Новини освіти і науки: МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти Гідрологія і Гідрометрія Господарське право Економіка будівництва Економіка природокористування Економічна теорія Земельне право Історія України Кримінально виконавче право Медична радіологія Методи аналізу Міжнародне приватне право Міжнародний маркетинг Основи екології Предмет Політологія Соціальне страхування Технічні засоби організації дорожнього руху Товарознавство продовольчих товарів Тлумачний словник Авто Автоматизація Архітектура Астрономія Аудит Біологія Будівництво Бухгалтерія Винахідництво Виробництво Військова справа Генетика Географія Геологія Господарство Держава Дім Екологія Економетрика Економіка Електроніка Журналістика та ЗМІ Зв'язок Іноземні мови Інформатика Історія Комп'ютери Креслення Кулінарія Культура Лексикологія Література Логіка Маркетинг Математика Машинобудування Медицина Менеджмент Метали і Зварювання Механіка Мистецтво Музика Населення Освіта Охорона безпеки життя Охорона Праці Педагогіка Політика Право Програмування Промисловість Психологія Радіо Регилия Соціологія Спорт Стандартизація Технології Торгівля Туризм Фізика Фізіологія Філософія Фінанси Хімія Юриспунденкция

ПОБУДОВА РОЗГОРТОК ПОВЕРХОНЬ Рис. 1.8

Нехай задана пряма відрізком АВ, на (рис.1.8) задані два варіанти її розташування. Потрібно визначити її сліди Н і F, а також виконати аналіз прямої.

Побудова горизонтального сліду Н:

- фронтальну проекцію А₂В₂ прямої АВ про-

довжуємо до осі проекцій, одержуємо Н₂ (фронтальну проекцію горизонтального сліду Н);

- через Н₂ перпендикулярно осі проекцій про-

водимо лінію зв'язку до перетину з А₁В₁, одержуємо Н₁ (горизонтальну проекцію горизонтального сліду)

Фронтальним слідом називається точка F перетину прямої з фронтальною площиною проекцій.

Для прямої АВ (рис.1.8) потрібно визначити фронтальний слід (два варіанти розташування прямої).

Побудова фронтального сліду F:

- горизонтальну проекцію А₁В₁ прямої АВ продовжуємо до осі проекцій, одержуємо F₁ (горизонтальну проекцію фронтального сліду);

- через F₁ перпендикулярно осі проекцій проводимо лінію зв'язку до перетину з А₂В₂, одержимо F₂ (фронтальну проекцію фронтального сліду).

Аналіз прямої АВ (перший варіант):

- відрізок прямої АВ між слідами F і Н знаходиться в першій чверті;

- пряма АВ, перетинаючи верхню частину фронтальної площини, іде променем у другу чверть;

- пряма АВ, перетинаючи передню частину горизонтальної площини, іде променем у четверту чверть.

Остаточно аналіз проходження прямої має вигляд:

Пряма, виходячи з другої чверті, перетинає верхню частину фронтальної площини входячи в першу чверть, потім перетинаючи передню частину горизонтальної площини, іде в четверту чверть.

Вправа:Виконати аналіз прямої АВ (другий варіант).

1.1.4. ПРЯМІ ОКРЕМОГО ПОЛОЖЕННЯ ВІДНОСНО ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ

При зображенні креслень геометричних форм намагаються задати такі її проекції, щоб складові частини цієї форми найменше спотворювалися. У цьому випадку відрізки прямих займають особливе положення відносно площин проекцій (паралельні або перпендикулярні площинам проекцій).

Розрізняють два види прямих окремого положення:

- лінії рівня– прямі паралельні площинам проекцій;

- прямі, що проектуються - прямі перпендикулярні площинам проекцій.

Лінії рівня:

1. Горизонтальна пряма – пряма паралельна горизонтальній площині П₁;

2. Фронтальна пряма – пряма паралельна фронтальній площині П₂;

3. Профільна пряма – пряма паралельна профільній площині П₃.

Проектуючі прямі:

1. Горизонтально проектуюча пряма – пряма, перпендикулярна горизонтальній площині проекцій П₁;

2. Фронтально проектуюча пряма – пряма, перпендикулярна фронтальній площині проекцій П₂;

3.
Профільно проектуюча пряма – пряма, перпендикулярна профільній площині проекцій П₃.

Вправа.Скільки ребер містить багатогранник? Які прямі окремого положення визначають ребра багатогранника?

1.2. ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПРЯМИХ. ПЛОЩИНА

1.2.1. ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПРЯМИХ

Для того, щоб розрізняти взаємне положення прямих по їх проекціях і мати можливість їх зображувати, варто засвоїти умови їхнього взаємного положення.

Умова паралельності прямих:

Прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх дві проекції паралельні.

Умова перетину прямих:

Прямі перетинаються тоді і тільки тоді, коли їх три проекції перетинаються, і точки перетину цих проекцій лежать на одній лінії проекційного зв'язку.

У загальному випадку досить двох проекцій. Для профільних прямих необхідно три проекції, або досить дві, але серед цих двох повинна бути профільна проекція.

Умова схрещування двох прямих:

Прямі схрещуються тоді і тільки тоді, коли проекції цих прямих у загальному випадку перетинаються, але точки перетину цих проекцій не лежать на одній лінії проекційного зв'язку.

Окремі випадки схрещування прямих можуть мати пари паралельних проекцій. Для профільних прямих тільки третя (профільна) проекція характеризує їхнє взаємне положення.

Розглянемо зображення загальних і окремих випадків взаємного розташування прямих на кресленні Г. Монжа.

Варто розглянути ці випадки і запам'ятати так, щоб по виду проекцій можно було розрізняти паралельні, перетинні та перехресні прямі, а також могти зобразити такі прямі, тобто необхідно засвоїти першу і другу задачі курсу нарисної геометрії, виділених на початку першої лекції, по взаємному розташуванню двох прямих розташованих у просторі.

1.2.2. ПРОЕКЦІЇ КУТА. ПРОЕКЦІЇ ПРЯМОГО КУТА

Кут не спотворюється на площині проекцій у тому випадку, якщо сторони, що утворюють його, паралельні до цієї площини проекцій. Для прямого кута умови менш жорсткі, досить паралельності цій площині проекцій тільки однієї сторони кута, а друга сторона кута може, при цьому, займати будь-яке положення, аби вона не проектувалася в точку.

Рис. 1.10

1.2.3. СПОСІБ КОНКУРУЮЧИХ ТОЧОК ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ ВИДИМОСТІ

НА ПЛОЩИНАХ ПРОЕКЦІЙ

Точки називаються конкуруючими, якщо їх проекції збігаються тільки на одній із площин проекцій. У залежності від того, які проекції збігаються, існують горизонтально, фронтально і профільно конкуруючі точки.

Конкуруючі точки на одній із площин проекцій зливаються в одну точку. Одна з точок, що зливаються, обов'язково знаходиться зверху, залишаючись видимою при розгляданні конкуруючих точок уздовж їхньої проекційної лінії на площині конкурування (у нашому випадку: точка А видима на П₁; точка С видима на П₂; точка М видима на П₃).

За допомогою конкуруючих точок дуже зручно визначати видимість ребер багатогранника, тому що немає необхідності представляти в просторі багатогранник, а досить вибрати конкуруючі точки на підозрілих (по видимості) ребрах багатогранника і застосувати розроблене правило.

Приклад. Задано чотири вершини тетраедра

SАВС (рис.1.12) на кресленні Г. Монжа. Оформити креслення з урахуванням видимості ребер.

Оформлення видимості на г. п. п. П₁:

Окреслення поверхні тетраедра завжди бачимо, отже, його обводимо контурною замкнутою ламаною лінією А₁В₁S₁C₁A₁. Невидимим на горизонтальній площині проекцій П₁ може бути тільки одне з ребер ВС або АS. На цих ребрах є дві конкуруючі точки (точка 1 на ребрі AS і точка 2 на ребрі ВС). Оскільки точка 2 на П₁ невидима і належить ребру ВС, то В₁С₁ проводимо штриховою лінією, А₁S₁ – суцільною основною.

Оформлення видимості на ф.п. п. П₂:

Окреслення А₂В₂С₂S₂A₂ наводимо суцільною основною лінією. На двох ребрах, що залишилися, АС і BS вибираємо дві конкуруючі точки 3 і 4 (3ÎBS, 4ÎAC). З двох конкуруючих точок 3 і 4, точка 4 має меншу глибину, отже, ребро АС, якому належить точка 4, на П₂ буде невидимим. Проекцію А₂С₂ проводимо штриховою лінією.

1.2.4. ЗАДАННЯ ПЛОЩИНИ.

Як відзначалося раніше (лекція 3), площина визначається симплексом (три не приналежні одній прямій точки) і алгоритмом завдання поточної її точки. У нарисній геометрії прийнято три точки з'єднувати в трикутник, а поточну точку площини будувати за допомогою прямих приналежних площини (рис.1.13).

Точка М (М₁, М₂) у площині трикутника АВС будується за допомогою прямої А1. Точка А належить площині АВС, як вершина цього трикутника, точка 1 - як приналежна прямій СВ. Тоді вся пряма А1 із усіма її точками (включаючи М) належить площині. На практиці для побудови проекцій М Ì АВС одна з проекцій (наприклад М₁) або вибирається довільно, або за умовою задана, другу проекцію (у нашому випадку М₂) графічно будують за допомогою наступного алгоритму.

Графічний алгоритм побудови відсутньої проекції точки, що належить площині.

1. Через задану проекцію (наприклад М₁) шуканої точки М проводиться довільна допоміжна пряма так, щоб дві її точки належали геометричним елементам, що визначають задану площину, (у нашому випадку точка А і точка 1Î ВС).

2. Визначається друга проекція допоміжної прямої (на рис.5 - А₂1₂).

3. По лінії проекційного зв'язку, на проекції побудованої в п.2 фіксується шукана відсутня проекція точки приналежної площині.

Слід зазначити, що вибір допоміжної прямої п.1 алгоритму довільний, а шукана точка площини при цьому визначається однозначно.

Площина в інженерній практиці може ще визначатися:

1. Не тільки трикутником, але і будь-якою плоскою фігурою.

2. Прямою і точкою, не приналежною до прямої.

3. Двома паралельними або прямими, що перетинаються.

Розв'язання багатьох задач із площинами значно спрощується в тому випадку, якщо прямі, що визначають площину, є лініями рівня або лініями, що проектуються. Нарисна геометрія особливо виділяє два випадки завдання площини:

1. Лініями рівня – перетині горизонтальні та фронтальні прямі.

2. Слідами – лінії рівня, що належать площинам проекцій.

1.2.5. ГОЛОВНІ ЛІНІЇ ПЛОЩИНИ

У площині знаходиться двох параметрична множина прямих, серед яких нарисна

геометрія виділяє як головні:

1. Горизонталь h площини– горизонтальна пряма, що належить площині.

2. Фронталь f площини– фронтальна пряма, що належить площині.

3. Лінія найбільшого нахилу до П₁ Û лінія схилу площини– лінія, що належить площині і перпендикулярна її горизонталям.

4. Лінія найбільшого нахилу до П₂ –лінія, що належить площині і перпендикулярна фронталям площини.

Горизонталь і фронталь площини настільки часто зустрічаються в нарисній геометрії при розв'язанні практичних задач, що одержали не тільки власні імена, але й особливі літерні позначення: hі f.

Лінії найбільшого нахилу спільно зі способом прямокутного трикутника дуже зручно використовувати для визначення кута нахилу площини до площин проекцій.

Задача.Визначити кут нахилу площини, заданої слідами, до горизонтальної площини проекцій П₁.

Причому 1₁2₁ ^ h^a; знаками Ì, o зазначені довжини катетів проти яких у прямокутному трикутнику визначений шуканий кут φ.

1.2.6. ПЛОЩИНИ ОКРЕМОГО ПОЛОЖЕННЯ

Площини, як і прямі щодо площин проекцій можуть займати окреме положення. Розрізняють два види площин окремого положення:

1. Площини рівня:

· Горизонтальна площина;

· Фронтальна площина;

· Профільна площина.

2. Площини, що проектуються:

· Горизонтально-проектуюча площина;

· Фронтально-проектуюча площина;

· Профільно-проектуюча площина.

Визначимо ці площини трикутником і зобразимо їх проекції. Відзначимо, що будь-які плоскі фігури, розташовані в площині рівня, не спотворюються на відповідній площині проекцій. Отже, для визначення натуральних величин плоских фігур необхідно їх розташувати в положення площини рівня. Площини, що проектуються, спотворюються на площинах проекцій, але вони так само дуже корисні для розв'язання практичних задач по двох основних причинах:

1. Можна простим виміром визначити кут нахилу проектуючої площини до площини проекцій.

2. Усе, що знаходиться в проектуючій площині, проекціюється на відповідну площину в пряму лінію (збірна властивість проектуючої площини).

Нами розглянута (рис.1.17) не нескінчена площина, а трикутний її відсік АВС. На практиці приходиться часто мати справу з фігурами розташованими у не обмеженій відсіком площині. Для завдання такої площини досить однієї її проекції-лінії (рис.1.18).

Вправи по багатограннику (див. пункт 1.1.4).

· Виконати аналіз взаємного положення ребер багатогранника.

· Виконати аналіз граней цього багатогранника.

· Відзначити натуральні відстані і кути між геометричними формами в багатограннику.

1.3. ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПРЯМОЇ ТА ПЛОЩИНИ І ДВОХ ПЛОЩИН

1.3.1. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ДВОХ ПЛОЩИН

Умова паралельності прямої і площини:

Задана пряма паралельна заданій площині тоді і тільки тоді, коли в цій заданій площині існує пряма, паралельна заданій прямій.

На підставі цієї умови розв'язуються задачі зв'язані з паралельністю прямої і площини. Розглянемо приклади:

Задача 1.Через пряму а провести площину a(а ´ ?) паралельнузаданій прямій m.

Аналіз задачі:

З умови задачі випливає, що розв'язання її зводиться до побудови деякої прямої b. Далі, з умови паралельності прямої і площини, випливає, що шукана площина повинна містити пряму рівнобіжну m.Отже, розв'язання задачі зводиться до проведення прямої bïï m(b₁ïïm₁, b₂ïïm₂), що перетинає a у деякій довільній точці АÎа(рис.1.19).

Розв'язання задачі 1 (рис.1.19).

1. На одній із проекцій прямої а (наприклад на а₂) вибираємо точку (див. на рис. т. А₂).

2. В точці перетину лінії проекційного зв'язку з проекцією a₁ прямої aзнаходимо А₁

3. Через точку А(А₁, А₂) Î а(а₁,а₂) проводимо пряму b(b₁, b₂) паралельну прямій m(b₁|| m₁, b₂|| m₂).

4. Шукана площина a(а ´ b) паралельна прямій m тому, що вона містить пряму b|| m.

Задача 2. Перевірити, чи паралельна площина a(АВС) прямій n,(рис.1.20).

Аналіз задачі:

Перевірка прямої n на паралельність площині a(АВС) відповідно до умови паралельності прямій і площини зводиться до знаходження в площині a прямій с паралельнійпрямій n.

1.3.2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ

ДВОХ ПЛОЩИН

Умова перпендикулярності прямої площини в просторі

ПРЯМА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ПЛОЩИНІ В ПРОСТОРІ ТОДІ І ТІЛЬКИ ТОДІ, КОЛИ ВОНА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ДВОМ ПЕРЕТИННИМ ПРЯМИМ ЦІЄЇ ПЛОЩИНИ.

На підставі цієї умови в попередній лекції нами розроблена

Умова перпендикулярності прямої і площини на кресленні

ПРЯМА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ПЛОЩИНІ, ЯКЩО ЇЇ ГОРИЗОНТАЛЬНА ПРОЕКЦІЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ГОРИЗОНТАЛЬНІЙ ПРОЕКЦІЇ ГОРИЗОНТАЛІ, А ЇЇ ФРОНТАЛЬНА ПРОЕКЦІЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ФРОНТАЛЬНІЙ ПРОЕКЦІЇ ФРОНТАЛІ.

Ця умова легше сприймається в символічній формі запису:

d ^ a Û (d₁ ^ h₁) + (d₂ ^ f₂).

Умова перпендикулярності двох площин

ДВІ ПЛОЩИНИ ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТОДІ І ТІЛЬКИ ТОДІ, КОЛИ ОДНА З ЦИХ ПЛОЩИН МІСТИТЬ ПЕРПЕНДИКУЛЯР ДО ІНШОЇ ПЛОЩИНИ.

Ця умова є конструктивною, вона дозволяє розв’язувати практичні задачі пов’язані з перпендикулярними площинами.

Задача 3.Визначити чи перпендикулярні площини, сліди яких взаємно перпендикулярні.

Відповідь:ні, такі площини не перпендикулярні. Для доказу цього твердження з точки перетину слідів однієї з площин (рис.1.21) проведемо пряму d перпендикулярну іншій площині. Проекції d₁, d₂ збігаються зі слідами h^a, f^a , а це означає, що площина a не містить прямої d ^ b і, за умовою перпендикулярності двох площин випливає запропонована негативна відповідь.

Задача 4. Через пряму а провести площину b(а ´ ?) перпендикулярну площині a(АВС).

Пряма d, що повинна визначити площину b(а ´ d) може збігатися з перпендикуляром до заданої площини a(АВС).

1.3.3. ПЕРЕТИН ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ

Цей розділ займає особливе (центральне) положення в нарисній геометрії, насамперед тому, що задача, яка буде поставлена і розв’язана настільки важлива в практичних додатках, що одержала власне найменування “Перша основна позиційна задача курсу нарисної геометрії”. З іншого боку, при розв’язанні цієї задачі нами вперше буде застосований один із двох основних методів нарисної геометрії “Метод посередників”.

Перша основна позиційна задача курсу нарисної геометрії:

ПОБУДУВАТИ ТОЧКУ ПЕРЕТИНУ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ.

Пряма і площина, відносно одне одного, можуть займати кожне з трьох положень. Пряма, або належить, або паралельна або перетинає площину. Для визначення того, яке з цих положень має місце в конкретному випадку, а також визначення точки перетину прямої і площини, якщо така існує, використовується спосіб площин-посередників. Сутність способу полягає в наступному:

· Будується допоміжна площина-посередник, утримуюча задану пряму.

· Визначається лінія перетину площини-посередника з заданою площиною.

· Далі проводиться аналіз взаємного положення двох прямих ліній (заданої прямої і отриманої лінії перетину). У результаті цього аналізу з'ясовується, який із трьох випадків має місце:

1. Якщо ці лінії збігаються, то задана пряма належить заданій площині.

2. Якщо ці лінії паралельні, то задана пряма паралельна заданій площині.

3.
Якщо ці лінії перетинаються, то точка їх перетину є точкою перетину заданої прямої і заданої площини.

На (рис.1.22) графічно зображені ці три випадки для площини a(АВС) і прямої МN.

Почнемо з складання плану (послідовності) розв’язання задачі:

1. Через пряму проводимо допоміжну площину-посередник (зручніше проектуючу).

2. Знаходимо лінію перетину допоміжної площини з заданою.

3. Відзначаємо точку перетину знайденої лінії перетину з заданою прямою.

4. За допомогою конкуруючих точок визначаємо видимість прямої

На (рис.1.23)графічно відбиті етапи 1 – 4 визначення точки перетину відсіку площини АВСD і прямої m.

ПЕРЕТИН ДВОХ НЕПРОЗОРИХ ПЛАСТИН.

Першу основну позиційну задачу курсу нарисної геометрії зручно використовувати при побудові відрізка перетину двох непрозорих пластин. Для цього необхідно:

· Вибрати в одному з заданих плоских відсіків відрізок (найчастіше він входить у завдання цього відсіку).

· Визначити точку перетину обраного відрізка з іншим відсіком. Якщо знайдена точка перетину знаходиться поза відрізком, то (як правило) повертаються до попереднього пункту (вибирають іншу пряму в першому відсіку). Якщо жоден з відрізків першого відсіку площини не перетинає другий відсік площини, то робимо висновок, що вони не перетинаються (площини перетинаються поза відсіками або паралельні).

· Визначити, таким способом, дві точки. За допомогою двох точок лінії перетину площин визначаємо відрізок перетину відсіків.

· За допомогою конкуруючих точок визначаємо видимість. Оформляємо креслення з урахуванням видимості.

Розглянемо приклад розв’язання задачі для побудови відрізка перетину двох трикутних пластин.

Точка М(М₁, М₂) перетину відрізка АВ Î a(АВС) із площиною b(DEF) визначена за допомогою площини-посередника s(s₂). Точка N(N₁, N₂) перетину відрізка EFÎ b(DEF)

з площиною a(АВС) визначена за допомогою площини-посередника t(t₁). Відрізок MN визначає лінію перетину непрозорих трикутних відсіків АВС і DEF.

1.3.4. СПОСІБ ПЛОЩИН - ПОСЕРЕДНИКІВ ПРИ ВИЗНАЧЕННІ ЛІНІЇ

ПЕРЕТИНУ ДВОХ ПЛОЩИН

У випадку, коли задані не плоскі пластини, а нескінченні площини говорять не про перетин площин по відрізку, а по прямій лінії. Пряму визначають будь-які її незбіжні точки, причому ці точки не обов'язково повинні належати прямим, що визначають площину.

У цьому випадку застосовується спосіб площин-посередників у самому загальному вигляді.

Алгоритм побудови лінії перетину двох площин способом площин - посередників:

1. Задані площини a і b розсікаємо допоміжною площиною - посередником s (зручніше щоб s на одній із площин проекцій проектувалася в пряму лінію).

2. Визначаємо лінію перетину площини a і площини s(для спрощення виконання цього пункту і було запропоновано використовувати площину окремого положення, як посередникаs).

3. Будуємо лінію перетину другої заданої площини b з посередником s (випадок, коли посередник s проходить через одну із прямих площини b, ми мали при побудові лінії перетину непрозорих пластин).

4. Відзначаємо точку перетину знайдених у пп. 3, 4 ліній перетину заданих площин a і b з посередникомs (може виявитися, що лінії перетин паралельні, але площини не обов'язково паралельні). Можна просто довести, що отримана точка одночасно належить a і b, а отже є лінією їх перетину.

5. Аналогічно за допомогою ще одного посередника t визначають другу точку, що належить шуканій лінії перетину (зручно, якщо одна точка лінії перетину визначена за допомогою посередникаs, вибирати t || s).

6. З'єднуємо побудовані точки прямою лінією перетину площин. Видимість, при цьому, не визначається, тому що нескінченні площини не передбачаються непрозорими.

На (рис.1.25) зображений наочний схематичний рисунок, що може бути корисним для запам'ятовування алгоритму побудови лінії перетину площин, а також практичний приклад визначення лінії MN= a(a || b) ´ b(h^° ´ f^°).

1.3.5. Матеріали для підготовки до контрольної роботи № 1

РОЗДІЛ 2. СПОСОБИ ПЕРЕТВОРЕННЯ КОМПЛЕКСНОГО КРЕСЛЕННЯ

2.1. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ ТА ЙОГО ЗНАЧЕННЯ В НАРИСНІЙ ГЕОМЕТРІЇ.

ЧОТИРИ ОСНОВНІ ЗАДАЧІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ.

ПОЛОЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБРАЗІВ ПРИ ЯКИХ ВІДСТАНІ

І КУТИ НЕ СПОТВОРЮЮТЬСЯ НА ПЛОЩИНІ ПРОЕКЦІЙ.

Якщо прямі і площини займають окреме положення щодо площин проекцій (паралельні або перпендикулярні), то площі, відстані і кути не спотворюються. Отже, якщо необхідно визначити подібні метричні характеристики, то можна перетворити проекції геометричної форми до потрібного окремого положення, при якому потрібну метричну характеристику визначають простим виміром на тій площині проекцій, де ця характеристика не спотворюється. Приведемо положення деяких геометричних форм із неспотвореними метричними характеристиками (рис.2.1).

Для приведення геометричних форм із загального в необхідне окреме положення використовують способи перетворення проекцій. До способів перетворення проекцій відносяться:

· Плоскопаралельне переміщення (ППП).

· Обертання навколо осей перпендикулярних площинам проекцій.

· Заміна площин проекцій (скорочено ЗПП).

· Обертання навколо ліній рівня.

· Спосіб суміщення

· Спосіб допоміжного проектування.

Способи ППП і ЗПП є основними способами перетворення проекцій, а решта – додатковими. ППП і ЗПП є рівноцінними по можливостях, які вони надають при рішенні всіляких задач нарисної геометрії. Додаткові способи застосовуються більш спеціалізовано, тому що кожен з них найбільш ефективний при розв`язанні свого, спеціального класу задач. Ця спеціалізація буде виділена при викладі кожного із способів перетворення проекцій.

ЧОТИРИ ОСНОВНІ ЗАДАЧІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ.

Для успішного розв`язання задач нарисної геометрії з застосуванням способів перетворення проекцій виникла необхідність виділити деякі задачі перетворення геометричних форм і особисті позначення для них (дати їм імена):

1. Задача №1. Лінія натуральна (ЛН):

Приведення прямої із загального положення в положення прямої рівня.

2. Задача №2. Лінія - точка (ЛТ):

Приведення прямої в положення прямої, що проектується..

3. Задача №3. Площина - лінія (ПЛ):

Приведення площини загального положення в площину, що проектується..

4. Задача №4. Площина натуральна (ПН):

Приведення площини в положення площини рівня.

Методика розв`язаннязадач нарисної геометрії з використанням перетворення проекцій

Щоб використовувати перетворення проекцій для розв`язання конкретно заданої задачі, необхідно

· Представити, в якому окремому положенні повинні знаходитися геометричні об'єкти цієї задачі для того, щоб відповідь задачі можна одержати на одній із проекцій дуже просто (наприклад, застосовуючи простий вимір). Деякі з подібних положень приведені на рисунку (рис. 1).

· Відзначити, яке з чотирьох положень ЛН, ЛТ, ПЛ або ПН необхідно для безпосереднього розв`язання задачі.

· Перетворенням проекцій привести задачу до цього окремого положення. Виділити на перетвореній проекції відповідь задачі.

2.2. ПЛОСКО-ПАРАЛЕЛЬНЕ ПЕРЕМІЩЕННЯ (ППП) - ОДИН ІЗ СПОСОБІВ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ.

Якщо геометричний об'єкт переміщати в системі площин проекцій так, щоб одна з координат кожної точки його не змінювала своєї величини, то таке переміщення називається плоско-паралельним. Кожна точка об'єкта переміщається по деякій траєкторії розташованої в площині рівня (горизонтальній або фронтальній). Відповідно до цього розрізняють горизонтальне плоско-паралельне переміщення (ГППП) і фронтальне плоско-паралельне переміщення (ФППП). Для розв`язання кожної із чотирьох основних задач перетворення проекцій досить цих двох видів ППП. Якщо мова йде про переміщення об'єкта, то передбачається, що він при цьому не допускає деформацій, тобто відстані між точками об'єкта не змінюються при переміщенні. Оскільки в нарисній геометрії об'єкти простору зображуються на плоскому листі креслення за допомогою системи двох ортогональних проекцій (системи Г. Монжа), то для опису ППП необхідно визначити способи переміщення проекцій при ГППП і ФППП.

ПЕРЕМІЩЕННЯ ПРОЕКЦІЙ ПРИ ГППП

При ГППП висоти точок переміщуваного об'єкта не змінюються, отже, кожна точка його фронтальної проекції рухається по лініях паралельних осі проекцій. Не змінюючи висоти точок ми не зможемо змінити виду горизонтальної проекції, тільки положення горизонтальної проекції може мінятися, переміщаючись, погоджено з рухом самого об'єкта в просторі. Отже, щоб виконати горизонтальне плоско-паралельне переміщення, необхідно:

1. Не змінюючи форми горизонтальної проекції, перемістити її в потрібне місце (допустимо, як паралельний перенос цієї проекції, так і її поворот).

2. Добудувати фронтальну проекцію кожної точки об'єкта, не змінюючи висот.

Приклад ГППП. Пряму АВ перемістити горизонтально, плоско-паралельно так, щоб вона зайняла положення фронтальної прямої рівня.

РОЗВ`ЯЗАННЯ

Горизонтальну проекцію А₁В₁ (рис. 2) переміщаємо на вільне місце креслення, повертаючи її до положення паралельного осі проекцій Х₁₂. По лініях зв'язку фіксуємо фронтальні проекції точок А₂¹В₂¹.

ПЕРЕМІЩЕННЯ ПРОЕКЦІЙ ПРИ ФППП

При фронтальному плоско-паралельному переміщенні незмінними залишаються глибини точок. При ФППП фронтальна проекція об'єкта не міняючись по величині, копіює рух його, а горизонтальна проекція кожної його точки переміщається по лініях паралельних осі проекцій Х₁₂.

Приклад ФППП: Площина a(АВС) із загального положення перевести в горизонтально-проектуюче положення.

Площина є горизонтально-проектуюча, якщо вона містить горизонтально-проектуючу пряму. Фронтальну пряму можна перевести одним ФППП у фронтально-проектуюче положення. Отже, для розв`язання задачі необхідно в площині провести фронталь, що, разом із площиною, переводимо у фронтально-проектуюче положення (рис.2.3). У нашому прикладі фронталь BD площини АВС фронтальним плоско-паралельним переміщенням спроектована в точку В₁¹ º D₁¹, тоді площина трикутника проектується в лінію A₁¹B₁¹C₁¹.

Переважна більшість задач курса нарисної геометрії використовують чотири основні задачі перетворення проекцій. Уміння вирішувати ці задачі дозволить значно розширити можливості інженера. Легко помітити, що задача №1(ЛН – лінія натуральна) розглянута нами у якості приклада (рис.2.3), А₂¹В₂¹ – натуральна величина відрізка АВ. Наступний приклад (рис.2.3) демонструє задачу №3 (ПЛ - площина лінія).

Дві інші задачі (ЛТ і ПН) вимагають попереднього виконання розглянутих нами задач, тільки друге пласко - рівнобіжне переміщення дозволить них вирішити.

2.3. ОБЕРТАННЯ НАВКОЛО ОСІ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЇ ДО ПЛОЩИНИ

ПРОЕКЦІЙ - ОКРЕМИЙ ВИПАДОК ПЛОСКОПАРАЛЕЛЬНОГО ПЕРЕМІЩЕННЯ

Якщо необхідно визначити натуральні величини відрізків, що виходять з однієї точки, зручно скористатися способом обертання навколо осі, перпендикулярної до площини проекцій. Цей спосіб теоретично нічим не відрізняється від ППП, траєкторією руху, при цьому, буде коло.

Задача. Визначити натуральні величини відрізків SA, SB, SC.

Розв’язання задачі зрозуміло з рисунку (рис.2.6).

Спосіб обертання

застосовується при побудові розгорток пірамід.

2.4. СПОСІБ ЗАМІНИ ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ. РОЗВ’ЯЗАННЯ ОСНОВНИХ ЗАДАЧ

СПОСОБОМ ЗПП

Сутність способу заміни площин проекцій полягає в тому, що геометричний об'єкт залишається незмінним, а площини проекцій послідовно замінюються доти, поки ми не прийдемо до одного з чотирьох можливих відповідей, до одного з зображень на площині проекцій, де й одержимо відповідь простим виміром на кресленні.

На кресленні нова проекція точки А знаходиться на лінії проекційного зв'язку, що перпендикулярна нової осі і відстань від нової проекції точки до нової осі дорівнює відстані від замінної проекції точки до старої осі.

На рис.2.8 приведено розв’язання задачі ЛТ, тобто одержання нової проекції відрізка прямої у вигляді точки. Розв’язання задачі потребувало двох послідовних замін.

На рис.2.9 приведено розв’язання задачі ПН, тобто визначення натуральної величини плоскої фігури. Для цього було виконано дві заміни площин проекцій. Спочатку площина П₂ була замінена на площину П₄ (при цьому одночасно визначився кут нахилу a площини трикутника АВС до горизон-тальної площини проекцій), а потім площина П₁ була замінена на площину П₅.

2.5. ОБЕРТАННЯ НАВКОЛО ЛІНІЇ РІВНЯ. СУМІЩЕННЯ

Обертання навколо ліній рівня застосовується для розв’язання планіметричних задач. Сутність цього способу полягає в тому, що при обертанні точки навколо осі, перпендикулярної до площини проекцій, площина обертання точки перпендикулярна до осі обертання. Це дозволяє визначити центр і радіус обертання.

Розглянемо конкретний приклад.

Визначити натуральну величину кута між прямими a і b обертанням навколо горизонталі.

Розв’язання. Проводимо горизонталь h, відмічаємо точки А и В на осі обертання. Через точку S проводимо площину , перпендикулярну осі обертання h. На кресленні (рис.2.10) цьому відповідає проведення через S₁ сліду-проекції горизонтально-проектуючої площини . Відмічаємо точку О – центр обертання () і визначаємо натуральну величину радіуса обертання ОS способом прямокутного трикутника. Відмітимо, що пряма SА в нашому випадку паралельна фронтальній площині проекцій і на кресленні S₀А₁ дорівнює S₂А₂.

Ця обставина використовується в способі суміщення – це є обертання навколо сліду. На рис.2.11 показане суміщення точки А з горизонтальною площиною проекцій обертанням навколо горизонтального сліду h⁰. Відрізок фронтального сліду XF₂ відкладений в натуральну величину XF на площині проекцій П₁ таким чином, що точка F попадає на траєкторію переміщення точки F при обертанні навколо сліду h⁰.

2.5. Матеріали для підготовки до контрольної роботи № 1

РОЗДІЛ 3. БАГАТОГРАННИКИ ТА КРИВІ ПОВЕРХНІ.

У перетині граного тіла площиною, в загальному випадку одержимо багатокутник.

3.1. ПЕРЕТИН ГРАНИХ ТІЛ ПЛОЩИНОЮ.

Багатокутник перетину можна одержати двома способами:

1. Визначити його вершини, що з'єднуються в деякій послідовності, і таким чином, одержати сторони цього багатокутника.

2. Визначити прямі, на яких знаходяться сторони його. Потім, на отриманих прямих визначити вершини шуканого багатокутника перетину, з'єднуючи які, оформити креслення з урахуванням видимості його сторін.

У першому випадку, використовується перша основна позиційна задача курсу нарисної геометрії для визначення вершин багатокутника перетину – спосіб ребер.

В другому випадку, використовується друга основна позиційна задача курсу нарисної геометрії для визначення прямих багатогранника перетину способом граней.

Спосіб ребер може застосовуватися для будь-яких граней багатогранника, спосіб граней – тільки для його граней перпендикулярних площинам проекцій. Отже, спосіб граней раціонально застосовувати для прямих призм. Розглянемо приклади використання цих способів для побудови трикутника перетину MNK.

СПОСІБ РЕБЕР: Побудувати трикутник MNK перетинання похилої піраміди SABC із площиною a(m||n).

Розв’язання задачі способом ребер виконується в такій послідовності (Рис.3.1):

1. Визначаємо точку М перетину ребра піраміди AS із площиною a(m||n).

· Укладаємо ребро AS у допоміжну фронтально - проектуючу площину;

· Знаходимо лінію 12 перетину допоміжної площини з заданою;

· Визначаємо шукану точку М перетину ребра піраміди AS із площиною a(m||n).

2. Аналогічно визначаємо точки N, K перетину ребер BS, CS із площиною a(m||n).

3. Оформляємо трикутник перетину MNK з урахуванням видимості граней піраміди.

СПОСІБ ГРАНЕЙ: Побудувати трикутник MNK перетину прямої трикутної призми ABC із площиною a(m||n).

Розв’язання задачі способом граней виконується в такій послідовності (Рис.3.2):

1. Визначаємо сторону MN перетину грані ВР із площиною a(m||n).

· Будуємо лінію 12 перетину площини грані ВР із площиною a(m||n).

· Визначаємо точки M, N перетину прямої 12 з ребрами В і С призми АВС.

1. Аналогічно визначаємо точки М, K перетину ребер В, А с площиною a(m||n).
2. Оформляємо трикутник перетину MNK з урахуванням видимості граней призми.

Аналізуючи розглянуті два способи визначення багатокутника перетину граного тіла площиною, робимо висновок - спосіб ребер поглинає в собі собою спосіб граней. Виділення останнього, як окремого способу, виправдано для площин-граней, що проектуються в відрізок прямої, але його доцільно назвати способом двох ребер. Спосіб двох ребер може застосовуватися як для ребер належних, так і для ребер, що не належать до однієї грані.

СПОСІБ ДВОХ РЕБЕР: Побудувати багатокутник перетину прямої шестикутної призми площиною a(m||n).

Розв’язання

1. Два горизонтально проектуючі ребра, що проходять через вершини А и F, укладаємо в допоміжну горизонтально проектуючу площину.

2. Визначаємо проекції лінії 12 перетину допоміжної площини з заданою площиною a(m||n).

3. Відзначаємо точки M, P перетину лінії 12 з тими ребрами призми, що були укладені в горизонтально проектуючу площину.

4. Аналогічно знаходимо вершини N,Q на ребрах з двома ребрами, що проходять через вершини В, Е.

5. І, нарешті, застосовуємо спосіб двох ребер для визначення вершин, що залишилися, K, S шуканого шестикутника перетину.

6. Отримані вершини з'єднуємо, оформляючи креслення з урахуванням видимості.

Ще раз відзначимо, що спосіб двох ребер відрізняється від способу граней тим, що допоміжна площина-посередник, проходячи, через два ребра, може, як належати, так і не належати грані багатогранника.

Для конструювання інженерних геометричних форм із листового матеріалу необхідно вміти будувати розгортки поверхонь цих форм по заданих їх проекціях. На практиці досить вивчити способи побудови розгорток граних поверхонь, а для побудови розгорток кривих поверхонь використовують розгортки вписаної граної поверхні. Точність розгорток кривої поверхні регулюють кількістю граней вписаної граної поверхні.

3.2.1. СПОСІБ ТРИКУТНИКІВ

Спосіб трикутників (спосіб тріангуляції) можна застосувати однаково успішно для будь-якої поверхні. Сутність цього класичного способу побудови розгорток поверхонь полягає в наступному:

1. Будуємо тріангуляцію поверхні (вписуємо в поверхню багатогранник із трикутними гранями. Багатокутні грані також розбиваємо на трикутники).

2. Визначаємо натуральні довжини усіх сторін одержаних трикутників.

Розгортка складається із чотирьох рівнобедрених

3. Будуємо трикутники із натуральних довжин сторін, стикуючи їх відповідним способом, формуючи розгортку поверхні.

3.2.2. СПОСІБ РОЗКАТКИ

Для побудови розгорток призм, ребра яких не спотворюються на проекціях зручно застосувати спосіб розкатки. Сутність способу розглянемо на прикладі.

Задача. Побудувати розгортку призми, ребра якої не спотворюються на площинах проекцій. Рис. 3.5 Побудова розгортки способом розкатки.

Якщо необхідно побудувати розгортку циліндра, то в нього вписують багатокутну призму, до якої застосовують спосіб розкатки. Отримані точки з'єднують не ламаною, а плавною лекальною лінією.

Достоїнство способу розкатки – простота побудов, недолік – незручність розташування на кресленні (неможливість відділення розгортки від проекцій і зображення розгортки в заданому положенні і в заданому місці креслення). Спосіб нормального перерізу позбавлений цих недоліків, він дозволяє відразу будувати розгортку на листовому матеріалі викрійки, але він вимагає невеликих допоміжних побудов (нормальний переріз призми та його натуральну величину).

3.2.3. СПОСІБ НОРМАЛЬНОГО ПЕРЕРІЗУ

Переріз призми називається нормальним, якщо січна площина перпендикулярна бічним ребрам призми. Якщо ребра призми належать лініям рівня, то площина нормального перерізу є проектуючою. На розгортці нормальний переріз призми розгорнеться в лінію, перпендикулярну бічним ребрам. Виходячи з цього, можна сформулювати послідовність побудови розгортки способом нормального перерізу:

1. Через довільну точку бічного ребра призми проводимо нормальну площину.

2. Будуємо переріз призми нормальною площиною.

3. Будуємо натуральну величину перерізу одним із відомих способів.

4. Розгортаємо багатокутник перерізу в пряму лінію.

5. Перпендикулярно до цієї лінії поводимо прямі через точки стику сторін.

6. Від точок стику по цих прямих відкладаємо натуральні відрізки бічних ребер призми.

7. Оформляємо креслення розгортки бічної поверхні призми.

Читайте також: АСОЦІАЦІЯ. ПОБУДОВА АСОЦІАТИВНОГО КУЩА Будова поверхонь неузгоджень Бюджетний устрійпоказує, в який спосіб побудована бюджетна система. Іншими словами,він відображає організацію вертикальної структури бюджету держави за рівнями влади. Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур. Визначення послідовності обробки поверхонь заготовки Вимоги до поштукатурених поверхонь Д80.Парламент в ЗК.ознаки 81.Побудова та основні ознаки парламенту в ЗК. Загальна побудова організації контрольного процесу в умовах автоматизованої обробки інформації Зони ризику. Побудова кривої ризику. Конструкторською базою називається сполучення поверхонь, ліній або точок, що визначають положення деталі в складаній одиниці або виробі. Контроль якості здійснюється і на стадії підтримки досягнутого рівня якості, тобто контролюється також якість технічної експлуатації і ремонту побудованих об'єктів. ЛЕКЦІЯ 11 Визначення технологічних розмірів обробки циліндричних поверхонь Переглядів: 2739 <== попередня сторінка | наступна сторінка ==> Завдання точки 81 | Тема 1. Система інтелектуальної власності Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 © studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.