• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Густина повного струму

.

По Максвелу, повний струм завжди замкнений, тобто на кінцях провідника обривається лише струм провідності, а в діелектриці (вакуумі) між кінцями провідника є струм зміщення, який замикає струм провідності.

Зі всіх фізичних властивостей, притаманних струму провідності, Максвел приписав струму зміщення лише одне – здатність створювати в навколишньому просторі магнітне поле.

Друге рівняння Максвелла – це узагальнена Максвеллом теорема про циркуляцію вектора . Максвелл узагальнив теорему про циркуляцію вектора , ввівши в її праву частину

.

З урахуванням цього узагальнена теорема про циркуляцію вектора має такий вид:

. (2)

Ця теорема показує, що магнітні поля можуть збурюватись або рухомими зарядами (електричними струмами), або змінними електричними полями.

3. Система рівнянь Максвелла для електромагнітного поля в інтегральній формі.

Електромагнітне поле

Повна система рівнянь Максвела складається з рівнянь (1), (2), а також з теорем Остроградського-Гаусса для поля і :

; ;

; .

Величини, що входять в рівняння Максвела, не є незалежними і зв'язані так:

; .

Джерелами електричного поля можуть бути або електричні заряди, або змінювані в часі магнітні поля, а магнітні поля можуть збуджуватися або рухомими електричними зарядами (електричними струмами), або змінними електричними полями.

Рівняння Максвела не симетричні відносно електричного і магнітного полів. Це зв'язано з тим, що в природі існують електричні заряди, але немає зарядів магнітних.

Якщо заряди і струми розподілені в просторі безперервно, то обидві форми рівнянь Максвела – інтегральна і диференціальна – еквівалентні. Проте, коли є поверхні розриву– поверхні, на яких властивості середовища або полів змінюються стрибкоподібно, – то тоді необхідно рівняння Максвелла доповнювати граничними умовами, яким повинне задовольняти електромагнітне поле на границі розділу двох середовищ. Інтегральна форма рівнянь Максвелла має ці умови. Ці умови (їх виведення ми опускаємо) мають такий вид:

, , , ,

Тут перше та останнє рівняння записані з урахуванням того, що на границі розділу двох середовищ є вільні заряди, які характеризуються поверхневою густиною , і струми провідності, які характеризуються поверхневою густиною струму

Зазначимо, що з рівнянь Максвелла випливає, що змінюване магнітне поле завжди пов'язано з породжуваним ним електричним полем, а змінюване електричне поле завжди пов'язане з породжуваним ним магнітним полем, тобто електричне та магнітне поля нерозривно зв'язані одне з одним – вони створюють єдине електромагнітне поле.

4. Вихрові струми (струми Фуко). Скін-ефект

Індукційний струм виникає не тільки в лінійних провідниках, але і в масивних провідниках, поміщених в змінне магнітне поле. Ці струми виявляються замкненими в товщі провідника і тому називаються вихровими. Їх також називають струмами Фуко – на ім'я першого дослідника.

Вихрові струми підкоряються правилу Лєнца: їх магнітне поле направлено так, щоб протидіяти змінюванню магнітного потоку, що індукує вихрові струми. Наприклад, якщо між полюсами невключеного електромагніту масивний мідний маятник здійснює практично незгасаючі коливання, то при ввімкненні струму він дуже гальмується і дуже швидко зупиняється. Це пояснюється тим, що виниклі струми Фуко мають такий напрям, що діючі на них з боку магнітного поля сили гальмують рух маятника. Цей факт використовується для заспокоєння (демпфування) рухомих частин різних приладів. Якщо в описаному маятнику зробити радіальні вирізи, то вихрові струми ослабляються і гальмування майже відсутнє.

Вихрові струми крім гальмування (як правило, небажаного ефекту) викликають також нагрівання провідників. Тому для зменшення втрат на нагрівання якоря генераторів і сердечники трансформаторів роблять не суцільними, а виготовляють з пластин, відокремлених одна від одної шарами ізолятора, і встановлюють їх так, щоб вихрові струми були направлені упоперек пластин. Джоульова теплота, що виділяється струмами Фуко, використовується в індукційних металургійних печах. Індукційна піч є тиглем, що поміщається всередину котушки, в якій пропускається струм високої частоти. В металі виникають інтенсивні вихрові струми, здатні розігріти його до плавлення. Такий спосіб дозволяє плавити метали у вакуумі, внаслідок чого отримують надчисті матеріали.

Вихрові струми виникають і в проводах, по яких тече змінний струм. Напрям цих струмів можна визначити за правилом Лєнца. На рис. 17.1,а показаний напрям вихрових струмів при зростанні первинного струму в провіднику, а на рис. 17.1,б – при його спаданні. В обох випадках напрям вихрових струмів такий, що вони протидіють змінюванню первинного струму усередині провідника і сприяють його змінюванню поблизу поверхні. Таким чином, внаслідок виникнення вихрових струмів швидкозмінний струм виявляється розподіленим по перерізу проводу нерівномірно – він як би витісняється на поверхню провідника. Це явище отримало назву скін-ефекту (від англ. skin – шкіра) або поверхневого ефекту. Оскільки струми високої частоти практично протікають в тонкому поверхневому шарі, то проводи для них виготовляють порожнистими.

Рис. 17.1

Якщо суцільні провідники нагрівати струмами високої частоти, то в результаті скін-ефекту відбувається нагрівання тільки їх поверхневого шару. На цьому заснований метод поверхневого гарту металів. Змінюючи частоту поля, він дозволяє проводити гарт на будь-якій необхідній глибині.

ЛЕКЦІЯ 18

Електромагнітні хвилі

1. Рівняння Максвелла в диференціальній формі

На попередній лекції розглядались рівняння Максвелла в інтегральній формі. Розглянемо тепер рівняння Максвелла в диференціальній формі. Для цього слід скористатись відомими з векторного аналізу теоремами Стокса та Гаусса:

; .

Тоді повна система рівнянь Максвелла в диференціальній формі, яка характеризує поле в кожній точці простору, матиме такий вид:

Якщо заряди і струми розподілені в просторі неперервно, то обидві форми рівнянь Максвелла – інтегральна і диференціальна – еквівалентні. Проте, якщо є поверхні розриву, тобто поверхні, на яких властивості середовища або полів змінюються скачкоподібно, то тоді інтегральна форма рівнянь є більш загальною.

Рівняння Максвела – найбільш загальні рівняння для електричних і магнітних полів в нерухомих середовищах. Вони відіграють у вченні про електромагнетизм таку ж саму роль, як і закони Ньютона в механіці.

Теорія Максвела, будучи узагальненням основних законів електричних і магнітних явищ, не тільки змогла пояснити вже відомі експериментальні факти, що також є важливим її наслідком, але й передбачила нові явища. Одним з важливих висновків цієї теорії з'явилося існування магнітного поля струмів зміщення, що дозволило Максвелу передбачити існування електромагнітних хвиль – змінюваного електромагнітного поля, що розповсюджується в просторі з кінцевою швидкістю. Надалі було доведене, що швидкість розповсюдження вільного електромагнітного поля (не пов'язаного із зарядами і струмами) у вакуумі дорівнює швидкості світла с = 3·10⁸ м/с. Цей висновок і теоретичне дослідження властивостей електромагнітних хвиль привели Максвела до створення електромагнітної теорії світла, згідно з якою світло є також електромагнітними хвилями. Електромагнітні хвилі дослідним шляхом були отримані німецьким фізиком Г. Герцем (1857 – 1894), який довів, що закони їх збудження і розповсюдження повністю описуються рівняннями Максвела. Таким чином, теорія Максвела була експериментально підтверджена.

2. Диференціальне рівняння електромагнітної хвилі та його дослідження

Для однорідного і ізотропного середовища вектори напруженостей і змінного електромагнітного поля задовольняють хвильовому рівнянню типу :

(1)

(2)

де – оператор Лапласа; – фазова швидкість.

Всяка функція, яка задовольняє рівнянням (1) і (2), описує певну хвилю, Отже, електромагнітні поля дійсно можуть існувати у виді електромагнітних хвиль. При цьому

, (3)

де , і – відповідно електрична і магнітна сталі, і – відповідно електрична і магнітна проникності середовища.

В вакуумі () швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль співпадає зі швидкістю с; в речовині і тому швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль в речовині завжди менша, ніж в вакуумі.

Як наслідок з рівнянь Максвелла витікає поперечність електромагнітних хвиль: вектори напруженостей і змінного електромагнітного поля взаємно перпендикулярні (на рис. 18.1 показана моментальна "фотографія" плоскої електромагнітної хвилі ) і лежить в площині , перпендикулярній вектору швидкості розповсюдження хвилі, причому вектори , і створюють правогвинтову систему.

Рис. 18.1

З рівнянь Максвелла також випливає, що в електромагнітній хвилі вектори і завжди коливаються в однакових фазах (див. рисунок), причому миттєві значення і в будь-якій точці зв'язані між собою співвідношенням:

. (4)

Отже, і одночасно досягають максимуму, обертаються в нуль і т. д.

Від рівнянь (1) і (2) можна перейти до наступних рівнянь:

яким задовольняють, зокрема, плоскі монохроматичні електромагнітні хвилі, тобто електромагнітні хвилі однієї строго визначеної частоти, які описуються рівняннями:

де і – відповідно амплітуди напруженостей електричного і магнітного поля хвилі; – кругова частота хвилі; – хвильове число; – початкові фази коливань в точці з координатою . Зазначимо, що в цих рівняннях однакове, оскільки коливання електричного і магнітного векторів в електромагнітній хвилі відбуваються з однаковою фазою (див. також рис. 1.18).

3. Енергія електромагнітних хвиль (об'ємна густина, потік, вектор Умова-Пойнтінга)

Можливість виявлення електромагнітних хвиль вказує на те, що вони переносять енергію. Об'ємна густина енергії електромагнітної хвилі складається з об'ємних густин і електричного і магнітного полів:

.

З врахуванням (4) отримаємо, що густини енергії електричного і магнітного полів в кожний момент часу однакові, тобто = . Тому

.

Якщо помножити густину енергії на швидкість розповсюдження хвилі в середовищі (3), отримаємо модуль густини потоку енергії:

.

Оскільки вектори і взаємно перпендикулярні і створюють з напрямом розповсюдження хвилі правогвинтову систему, то напрям вектора співпадає з напрямом перенесення енергії, а модуль вектора дорівнює .

Вектор густини потоку енергії називається вектором Умова-Пойнтінга:

.

Вектор Умова-Пойнтінга направлений в сторону розповсюдження електромагнітної хвилі, а його модуль дорівнює енергії, яка переноситься електромагнітною хвилею за одиницю часу через одиничну площадку, перпендикулярну напряму розповсюдження хвилі.

4. Тиск електромагнітних хвиль. Імпульс електромагнітного поля

Якщо електромагнітні хвилі поглинаються або відбиваються тілами (ці явища підтверджені дослідами Р. Герца), то з теорії Максвелла випливає, що електромагнітні хвилі повинні тиснути на тіла. Тиск електромагнітних хвиль пояснюється тим, що під дією електричного поля хвилі заряджені частинки речовини починають впорядковано рухатися і піддаються з боку магнітного поля хвилі дії сил Лоренца. Проте значення цього тиску надто мале. Можна оцінити, що при середній потужності сонячного випромінювання, що приходить на Землю, тиск для абсолютно поглинаючої поверхні складає приблизно 5 мкПа.

Існування тиску електромагнітних хвиль приводить до висновку про те, що електромагнітному полю властивий механічний імпульс. Імпульс електромагнітного поля виражається залежністю:

,

де – енергія електромагнітного поля.

5. Шкала електромагнітних хвиль

Електромагнітні хвилі, мають широкий діапазон частот (довжин хвиль) і відрізняються за способами їх генерації і реєстрації, а також за своїми властивостями. В таблиці представлені різні види електромагнітних хвиль, хоча слід зазначити, що межі між різними їх видами умовні.

Вид випромінювання	Довжина хвилі, м	Частота хвилі, Гц	Джерело випромінювання
Радіохвилі	10-3 – 10-4	3·105 – 3·1012	Коливальний контур Вібратор Герца Ламповий генератор
Світлові хвилі:   інфрачервоне випромінювання   видиме світло   ультрафіолетове випромінювання	5·10 – 4 – 8·10 –7     8·10 –7 – 4·10 –7   4·10 –7 – 10 –9	6·1011 – 3,75·1014   3,75·1014 – 7,5·1014 7,5·1014 – 3·1017	Лампи     Лазери
Рентгенівське випромінювання	2·10-9 – 6·10-12	l,5·1017 – 5·1019	Трубка Рентгена Радіоактивний розпад
- випромінювання	< 6·10 –12	> 5·1019	Ядерні та космічні процеси

Лекція 19

Інтерференція хвиль

1. Інтерференція хвиль. Умови виникнення максимумів та мінімумів інтерференції. Оптична довжина шляху, оптична різниця ходу

Узгоджене протікання в часі і просторі декількох коливальних або хвильових процесів пов'язують з поняттям когерентності.

Когерентні хвилі – це хвилі, у яких різниця їх фаз залишається постійною в часі. Такими хвилями можуть бути лише хвилі, що мають однакову частоту, тобто цій умові задовольняють монохроматичні хвилі, тобто хвилі, які необмежені в просторі і мають лише одну визначену і строго постійну частоту.

Зазначимо, що жодне реальне джерело не дає строго монохроматичного світла. Тому хвилі, що випромінюються будь-яким незалежним джерелом світла, завжди некогерентні.

Розглянемо накладання двох когерентних хвиль.

Явище накладання у просторі двох (або декількох) когерентних хвиль в різних точках цього простору, при якому відбувається посилення або послаблення результуючої хвилі (залежно від співвідношення між фазами цих хвиль) називається інтерференцією хвиль.

Розглянемо накладання двох когерентних сферичних хвиль і , тобто хвиль, хвильові поверхні яких мають вид концентричних сфер, що збуджуються точковими джерелами і (рис. 19.1), що коливаються з однаковими амплітудою і частотою і постійною у часі різницею фаз:

де і – відстані від джерел хвиль до точки В , що розглядається; – хвильове число; і – початкові фази обох сферичних хвиль, що накладаються.

Рис. 19.1

Квадрат амплітуди результуючої хвилі в точці В дорівнює:

.

Оскільки для когерентних джерел різниця початкових фаз , результат накладання двох хвиль в різних точках залежить від величини , яка називається різницею ходу хвиль.

В точках, де

(*)

спостерігається інтерференційний максимум: амплітуда результуючого коливання .

В точках, де

(**)

спостерігається інтерференційний мінімум: амплітуда результуючого коливання .

Величинаназивається відповідно порядком інтерференційного максимума або мінімума.

Умови (*) і (**) зводяться до того, що

.

Це рівнянням гіперболи з фокусами в точках і . Отже, геометричне місце точок, в яких спостерігається посилення або послаблення результуючого коливання, є сімейством гіпербол (рис. 19.1), що відповідають умові . Між двома інтерференційними максимумами (на рис. 19.1 суцільні лінії) знаходяться інтерференційні мінімуми (на рис. 19.1 штрихові лінії).

3. Стоячі хвилі

Особливим випадком інтерференції є стоячі хвилі, тобто хвилі, що утворюються при накладанні двох біжучих хвиль, що поширюються назустріч одна одній з однаковими частотами і амплітудами, а у випадку поперечних хвиль – і однаковою поляризацією.

Нехай дві плоскі хвилі поширюються назустріч одна одній уздовж осі х в середовищі без згасання, причому обидві хвилі характеризуються однаковими амплітудами і частотами. Крім того, початок координат виберемо в точці, в якій обидві хвилі мають однакову початкову фазу, а відлік часу почнемо з моменту, коли початкові фази обох хвиль дорівнюють нулю. Тоді відповідно рівняння хвилі, що поширюється вздовж додатного напряму осі х, і хвилі, що поширюється їй назустріч, матимуть вигляд

Додавши ці рівняння і врахувавши, що , отримаємо рівняння стоячої хвилі:

,

з якого витікає, що в кожній точці цієї хвилі відбуваються коливання тієї ж самої частоти з амплітудою , яка залежить від координати х розглянутої точки.

В точках середовища, де

амплітуда результуючого коливання досягає свого максимального значення, яке дорівнює .

В точках середовища, де

амплітуда результуючого коливання дорівнює нулю.

Зазначимо, що точки, в яких амплітуда коливань максимальна , називаються пучностями стоячої хвилі, а точки, в яких амплітуда коливань дорівнює нулю , називаються вузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що знаходяться в вузлах, не коливаються.

Координати пучностей та координати вузлів неважко отримати з двох останніх виразів:

З цих виразів випливає, що відстань пучність – пучність дорівнює , а відстань пучність – вузол дорівнює .

Лекція 20

Дифракція хвиль

1. Закони геометричної оптики. Дифракція світла. Принцип Гюйгенса- Френеля

Дифракція – це обгинання хвилями перешкод, що зустрічаються на їх шляху; в більш широкому значенні – будь-яке відхилення розповсюдження хвиль поблизу перешкод від законів геометричної оптики.

Завдяки дифракції хвилі можуть потрапляти в область геометричної тіні, огинати перешкоди, проникати через невеликі отвори в екранах і т. д. Наприклад, звук добре чутний за рогом будинку, тобто звукова хвиля його огинає.

Геометрична оптика розглядає закони поширення світла в прозорих середовищах на основі уявлення про світловий промінь як лінію, вздовж якої переноситься світлова енергія. Хоча світловий промінь є абстракт­ним поняттям, а геометрична оптика – граничним (окремим) випадком хвильової оптики, все ж вона являє собою простий наближе­ний метод побудови зображень в оптичних системах.

В основі геометричної оптики лежать такі закони.

1. Закон прямолінійного поширення світла.В однорідних середови­щах світло поширюється прямолінійно.

2. Закон відбивання світла. Промінь падаючий, промінь відбитий і нормаль, поставлена в точку падіння, лежать в одній площині, а кут падіння дорівнює куту відбивання.

3. Закон заломлення світла.Промінь падаючий, промінь заломлений і перпендикуляр, поставлений у точку падіння, лежать в одній площині. При будь-якому куті падіння відношення синуса кута падіння до синуса кута заломлення є величиною, сталою для двох певних середовищ, і на­зивається відносним показником заломлення другого середовища відносно першого.

4. Закон незалежності поширення світлових променів. Світлові про­мені, поширюючись у просторі, при перетині не впливають один на од­ного.

5. Закон оборотності (принцип оборотності) світлових променів.Якщо промінь падає з першого середовища на межу другого під кутом і, заломлюється на межі і переходить у друге середовище під кутом r, то промінь, пущений у зворотному напрямі з другого середовища під ку­том r, вийде в першому середовищі під кутом і. Аналогічно буде і при відбиванні. Принцип оборотності виконується при будь-якій кількості заломлень і відбивань на межах оптичних систем.

Розглянемо дифракцію світла.

Явище дифракції світла пояснюється за допомогою принципу Гюйгенса, згідно з яким кожна точка, до якої доходить хвиля, служить центром вторинних хвиль, а огинаюча (обвідниця) цих хвиль задає положення хвильового фронту в наступний момент часу. Це – геометричний принцип; він вирішує лише задачу про напрям розповсюдження хвильового фронту, а не піднімає питання про амплітуду, а отже, і про інтенсивність хвиль, що розповсюджуються по різних напрямах.

Френель вклав в принцип Гюйгенса фізичний смисл, доповнивши його ідеєю інтерференції вторинних хвиль.

Згідно принципу Гюйгенса-Френеля, світлова хвиля, яка збуджується яким-небудь джерелом S, може бути представлена як результат суперпозиції когерентних вторинних хвиль, "випромінюваних" фіктивними джерелами. Такими джерелами можуть служити нескінченно малі елементи будь-якої замкненої поверхні, що охоплює джерело S. Зазвичай в якості цієї поверхні вибирають одну з хвильових поверхонь, тому всі фіктивні джерела діють синфазно.

Таким чином, хвилі, що розповсюджуються від джерела, є результатом інтерференції всіх когерентних вторинних хвиль. Френель виключив можливість виникнення зворотних вторинних хвиль і припустив, що якщо між джерелом і точкою спостереження знаходиться непрозорий екран з отвором, то на поверхні екрану амплітуда вторинних хвиль дорівнюватиме нулю, а в отворі вона буде такою ж самою, як за відсутності екрану.

Врахування амплітуд і фаз вторинних хвиль дозволяє у кожному конкретному випадку знайти амплітуду (інтенсивність) результуючої хвилі в будь-якій точці простору, тобто визначити закономірності розповсюдження світла.

2. Дифракція в паралельних променях на щілині

Дифракція в паралельних променях на щілині (дифракція Фраунгофера) спостерігається тоді, коли джерело світла і точка спостереження нескінченно віддалені від перешкоди, що викликала дифракцію. Практично: точкове джерело світла поміщають у фокусі збираючої лінзи, а дифракцію спостерігають у фокальній площині іншої лінзи, встановленої за перешкодою.

Плоска монохромна хвиля падає нормально до площини вузької нескінченно довгої щілини завширшки а (рис. 20.1). Оптична різниця ходу між крайнім промінням МС і ND, що йдуть від щілини в довільному напрямі , становить

.

Рис. 20.1

Розіб'ємо відкриту частину хвильової поверхні в площині щілини МN на зони Френеля, що мають вид смуг, паралельних ребру М щілини. Ширина кожної зони вибирається так, щоб різниця ходу від країв цих зон дорівнювала , тобто всього на ширині щілини уміщатиметься

зон. Оскільки світло на щілину падає нормально, то площина щілини співпадає з хвильовим фронтом; отже, всі точки хвильового фронту в площині щілини коливатимуться в однаковій фазі.

Амплітуди вторинних хвиль в площині щілини будуть однаковими, оскільки вибрані зони Френеля мають однакові площі і однаково нахилені до площини спостереження.

Число зон Френеля, що укладаються на відкритій частині хвильового фронту, залежить, згідно з вище наведеною формулою , від кута . Від числа зон Френеля, у свою чергу залежить результат накладення всіх вторинних хвиль, іншими словами визначається дифракційна картина.

Розглянемо умови максимумів і мінімумів.

Якщо число зон Френеля парне, то

і на екрані (див. рис. 20.1) в точці В спостерігається дифракційний мінімум – повна темнота (коливання від кожної пари сусідніх зон взаємно гасять одна одну).

Якщо число зон Френеля непарне, то

і спостерігається дифракційний максимум (одна зона Френеля не скомпенсована).

У напрямі щілина діє як одна зона Френеля, і в цьому напрямі світло розповсюджується з найбільшою інтенсивністю, тобто в точці В₀ спостерігається центральний дифракційний максимум (див. рис. а нас. 20.1).

З наведених вище умов максимуму і мінімуму можна визначити напрями на точки екрану, де амплітуда (а отже й інтенсивність) максимальна: і мінимальна: .

Розподіл інтенсивності на екрані, який отримано внаслідок дифракції, називається дифракційним спектром (див. рис. б на рис. 20.1).

Розрахунки показують, що інтенсивності в центральному і подальших максимумах відносяться як 1 : 0,047 : 0,017 : 0,0083 : ..., тобто основна частина світлової енергії зосереджена в центральному максимумі. У разі звуження щілини центральний (і всі інші) максимум розпливається (його інтенсивність зменшується). Навпаки, у разі розширення щілини (а > ) – дифракційні смуги стають вужчими, а картина — яскравішою. При а в центрі має місце різке зображення джерела світла (має місце прямолінійне розповсюдження світла).

Положення максимумів залежить від довжини хвилі , тому при освітленні щілини білим світлом центральний максимум спостерігається у вигляді білої смужки; він загальний для всіх довжин хвиль (при = 0 різниця ходу дорівнює нулю для всіх ). Бічні максимуми веселково забарвлені, оскільки умова максимуму при будь-якому різна для різних . Відчутного розділення різних довжин хвиль за допомогою дифракції на одній щілині отримати неможливо, оскільки максимуми розпливчасті.

ЛЕКЦІЯ 21

Квантова теорія теплового випромінювання

1. Теплове випромінювання, його рівноважність, характеристики

Теплове випромінювання– це світіння тіл, зумовлене нагріванням. Це практично єдиний вид випромінювання, яке перебуває в термодинамічній рівновазі з речовиною, тобто тіло в одиницю часу поглинає стільки ж енергії, скільки і випромінює.

Теплове випромінювання характеризується суцільним спектром, положення максимуму якого залежить від температури. У випадку високих температур випромінюються короткі (видимі та ультрафіолетові електромагнітні хвилі, у випадку низьких – переважно довгі (інфрачервоні)).

Кількісною характеристикою теплового випромінювання служитьспектральна густина енергетичної світимості (випромінюваності) тіла – потужність випромінювання з площі 1 м² поверхні тіла в інтервалі частот одиничної ширини:

,

де – енергія електромагнітного випромінювання, що випромінюється за 1 с (потужність випромінювання) з площі 1 м² поверхні тіла в інтервалі частот від до ).

Одиниця спектральної густини енергетичної світимості– Дж/м².

По спектральній густині енергетичної світимості можна розрахувати інтегральну енергетичну світимість, підсумувавши по всіх частотах:

.

2. Абсолютно чорне тіло. Розподіл енергії в спектрі випромінювання абсолютно чорного тіла. Закони Кірхгофа і Стефана-Больцмана

Тіло, здатне поглинати за будь-якої температури все падаюче на нього випромінювання будь-якої частоти, називається чорним тілом. Отже, для чорного тіла спектральна поглинальна здатність для всіх частот і температур тотожно дорівнює одиниці . В природі немає абсолютно чорних тіл, проте сажа, чорний бархат та деякі інші тіла в певному інтервалі частот за своїми властивостями наближаються до них.

Поряд з поняттям чорного тілавикористовують також поняття сірого тіла, тобто тіла, поглинальна здатність якого менше одиниці, але однакова для всіх частот і залежить тільки від температури, матеріалу і стану поверхні тіла.

.

Розглянемо теперзакони Кірхгофа та Стефана-Больцмана.

Закон Кірхгофа формулюється так: відношення спектральної густини енергетичної світимості до спектральній поглинальної здатності не залежить від природи тіла; воно є для всіх тіл універсальною функцією частоти (довжини хвилі) і температури:

,

де– спектральна густина енергетичної світимості чорного тіла.

Скориставшись законом Кірхгофа, вираз для інтегральної енергетичної світимості тіла можна записати у вигляді:

.

Тоді інтегральна енергетична світимість сірого тіла буде такою:

,

де – інтегральнаенергетична світимість чорного тіла.

Закон Стефана—Больцманаформулюється так:енергетична світимість чорного тіла пропорційна четвертому ступеню термодинамічної температури:

,

де – стала Стефана–Больцмана, експерименальне значення якої дорівнює = 5,67·10^-8 Вт/(м²·К⁴) .

3. Розподіл енергії в спектрі випромінювання абсолютно чорного тіла.

Закон зміщення Віна

Закон зміщення Вінаформулюється так:довжина хвилі , яка відповідає максимальному значенню спектральної густини енергетичної світимості чорного тіла, обернено пропорційна його термодинамічній температурі

,

де b = 2,9·10^-3 м·К – стала Віна.

За законом Віна довжина хвилі , на яку припадає мак­симум спектральної випромінювальної здатності, у разі підвищення температури зміщується в бік коротких хвиль.

Розподіл енергії у спектрі випромінювання чорного тіла для різних температур (рис. 21.1) показує, що для наведених температур максиму­ми кривих припадають на інфрачервону частину спектра. На рисунку також заштриховано площі під кривими розподілу для інтервалу довжин хвиль від 0,4 до 0,76 мкм. Вони показують, яка саме частина енергії ви­промінювання припадає на видиму частину спектра при заданих темпе­ратурах.

Рис. 21.1

Щоб одержати закони теп­лового випромінювання, Дж. Релей і Дж. Джінс застосували, на відміну від своїх попередників, методи ста­тистичної фізики, а саме: класичний закон рівномірного розподілу енергії зао ступенями свободи і отримали для спектральної густини енергетичної світимості формулу Релея – Джінса:

,

де – середня енергія осцилятора з власною частотою .

Цей вираз узгоджується з досвідом тількив області малих частот і високих температур.

Згідно з законом Стефана – Больцмана

,

а обчислення з використанням формули дає такий результат:

тобто в рамках класичної фізики не вдається пояснити закони розподілу енергії в спектрі чорного тіла. Цей факт було названо "катастрофою класичної фізики".

4. Квантова гіпотеза Планка. Формула Планка

Недоліки формул Віна і Релея - Джінса вказують на те, що для одержання функції розподілу енергії в спектрі випромінювання треба враховувати додаткові дані, що стосуються механізму випромінювання.

У 1900 р. М. Планк спочатку за результатами дослідних даних одер­жав емпіричний вираз функції , а потім теоретично і формулу, відмовившись від усталеного положення класичної фізики, що енергія будь-якої системи змінюється неперервно. При цьому він основувався на таких припущеннях:

· випромінювання є результатом коливання атомних лінійних вібраторів, які збуджують електромагнітні хвилі будь-яких частот подібно до вібраторів Герца;

· вібратор випромінює енергію не безперервно, а певними порціями – квантами;

· енергія кванта, яка ви­промінюється вібратором, залежить від частоти випромінювання.

Згідно з гіпотезою Планка атомні осцилятори випромінюють енергію не безперервно, а певними порціями – квантами: енергія кванта

,

де = 6,625·10^-34 Дж·с – стала Планка.

При цьому енергія осцилятора може приймати лише певні дискретні значення, які кратні цілому числу елементарних порцій енергії :

,

Формула Планка має такий вид:

.

Враховуючи, що (; ),

отримаємо

.

Зазначимо, що формула Планка блискуче узгоджується з дослідом.

Оскільки формула Планка справедлива для будь-яких частот і тем­ператур, то з неї можна вивести всі відомі закони випромінювання абсолютно чорного тіла (закон Стефана – Больцмана, закон зміщення Віна та ін.).

ЛЕКЦІЯ 22

Квантова теорія атома водню.

Розвиток теорії Бора. Атоми із багатьма електронами

1. Спектр випромінювання атома водню. Серіальна формула

Наведемо спочатку визначення понять атома таі іона.

Атом називається якнайменша частинка речовини, що має всіма хімічними властивості даного хімічного елемента. До складу атома входить позитивно заряджене ядро і електрони, що рухаються в електричному полі ядра. Заряд ядра Ze (Z – порядковий номер в системі Менделєєва; e – елементарний заряд) по абсолютній величині дорівнює сумарному заряду всіх електронів атома.

Іоном називається електрично заряджена частинка, яка утворюється при втраті або придбанні електронів атомом або молекулою.

Атом водню є найпростішим атомом. Він складається з одного протона в ядрі і одного електрона, що рухається в кулонівському електричному полі ядра. Воднеподібними іонами є іони Не⁺, Li⁺⁺, Ве⁺⁺⁺ і т. д., що мають ядро із зарядом Ze і один електрон.

Перша спроба створення моделі атома на основі накопичених експериментальних даних належить Дж. Дж. Томсону (1903 р.). Згідно з цією моделлю атом являє собою неперервно заряджену позитивним зарядом кулю радіусом порядка 10 ^–10 м, всередині якої навколо своїх положень рівноваги коливаються електрони; сумарний від'ємний заряд електронів дорівнює позитивному заряду кулі, тому атом в цілому нейтральний. Через декілька років дослідами Резерфорда по розсіюванню -часток в речовині було доведено, що уявлення про те, що позитивний заряд неперервно розподілений всередині атома, є помилковим.

На основі своїх досліджень Резерфорд в 1911 р. запропонував ядерну (планетарну) модель атома. Згідно з цією моделлюнавколо позитивного ядра із зарядом Ze, розміром 10^–15 – 10^–14 і масою, яка практично дорівнює масі атома, в області з лінійними розмірами порядка 10^–10 м по замкненим орбітам рухаються електрони, що утворюють електронну оболонку атома. Оскільки атоми нейтральні, то заряд ядра дорівнює заряду електронів, тобто навколо ядра обертається Z електронів(Z – порядковий номер в системі Менделєєва).

Для простоти припустимо, що електрон рухається навколо ядра по круговій орбіті радіуса . При цьому кулонівська сила взаємодії між ядром і електроном надає електрону доцентрове прискорення. На основі другого закону Ньютона для електрона, що рухається навколо ядра по круговій орбіті під дією кулонівської сили, матимемо

,

де і – маса і швидкість електрона на орбіті радіуса ; – електрична стала.

Ця умова містить дві невідомі: і . Отже, величини і (а також і енергія) можуть змінюватись неперервно, тобто спектри атомів мають бути суцільними. Проте атоми мають лінійчасті спектри. Тому модель атома Резерфорда протирічила дослідним даним. Подолання труднощів, що виникли, затребувало створення якісно нової – квантової – теорії атома.

Перейдемо до розгляду лінійчастого спектру атома водню.

Зазначимо, що дослідження спектрів випромінювання розріджених газів (тобто спектрів випромінювання окремих атомів) показали, що кожному газу притаманний свій лінійчастий спектр, який складається з окремих спектральних ліній чи груп близько розташованих ліній.

Спектр випромінювання водню є його найважливішою оптичною властивістю. Частоти ліній в дискретному лінійчатому спектрі атома водню описуються емпіричною формулою Бальмера — Рідберга:

,

де – постійна Рідберга. Цілі числа і називаються головними квантовими числами, причому і т.д.

Група ліній з однаковими називаєтьсясерією. Серії ліній водневого спектру: – серия Лаймана; – серія Бальмера; – серія Пашена; – серія Брекета; – серія Пфунда; – серія Хемфрі.

Спектр водню (а також енергетичні рівні його атомів) вперше були пояснені за допомогою постулатів Бора.

2. Постулати Бора. Борівська теорія атома водню

Перший постулат Бора(постулат стаціонарних станів): в атомі існує набір стаціонарних станів, перебуваючи в яких атом не випромінює електромагнітних хвиль.

Стаціонарним станам відповідають стаціонарні орбіти, по яких прискорено рухаються електрони, проте випромінювання світла при цьому не відбувається.

В стаціонарному стані атома електрон, рухаючись по круговій орбіті, повинен мати дискретні квантові значення моменту імпульсу, що задовольняють умові:

, ,

де – маса електрона; – швидкість електрона по -ій орбіті радіуса ; .

Другий постулат Бора(правило квантування орбіт, або правило частот): при переході електрона з однієї стаціонарної орбіти на іншу орбіту випромінюється (поглинається) один фотон з енергією

,

яка дорівнює різниці відповідних стаціонарних станів (– відповідно енергії стаціонарних станів атома до і після випромінювання (поглинання).

При відбувається випромінювання фотона (перехід атома із стану з більшою енергією в стан з меншою енергією, тобто перехід электрона з більш видаленої від ядра орбіти на більш близьку; при – поглинання фотона (перехід атома в стан з більшою енергією, тобто перехід електрона на більш віддалену від ядра орбіту).

Набір можливих дискретних частот

квантових переходів визначає лінійчастий спектр атома.

ЛЕКЦІЯ 23

3. Квантово-механічний опис атома водню

Розв'язок задачі про енергетичні рівні електрона для атома водню зводиться до задачі про рух електрона в кулонівському полі ядра.

Потенційна енергія взаємодії електрона з ядром, що має заряд Ze (для атома водню Z = 1)

,

де – відстань між електроном і ядром.

Графічно функція показана у вигляді жирної кривої на рис. 22.1. З графіка цієї функції видно, щоіз зменшенням (при наближенні електрона до ядра)необмежено спадає.

Стан електрона в атомі водню описується хвильовою функцією , яка задовольняє стаціонарному рівнянню Шредінгера:

,

де m – маса електрона; Е – повна енергія електрона в атомі.

Оскільки поле, в якому рухається електрон, є центральносиметричним, то для розв'язку цього рівняння слід скористатись сферичною системою координат .

З розв'язку цієї задачі (який тут не наводиться) випливають результати, які стосуються енергії та квантових чисел.

Результати щодо енергії такі.

Енергія. В теорії диференціальних рівнянь доводиться, що рівняння такого типу мають розв'язки, що задовольняють вимогам однозначності, скінченності і неперервності хвильової функції лише при таких власних значеннях:

,

тобто для дискретного набору від'ємних значень енергії.

Таким чином, як і у разі "потенціальної ями" з нескінченно високими "стінками" і гармонічного осцилятора, розв'язок рівняння Шредінгера для атома водню приводить до появи дискретних енергетичних рівнів.

Можливі значення показані на рис. 30.1 у вигляді горизонтальних прямих. Самий нижній рівень , який відповідає мінімальній можливій енергії, – основний, всі інші 1, 2, 3, ...) – збуджені. При рух електрона є зв'язаним – він перебуває усередині гіперболічної "потенціальної ями". У міру зростання головного квантового числа енергетичні рівні розташовуються тісніше і при . При рух електрона є вільним; область неперервного спектру (заштрихована на рис. 30.1) відповідає іонізованому атому. Енергія іонізації атома водню дорівнює

.

Рис. 22.1

4. Квантові числа: головне, орбітальне і магнітне квантові числа.

Правила відбору

В квантовій механіці доводиться, що наведеному вище рівнянню Шредінгера задовольняють власні функції , які визначаються трьома квантовими числами: головним , орбітальним і магнітним .

Головне квантове число визначає енергетичні рівні електрона в атомі і може приймати будь-які цілочисельні значення починаючи з одиниці: 1, 2, 3, ...

З розв'язку рівняння Шредінгера витікає, що момент імпульсу (механічний орбітальний момент) електрона квантується, тобто не може бути довільним, а приймає дискретні значення, які визначаються формулою

,

де – орбітальне квантове число, яке при заданому приймає значення

0,1,..., (–1),

тобто всього значень, і визначає момент імпульсу електрона в атомі.

З розв'язку рівняння Шредінгера випливає також, що вектор моменту імпульсу електрона може мати лише такі орієнтації в просторі, при яких його проекція на напрям зовнішнього магнітного поля приймає квантовані значення, кратні :

де – магнітне квантове число, яке при заданому може приймати значення

,