• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Завдання точки 81

Вступ 68

Основа перпендикуляра, опущеного з точки на пряму 66

Метрика точкового числення 64

Поверхонь 49

3.5.1а. Спосіб горизонтальних січних площин 49

3.5.1б. Спосіб фронтальних січних площин 51

3.5.1в. Спосіб проекціюючих площин 52

3.5.2. Спосіб сфер при побудові лінії перетину поверхонь обертання 53

3.5.2а. Співвісні поверхні обертання і їх лінії перетину 53

3.5.2б. Перетин поверхонь обертання і сфери з центром на осі обертання 53

3.5.2в. Спосіб концентричних і ексцентричних сфер при побудові лінії перетину поверхонь обертання 54

РОЗДІЛ 4. ОСНОВИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ ГЕОМЕТРІЇ 58

4.1.Поділ відрізка в заданому співвідношенню 58

4.2. Обчислення точки по заданому відношенню. Рівняння прямої 58

4.3. Рівняння прямої лінії, відрізка, променя в стандартній та природній параметризаціях 59

4.4. Побудова четвертої вершини паралелограма по трьом заданим.

Рівняння площини 60

4.5. Точкове рівняння площини і простору в стандартній та природній

параметризаціях 61

4.6. Обчислення точки перетину прямої із площиною 63

4.7.1. Метричний оператор трьох точок. Довжина відрізка прямої. Кут між прямими 64

4.7.3. Точка виходу з площини та її геометрична інтерпретація. Точка виходу з площини на відстань d 66

4.7.4. Площа трикутника, розташованого в площині загального положення 67

4.7.5. Визначення вершини піраміди по заданій основі і висоті 67

4.8. Побудова вершини трикутної піраміди по заданій основі, висота якої

проекціюється в центроїд основи 68

4.8.2. Базові поняття 69

4.8.3. Векторний добуток векторів та їх інтерпретація в точковому численні 73

РОЗДІЛ 5. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ АКСОНОМЕТРІЇ 75

5.1. Основні поняття аксонометрії 75

5.2. Основні теореми аксонометрії 76

5.3. Види аксонометрії 77

5.4. Приведені показники спотворення. Стандартні види аксонометрії 77

5.4.1. Прямокутні проекції 78

5.4.2. Косокутні проекції 79

5.5. Координатний спосіб побудови аксонометрії 79

РОЗДІЛ 6. ПРОЕКЦІЇ З ЧИСЛОВИМИ ПОЗНАЧКАМИ 81

6.1. Основні поняття ПЧП 81

6.2. Завдання точки. Завдання прямої. Дійсна величина відрізка прямої. Уклон та інтервал прямої 81

6.2.2. Завдання прямої 82

6.2.3. Дійсна величина відрізка прямої 83

6.2.4. Уклон та інтервал прямої 83

6.3. Градуювання прямої. Задачі із прямою та її відрізками 84

6.4. Завдання площини. Масштаб уклонів 84

6.5. Перетин двох площин і прямої із площиною 86

6.6. Проекції поверхонь. Завдання топографічних поверхонь. Перетин поверхні із площиною 87

6.6.1. Проекції поверхонь 87

6.6.2. Завдання топографічних поверхонь 87

6.6.3. Перетин поверхні із площиною 88

6.7. Профіль поверхні 88

РОЗДІЛ 7. КОНСТРУЮВАННЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОЇ БУДІВЕЛЬНОЇ ПЛОЩАДКИ НА ТОПОГРАФІЧНІЙ ПОВЕРХНІ 90

7.1. Мета завдання, зміст та рекомендації щодо оформлення роботи 90

7.2. Приклад виконання графічної роботи 91

7.2.1. Визначення інтервалів укосів виїмки та насипу 91

7.2.2. Побудова лінії перетину прямолінійних укосів земляної споруди 92

7.2.3. Побудова лінії перетину прямолінійного і криволінійного укосів 93

7.2.4. Визначення границь земляних робіт 93

7.2.5. Побудова профілю топографічної поверхні та споруди 95

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 97

ВСТУП. МЕТА ТА ЗАДАЧІ КУРСУ

Програма графічної підготовки інженерів містить чотири розділа: “Нарисна геометрія”, “Інженерна графіка”, “Обчислювальна геометрія” та “Комп’ютерна графіка”.

Нарисна геометрія, як геометрія, вивчає просторові форми та співвідношення між ними, як нарисна - застосовує для розв’язання своїх задач мову креслення. Пропонований курс містить у собі елементи точкового опису геометричних форм, що дозволяє нарисній геометрії використовувати, як інструмент, комп’ютер.

Задачами курсу нарисної геометрії є:

1. Навчання майбутнього інженера зображувати об'єкти простору на площині (на плоскому кресленні);

2. Навчання читати плоскі креслення просторових форм (читати просторові форми по системі їх плоских зображень);

3. Навчання розв’язувати задачі із просторовими формами на плоских кресленнях за допомогою спеціальних методів, властивих нарисній геометрії.

РОЗДІЛ 1. ТОЧКА, ПРЯМА, ПЛОЩИНА

1.1. КОМПЛЕКСНЕ КРЕСЛЕННЯ ТОЧКИ І ПРЯМОЇ

1.1.1. КООРДИНАТИ І ПРОЕКЦІЇ ТОЧОК. ЕПЮР (КРЕСЛЕННЯ) Г. МОНЖА

У Декартової системі координат OE₁E₂E₃ (рис.1.1) точка А(x,y_,z) визначається трьома дійсними числами x_, y_, z, що називаються координатами точки А. Одиничний відрізок ОЕ₁ визначає вісь абсцис ОХ, одиничний відрізок ОЕ₂ визначає вісь ординат OY, а одиничний відрізок ОЕ₃ – вісь аплікат OZ. Якщо на осях побудувати прямокутний паралелепіпед з орієнтованими сторонами, рівними координатам точки, то його вершина, протилежна початку координат О, визначить цю точку А.

У нарисній геометрії частіше використовуються не координати, а проекції точок (рис.1.2) на три взаємо-перпендикулярні площини проекцій П_1, П₂, П₃. Ці площини називаються:

· Горизонтальна площина проекцій – П₁.

· Фронтальна площина проекцій – П₂.

· Профільна площина проекцій – П₃.

Проекції точки А на ці площини проекцій одержали відповідні найменування:

· А₁ – горизонтальна проекція точки А.

· А₂ – фронтальна проекція точки А.

· А₃ – профільна проекція точки А.

Щоб мати можливість використовувати в нарисній геометрії не тільки графічні, але й обчислювальні методи, зручно за горизонтальну площину проекцій П₁ прийняти координатну площину OXY, за П₂ º OXZ, за П₃ º OYZ. Тоді точка А і її проекції А₁, А₂, А₃ визначаються декартовими координатами:

СИСТЕМА ДВОХ ПРОЕКЦІЙ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНО ВИЗНАЧАЄ ЇЇ ПОЛОЖЕННЯ В ПРОСТОРІ, ПРИЧОМУ ОДНА З КООРДИНАТ ЗАГАЛЬНА ДЛЯ ДВОХ ПРОЕКЦІЙ.

З’єднавши рис.1.1 і рис.1.2 в один рис.1.3, одержимо просторовий взаємозв'язок точки, її проекцій і координат. Три взаємо-перпендикулярні координатні площини, а з ними три нескінченні площини проекцій П₁, П₂, П₃ поділяють простір на вісім частин, що називаються октантами. З отриманого нами твердження, можна зробити висновок, що нарисна геометрія може використовувати не три, а дві площини проекцій П₁ і П₂. Дві площини проекцій поділяють простір на чотири частини, що називаються чвертями або квадрантами. Точка А (рис.1.3) знаходиться в першій чверті, суміжні з нею – друга чверть (за фронтальною площиною П₂) і четверта чверть (під горизонтальною площиною проекцій П₁). Третя чверть симетрична першій відносно осі ОХ.

Координата у_А відображає віддалення точки А від фронтальної площини проекцій і називається глибиною точки А, z – відображає висоту точки А. Точка А₁₂Ì ОХ, що визначає абсцису точки, а також орієнтовані глибина і висота, що визначають ординату і аплікату цієї точки, відіграють особливу роль у нарисній геометрії. Вони утворюють епюр (креслення) Гаспара Монжа – систему двох сполучених уздовж осі ОХ координатних площин проекцій П₁і П₂.

При сполученні площин проекцій П₁ і П₂ обертанням навколо осі абсцис, осі OY і OZ зливаються в загальну пряму лінію, але мають різні напрямки (рис.1.4). Ланки А₁₂А₁ і А₁₂А₂ координатної ламаної утворюють пряму А₁А₂ перпендикулярну осі ОХ, що називається лінією зв'язку. Плоске креслення, що складається з горизонтальної А₁ і фронтальної А₂ проекцій точки А, розташованих на лінії зв’язку А₁А₂, перпендикулярної осі проекцій ОХ º х₁₂ має ім'я засновника нарисної геометрії Г. Монжа (рис.1.5).

Монж Гаспар(10.5.1746 – 28.7.1818) – французький геометр і суспільний діяч, чл. Паризької АН (1780). Творець нарисної геометрії, один із творців Політехнічної школи в Парижі. Народився у Бон Кот-д'Ор. Тут закінчив міське училище, а також школу військових інженерів у Мезьере. У 1768 Монжа призначають професором математики, а в 1771 – і професором фізики в цій школі. З 1780 він викладає гідравліку в Луврскій школі (Париж). В ці роки вчений займається математичним аналізом, хімією, метеорологією, практичною механікою. У період Французької буржуазної революції Монж працював спочатку в місії по встановленню нової системи мір і ваг, а потім морським інженером і організатором національної оборони. Під час Директорії Монж зблизився з Наполеоном, брав участь у його поході в Єгипет і створенні в Каїрі Єгипетського інституту (1798). Монж одержав всесвітнє визнання, створивши (70-і роки) сучасні методи проекційного креслення і його основу – нарисну геометрію. Однак головний його здобуток з цих питань – “Нарисна геометрія” – було опубліковано в 1799. Важливі відкриття зробив Монж і в диференціальній геометрії. Перші його роботи про рівняння поверхонь були опубліковані в 1770 і 1773. У 1795 і 1801 вийшли у світ його роботи про кінцеві і диференціальні рівняння різних поверхонь. У 1804 була видана велика книга за назвою “Застосування аналізу до геометрії”. У ній Монж розглядав циліндричні та конічні поверхні, утворені рухом горизонтальної прямої, що проходить через фіксовану вертикальну пряму, канальчасті поверхні, поверхні, у яких лінії найбільшого нахилу утворюють постійний кут з горизонтальною площиною, поверхні переносу і т.п. Як додаток до книги вчений дав свою теорію інтегрування рівнянь з частковими похідними 1-го порядку і своє розв’язання задачі про коливання струни. Для кожного з видів поверхонь він вивів спочатку диференціальне, а потім і кінцеве рівняння. Він перший позначив буквами pі q часткові похідні від z по x іy,а буквами r, s іt– похідні другого порядку.

У залежності від того, в якій чверті знаходиться точка, її проекції, розташовані на лінії зв’язку, будуть змінювати своє положення відносно осі х₁₂. По положенню проекцій А₁, А₂ відносно осі, необхідно визначати положення точки А щодо площин проекцій:

· Проекції збігаються і належать осі проекцій Û точка належить осі.

· Проекції знаходяться над віссю проекцій Û точка в другій чверті.

· Проекції знаходяться під віссю проекцій Û точка в четвертій чверті.

· Горизонтальна проекція точки – під віссю, а фронтальна проекція точки – над віссю проекцій Û точка знаходиться в першій чверті.

· Горизонтальна проекція точки – над віссю, а фронтальна проекція точки – під віссю проекцій Û точка знаходиться в третій чверті.

· Горизонтальна проекція знаходиться на осі Þ точка належить фронтальної площини проекцій П₂.

· Фронтальна проекція точки – на осі Þ точка знаходиться на П₁.

Так, по парі проекцій точки, що знаходяться на площині (на аркуші паперу), читають положення точки в просторі (друга задача курсу нарисної геометрії).

І, навпаки, по положенню точки в просторі, зображують її креслення парою проекцій (перша задача курсу нарисної геометрії).

Освоїти перші дві задачі курсу для точки – основна мета вивчаючого курс!

ВПРАВИ:

1. Які чверті при сполученні площин проекцій в одну площину закриваються, а які розкриваються?

2. Якій площині належать точки, проекції яких збігаються?

3. У якій чверті знаходиться точка, координати якої усі негативні?

4. У якій чверті знаходиться точка В, симетрична точці А з першої чверті, відносно х₁₂?

5. Визначити координати точки В, симетричній точці А(20, -10, 30) відносно точки О. У яких чвертях знаходяться точки А і В? Побудувати наочні зображення і епюр Г. Монжа точок А і В.

1.1.2. ЕПЮР ВІДРІЗКА ПРЯМОЇ, ЙОГО НАТУРАЛЬНА ВЕЛИЧИНА ТА КУТИ НАХИЛУ ПРЯМОЇ ДО ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ (СПОСІБ ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА).

Якщо з'єднати відрізком прямої однойменні (з однаковими індексами) проекції точок А і В (рис.1.6), то одержимо проекції прямої АВ:

- горизонтальну проекцію А₁В₁ відрізка АВ,

- фронтальну проекцію А₂В₂ відрізка АВ.

У загальному випадку проекція відрізка завжди по довжині менше ніж його натуральна величина. Отже, маючи дві проекції відрізка, ми не маємо безпосередньо його натуральної величини. Оскільки дві проекції визначають відрізок, то вони також визначають і його довжину (натуральну величину), що дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника. Один катет такого трикутника дорівнює горизонтальної проекції А₁В₁ відрізкаАВ (рис.1.6), а другий катет по довжині дорівнює різниці висот кінців цього відрізка. Трикутник з гіпотенузою по довжині рівній натуральній величині відрізка побудувати по його проекціях можна на будь-якому вільному місці креслення. Якщо необхідно визначити н.в. одного відрізка, то трикутник прибудовують до однієї з проекцій (рис.1.7), якщо ж спосіб прямокутного трикутника потрібно застосувати багаторазово (визначаються довжини ребер багатогранника і т.п.), то використовують вільне поле креслення.

Зверніть увагу (рис.1.7), що трикутник можна добудувати, як до горизонтальної проекції А₁В₁, так і до другого катета (різниці висот).

Для зорової наочності введені знаки:

“▐ ” – довжина горизонтальної проекції А₁В₁;

“╢” – довжина фронтальної проекції А₂В₂;

“≡” – різниця висот точок А і В.

“≈” – різниця глибин точок А і В;

“н. в. АВ” – натуральна довжина відрізка АВ;

“α” – кут нахилу прямої АВ до горизонтальної площини проекцій П₁;

“b” – кут нахилу прямої АВ до фронтальної площини проекцій.

На (рис.1.7) побудовані чотири прямокутних трикутники для побудови величин α, β, н.в. АВ. Спосіб побудови таких величин у нарисній геометрії одержав назву від використаної для цього геометричної фігури – спосіб прямокутного трикутника для визначення довжини відрізка і кутів нахилу прямої до площин проекцій.Це перший спосіб нарисної геометрії, що дозволяє графічно вводити в неї метрику.

1.1.3. СЛІДИ ПРЯМОЇ НА ПЛОЩИНАХ ПРОЕКЦІЙ

Слідом прямої на площині називається точка перетину прямої із площиною. Нас будуть цікавити сліди прямої на площинах проекцій П₁ і П₂, щоб можна було описати, як розташовується пряма щодо площин проекцій (через які чверті вона проходить). Такий опис називається аналізом прямої.

Горизонтальнимслідом називається точка Н перетину прямої з горизонтальною площиною проекцій.

Читайте також:

1. V. Завдання.
2. VІ. Підсумки уроку і повідомлення домашнього завдання.
3. Адаптація персоналу: цілі та завдання. Введення у посаду
4. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
5. АКТУАЛЬНI ПРОБЛЕМИ І ЗАВДАННЯ КУРСУ РОЗМIЩЕННЯ ПРОДУКТИВНИХ СИЛ УКРАЇНИ
6. Актуальність і завдання курсу безпека життєдіяльності. 1.1. Проблема безпеки людини в сучасних умовах.
7. Алгебраїчний спосіб визначення точки беззбитковості
8. Аналіз руху грошових коштів у контексті нової фінансової звітності Важливим завданням аналізу фінансового стану підприємства є оцінка руху грошових коштів підприємства.
9. Аналіз точки беззбитковості
10. Аудит, його мета та завдання
11. Багатокритеріальні завдання оптимального керування
12. Багатокритерійні завдання і можливі шляхи їхнього рішення.

Переглядів: 925