаємо визначник в якому два однакових рядки (стовпці), а за 3-ою властивістю такий визначник рівний 0.

6) Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) дорівнюють нулеві, то визначник дорівнює нулеві.

Нуль буде множником в кожному з доданків розписаного визначника, отже, і загальний результат 0.

7) Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) є сумою двох доданків, то визначник можна представити у вигляді суми двох визначників.

8) Визначник не зміниться, якщо до всіх елементів деякого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне і те ж число.

(Властивості 7) та 8) спробуйте довести самостійно).

3. Нехай маємо визначник третього порядку .

Мінором, який відповідає даному елементові визначника третього порядку, називається визначник другого порядку, який одержується в результаті викреслення рядка і стовпця на перетині яких розміщений даний елемент. Позначаємо, наприклад, M₂₁- мінор, який відповідає елементові а₂₁. M₂₁=.

Алгебраїчним доповненням деякого елемента визначника третього порядку називається його мінор, взятий зі знаком «плюс», якщо сума номерів рядка і стовпця, на перетині яких знаходиться даний елемент, парна, і взятий зі знаком «мінус», якщо сума номерів рядка і стовпця, на перетині яких знаходиться даний елемент, непарна. A_ij = (-1)^i+jM_ij.

Теорема (про розклад визначника по елементах деякого рядка або стовпця): Визначник третього порядку дорівнює сумі добутків всіх елементів деякого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.

Доведення.

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₂₁ a₃₂ a₁₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ - a₁₃ a₂₂ a₃₁ - a₂₁ a₁₂ a₃₃ - a₂₃ a₃₂ a₁₁ = = a₁₁(a₂₂a₃₃-a₃₂a₂₃) - a₁₂(a₂₁a₃₃-a₃₁a₂₃) + a₁₃(a₂₁a₃₂-a₂₂a₃₁) =

= a₁₁ A₁₁+ a₁₂A₁₂+ a₁₃A₁₃.

Наслідок: Сума добутків елементів деякого рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює 0.

Визначники вищих порядків (четвертого, п’ятого, ... ) можна також розписувати за їхніми алгебраїчними доповненнями, поступово понижуючи порядок і зводячи до визначників третього чи другого порядку.

4. Розглянемо квадратну матрицю n-го порядку А=. Квадратна матриця A називається невиродженою (неособливою), якщо її визначник не дорівнює 0 і виродженою (особливою), якщо її визначник дорівнює 0. |А| або detA- позначення визначника матриці А.

Оберненою матрицею до квадратної матриці А називається матриця А^-1, яка задовольняє такій умові А^-1А=АА^-1=Е.

Теорема. Для того, щоб квадратна матриця А мала обернену матрицю, необхідно і досить, щоб вона була невиродженою, тобто, щоб |А|№0.

Матриця виду є оберненою до матриці А.

5.Нехай дано матрицю А=. Виберемо довільних k рядків та k стовпців, які менші за порядок матриці. Елементи, які розміщенні на перетині вибраних рядків і стовпців утворюють квадратну матрицю порядку k. Визначник, який відповідає даній матриці називають мінором k-го порядку.

Рангом матриці називають найвищий порядок нерівних нулю мінорів. Позначають r(A), чи rang A.

Елементарними перетвореннями матриц і називають :

1. Перестановка двох рядків або стовпців.

2. Множення всіх елементів деякого рядка або стовпця на одне і те ж число, не рівне 0.

3. Додавання до елементів деякого рядка (стовпця) відповідних елементів іншого, помножених на одне і те ж число.

Можна довести таку теорему:

Якщо зробити елементарні перетворення над матрицею А, то отримаємо матрицю, ранг якої дорівнює рангові матриці А.

Базисним мінором матриці називають мінор, який не рівний 0 і порядок якого дорівнює рангу матриці.

Нехай дано А=. Розглянемо рядки матриці:

с₁= (a₁₁, a₁₂, ..., a_1n), c₂=(a₂₁, a₂₂, ..., a_2n), ......., c_m=(a_m1, a_m2, ...., a_mn).

Рядки матриці А називаються лінійно залежними, якщо існують такі чсила g₁, g₂, ..., g_m не всі рівні нулю, для яких виконується рівністьg₁с₁+ g₂с₂+ ...+ g_mс_ь=0- (нульовий рядок). (1)

Якщо рівність (1) виконується лише тоді, коли всі g_і=0, то рядки матриці називаються лінійно незалежними.

Теорема. Максимальне число лінійно незалежних рядків матриці А дорівнює максимальному числу лінійно незалежних стовпців матриці А і дорівнює рангу цієї матриці.

На практиці, як правило, шукають лінійно незалежні рядки чи стовпці і від них роблять висновок про ранг матриці.

Читайте також:

1. IV. На четвертому етапі, виходячи із позиції кожної СОБ на матриці АДЛ, вибирають для неї відповідну стратегію.
2. Блочна матриця.
3. Визначення складових для побудови матриці SPACE-аналізу
4. Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
5. Вимоги, що пред'являються до волокон і матриці
6. Власні числа та власні вектори матриці
7. Властивості матриці інцидентності
8. Властивості оберненої матриці.
9. Елементарні перетворення матриці.
10. Етапи побудови матриці Бостонської консультативної групи.
11. Етапи побудови матриці Бостонської консультативної групи.
12. Інтерференційні (оптичні) газовизначники.

Переглядів: 4816