Приклади лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.
1) У векторному просторі комплексних чисел вектори і утворюють лінійно незалежну систему.
2) В арифметичному числовому векторному просторі система одиничних векторів , ,…, лінійно незалежна.
3) У векторному просторі геометричних векторів будь-які чотири вектори лінійно залежні, а будь-які три некомпланарні вектори лінійно незалежні.
Аналогічно, у векторному просторі будь-які три вектори лінійно залежні, а будь-які два неколінеарні вектори лінійно незалежні.
4) У векторному просторі всіх многочленів від змінної з дійсними коефіцієнтами многочлени лінійно незалежні.
5) У векторному просторі всіх неперервних функцій дійсної змінної на числовій прямій система функцій , , 1 лінійно залежна, оскільки
.
(Як відомо, функція 1 є лінійною комбінацією функційі :
).
Означення. Впорядкована система векторівназивається базисом векторного простору, якщо
1) вона лінійно незалежна;
2) кожен вектор просторулінійно виражається через вектори цієї системи, тобто .
Отже, базис – це максимальна система лінійно незалежних векторів.
Зауваження. Якщо в базисі змінити порядок векторів, то отримаємо інший базис, хоч він і складається з тих самих векторів. Ясно, що для даного простору базис можна вибрати не єдиним чином.