Метод моментів полягає в наступному: будь-який момент випадкової величини Хk (наприклад, k-й) є функція від параметра q. У свою чергу, параметр q є функція (зворотна, якщо існує) від теоретичного k-ro моменту. Підставивши в цю функцію замість невідомого теоретичного k-ro моменту його вибірковий аналог, дістанемо замість параметра q оцінку q*.
Отже, нехай X1,..., Хп вибірка об'єму п з параметричного сімейства розподілів ¦q, де q Î Q. Нехай
причому функція h оборотна. Тоді як оцінка в* для в беремо рішення рівняння
Або (що те ж саме), спочатку вирішується рівняння (3) відносне q, а потім замість істинного моменту беремо вибірковий:
Можна сказати, що ми беремо як оцінка таке (випадкове) значення параметра q, при якому істинний момент співпадає з вибірковим.
Приклад 4Нехай Х1,...,Хп— вибірка об'єм п, весь Xi Î U0,q, де q > 0. Знайдемо оцінку метода момента (ОММ) по перший моменту:
Знайдем оцінку метода моментів (ОММ) по k-му моменту:
2. Помітити, що по ЗБЧ (або по лемме 3 — тільки для тех, хто ее доводити) при п ®¥
3. Оскільки функція безперервний для весь у > 0, то при п ®¥
Вправа.Навіщо потрібен посилання на безперервність функція ?
Тобто вся послідовність
складається з спроможних оцінок, при цьому
тільки оцінка q1* = 2Х — незміщена.
Зауваження7 Може траплятися так, що оцінка q* Ï Q_, тоді як q Î Q. В цей випадок в якість оцінка берет найближчий к q* точка из Q, на худий кінець — з замикання Q, якщо Q не замкнутий.
Приклад 5прикладПусть X1,..., Хп— вибірка об'єм п, весь XiÎNa,1, де по який-то причина а ³_ 0. Шукати оцінка для а по перший момент:
Однак по умові а ³ 0, тоді як X може бути і негативний. Зрозумілий, що якщо X < 0, то в якість оцінка для позитивного парметру а більше підійти 0. Якщо же X > 0, в якість оцінка треба брати X. Разом: а* = max{0, X} — оцінка метод момент.