• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тема 10. Неперервність функції в точці

Контрольні запитання

1. Що таке відображення, функція, взаємнооднозначне відображення?

2. Що таке область визначення та множина значень функції?

3. Які є способи задання функції, їх основні характеристики?

4. Яка функція називається оберненою?

5. Яка функція називається складеною, що таке проміжний аргумент?

6. Які функції називаються основними елементарними, елементарними?

7. Назвати основні класи елементарних функцій.

8. Що таке окіл точки, плюс та мінус нескінченно віддалених точок?

9. Дайте означення границі функції.

10. Дати означення нескінченно малої та нескінченно великої функцій.

11. Сформулюйте теорему про взаємозв’язок між нескінченно малими та нескінченно великими функціями.

12. Сформулюйте основні теореми про границю функцій.

Мета. Розглянути поняття неперервності функції, класифікувати точки розриву, означити операції над наперервними функціями.

План.

1. Перша та друга важливі границі

2. Неперервність функції в точці.

3. Точки розриву та їх класифікація.

1. Теорема 1. Справедлива рівність .

Така границя називається в математиці Першою важливою границею або Першою чудовою границею.

Розглянемо числову послідовність .

Теорема 2. Числова послідовність з загальним членом має границю при n®Ґ, і ця границя міститься між числами 2 і 3.

В математиці таке число, яке є границею заданої послідовності позначають e і називають числом Ейлера. е=2,7182.....

На основі теореми 2 доводиться наступне твердження

Теорема 3. Правильна рівність .

Границя з теореми 3 називається Другою важливою або Другою чудовою границею.

Наслідок. Правильні рівності

а) ;

б) ;

в) .

2. Функція f(x), визначена в околі точки х₀ називається неперервною в точці х₀, якщо

Більш докладно умову неперервності функції f(x) вточці х₀ можна розписати так :

1) функція f(x) повинна бути визначена в околі точки х₀, в тому числі і в самій точці х₀.

2) в точці х₀ вона повинна мати границю.

3) ця границя має дорівнювати значенню функції в точці х₀.

Поняття неперервності функції можна сформулювати і на «мові приростів».

Приростом аргументу х в точці х₀ називається різниця х-х₀ і позначається Dх.

Приростом функції f(x) в точці х₀ називається різниця f(х) - f(х₀) і позначається Df(х₀).

Приріст аргументу та приріст функції можуть бути як додатними, так і від’ємними величинами. Приріст функції, крім того може дорівнювати нулеві. Якщо точка х₀ - фіксована, то приріст функції є функцією від Dх. Якщо х®х₀, то Dх®0. Справедливе також обернене твердження.

Отже, означення неперервності функції в точці х₀ можна сформулювати так:

Функція f(x), визначена в околі точки х₀, називається неперервною в цій точці, якщо

.

Іншими словами, функція f(x), визначена в околі точки х₀, називається неперервною в цій точці, якщо нескінченно малим приростам аргументу відповідають нескінченно малі прирости функції.

Всі означення рівносильні між собою.

Зауважимо, що , отже, символ неперервної функції і границі можна переставляти місцями, тобто під знаком неперервної функції можна переходити до границі.

Можна довести такутеорему:

Кожна основна елементарна функція є неперервною в усіх точках, в яких вона визначена.

Теорема 1.Якщо функції f(x) і j(х) неперервні в точці х₀, то в цій точці неперервні функції:

f(x) + j(х); f(x) - j(х); f(x) Ч j(х); f(x) / j(х)

(остання при допоміжній умові j(х₀)№0).

Наслідок 1. Добуток та сума будь- якого скінченного числа неперервних функцій є функція неперервна.

Справедлива також Теорема 2.

Якщо функція f(x)- неперервна в точці х₀О(а; b), а функція x=j(t) неперервна в точці t₀О(a;b), причому x₀=j(t₀), то складена функція f(j(t))- розглядувана як функція від t- неперервна в точці t₀.

Теорема 2. Оскільки основні елементарні функції є неперервними в кожній точці, де вони існують, то елементарні функції є неперервними в кожній точці, де вони існують.

Функція f(x) називається неперервною в інтервалі (a; b), скінченному чи нескінченному, якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Функція f(x) називається неперервною в точц і х₀ справа (зліва), якщо

().

Таким чином, для неперервності функції f(x) в точці х₀ справа (зліва) слід виконати три умови:

1) функція f(x) має бути визначена на піввідрізку [x₀; x₀+h) ( у півінтервалі (x₀-h; x₀] ), де h>0;

2) у точці х₀ функція має праву (ліву) границю;

3) ця права (ліва) границя повинна дорівнювати значенню функції f(x) в точці х₀.

З теореми про границю суми, добутку, різниці, частки двох функцій відносно множини та означення неперервності функції справа (зліва) випливає, що сума, різниця, добуток, частка (остання при допоміжній умові, що функція, яка стоїть в знаменнику, не рівна нулю в точці х₀) є функції неперервні в точці х₀ справа (зліва).

З означення неперервності функції в точці х₀ справа і зліва і теореми- критерію існування границі випливає твердження:

Теорема. Для того щоб функція f(x) була неперервною в точці х₀, необхідно і досить, щоб функція f(x) була неперервна в точці х₀ і справа, і зліва.

3. Нехай функція f(x) визначена в околі точки х₀, крім можливо самої точки х₀. Якщо функція f(x) не є неперервною в цій точці, то кажуть, що точка х₀ є точкою розриву, а сама функція є розривною в цій точці.

З означення зрозуміло, що функція буде розривна, якщо виконуватиметься хоча б одна з умов:

1) функція f(x) не визначена в точці x₀; хоч у всіх інших точках околу вона визначена;

2) у точці х₀ не існує границі функції f(x);

3) границя функції f(x), якщо вона існує, не дорівнює значенню функції f(x) в точці х₀.

Функція f(x) визначена на піввідрізку [x₀; x₀+h) ( у півінтервалі (x₀-h; x₀] ), за винятком можливо самої точки х₀, що не є неперервною в точці х₀ справа(зліва), називається розривною в точці х₀ справа (зліва), а сама точка х₀ називається точкою розриву функції справа (зліва).

Умови розривності:

1) функція f(x) не визначена в точці x₀; хоч у всіх інших точках інтервалу (x₀; x₀+h) ( інтервалу (x₀-h; x₀) ), вона визначена;

2) у точці х₀ не має правої (лівої) границі функції f(x);

3) права (ліва) границя функції f(x), якщо вона існує, не дорівнює значенню функції f(x) в точці х₀.

Точка х₀ розриву функції f(x) називається точкою розриву першого роду, якщо в цій точці існує і права, і ліва границі функції f(x).

Точка х₀ розриву функції f(x) називається точкою розриву другого роду, якщо в цій точці не існує хоч одна з односторонніх границь функції f(x). (або вони нескінченні)

Якщо х₀ - точка розриву першого роду функції f(x) і права границя функції в цій точці не рівна лівій границі цієї функції, то абсолютну величину різниці правої і лівої границь функції в цій точці називають стрибком функції в точці х₀.

Аналогічно діляться і точки розриву функції справа та зліва.

Справедливе твердження

Теорема. Функція f(x), монотонна на проміжку <a; b>, може мати лише точки розриву першого роду.

Якщо точка х₀ є точкою розриву першого роду і, то ця точка називається точкою усувного розриву.

Читайте також:

1. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
2. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
3. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
4. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
5. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
6. Асимптоти графіка функції
7. Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
8. Базові функції, логічні функції
9. Банки як провідні суб’єкти фінансового посередництва. Функції банків.
10. Банківська система та її основні функції
11. Банківська система та її структура. Функції Центрального банку.
12. Банківська система: сутність, принципи побудови та функції. особливості побудови банківської системи в Україн

Переглядів: 1452