• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Перетин прямого кругового конуса площиною

При перетині поверхні конуса обертання площиною можна одержати всі види кривих другого порядку (конічні перетини): еліпс,якщо січна площина не паралельна ні однієї з його утворюючих, тобто перетинає всі утворюючі; окремий випадок еліпса – коло; параболу,якщо січна площина паралельна тільки однієї утворюючої; гіперболу,якщо січна площина паралельна двом утворюючим, зокрема, коли січна площина паралельна осі обертання конуса .

Якщо січна площина проходить через вершину конуса, то в перетині виходить пара прямих. Якщо січна площина перпендикулярна до осі обертання конуса, то в перетині виходить коло.

а б

Рис.110 - Перетин прямого кругового конуса

На рис.110 дані комплексні креслення перетину прямого кругового конуса обертання: а – січна площина δ проходить через вершину; б – січна площина λ перпендикулярна до осі обертання.

Перетин конуса. Побудова проекцій лінії перетину поверхні конуса обертання із фронтально проектуючою площиною δ. Уцьому випадку фронтально проектуюча площина δ перетинає всі утворюючі конуса, отже, фігурою перетину буде еліпс(рис.111).Фронтальна проекція A₂B₂, еліпса зливається із проекцією δ₂ площини δ, тобто відрізком прямої A₂B₂, у межах фронтальної проекції конуса. Більша вісь АВ еліпса паралельна площині П₂ (є фронталью), тому не викривлюється при проектуванні на площину П₂. Вона дорівнює фронтальній проекції A₂B_2. Горизонтальна проекція буде еліпсом. Мала вісь CD еліпса є фронтально проектуючою прямою (перпендикулярною до площини П₂), вона проектується на площину П₂ у точку D₂=O₂=C₂, що розділяє відрізок A₂B₂ (більшу вісь) навпіл (точка О₂ – центр еліпса), і на площину П₁, проектується без перекручування.

Рис.111 - Перетин поверхні конуса із фронтально проектуючою площиною

Щоб побудувати горизонтальну проекцію С1D1 малої осі, проводять пряму через точку О2, приймаючи її за фронтальну проекцію п2 паралелі. Потім будують її горизонтальну проекцію п1 (коло) і на ній знаходять горизонтальну проекцію С1D1 малої осі еліпса. Хорда С1D1 є малою віссю еліпса в її натуральну величину. Точки А2 В2, С1 D1 – характерні точки. Горизонтальну проекцію еліпса-перетину будують по проекціях його осей A1B1 і С1D1. Натуральний вид еліпса будують по відомих його осях (більша вісь дорівнює А2В2 мала – С1D1).

Побудова розгорнення прямого кругового конуса, на бічній поверхні якого лінія перетину еліпс. Припустимо, що конічна поверхня розрізана по утворюючій, що проходить через точку А рис.112.

Будують повне розгорнення прямого кругового конуса. Розділяють горизонтальну проекцію основи конуса на рівні частини, наприклад на вісім (у даному прикладі через симетричність фігури розділена половина основи).

Проводять утворюючі на фронтальній проекції конуса і на його бічному розгорненні. Визначають натуральні відстані точок А, М, N, ..., В від основи конуса. Для цього кожну точку фронтальної проекції еліпса переміщають паралельно осі х₁₂ на утворюючу S₂5₂ конуса, що є натуральною величиною, одержують частини утворюючих 5₂А₂ 5₂М₂ 5₂N₂, які переносять на утворюючі бічного розгорнення, одержують точки А₀, M₀, E₀, .. – лінії перетину; потім точки А₀, M₀, E₀, ... з'єднують кривою лінією, одержують розгорнуту лінію перетину.

Рис.112 - Розгортка прямого кругового конуса

Добудувавши натуральну фігуру перетину і основу конуса, одержують повне розгорнення нижньої частини усіченого конуса обертання.

7.5 Перетин поверхні кулі площиною

Рис.113 - Перетини поверхні кулі площинами рівня

Площина перетинає поверхню кулі по колу. При перетині поверхні кулі площинами рівня, проекція лінії перетину на одній площині проекцій є відрізком прямої, яка збігається із проекцією площини, а на іншій – колом(рис.113).

Якщо поверхня кулі перетинає проектуюча площина, то одна проекція лінії перетину буде відрізком прямої, а інша - еліпсом.

Перетин поверхні кулі із фронтально проектуючою площиною δ (рис.114 ).

Рис.114 - Перетин поверхні кулі із фронтально проектуючою площиною

Лінія перетину – коло, фронтальна проекція якого збігається із проекцієюδ2 площини δ, тобто відрізок А2В2 прямої АВ у межах фронтальної проекції кулі. Побудова горизонтальної проекції – еліпса починають із опорних точок. Сама вища точка фігури перетину – точка А(А1 А2), сама нижча точка – B(B1 B2). Горизонтальна проекція А1B1 відрізка АВ – мала вісь еліпса. Середина фронтальної проекції А2В2 – точка О2 -є фронтальною проекцією центра кола лінії перетину. Відрізок А2В2 – натуральна величина D1, діаметра кола перетину. Натуральний вид фігури

перетину може бути побудований як коло з діаметром D₁, без додаткових побудов.

Горизонтальна проекція О₂ визначається за допомогою вертикальної лінії зв'язку. Горизонтальна проекція С₁D₁, великої осі еліпса дорівнює діаметру D₁ На напрямку вертикальної лінії зв'язку від точки О₁, відкладають відрізки А₂О₂ = О₂В₂, одержують проекцію С₁D₁), – великої осіеліпса. Маючи осі еліпса, його можна побудувати.

Потім будують проекції точок Е і F видимості, які розділяють горизонтальну проекцію еліпса на видиму й невидимучастини. Фронтальні проекції Е₂ іF₂ цих точок знаходяться у перетині проекції δ₂ площини δ з проекцією Эк₂ екватора, а горизонтальні проекції Е₁ і F₁, на горизонтальній проекції Эк₁, екватора. У точках Е₁ і F₁, еліпс повинен торкатися горизонтальної проекції екватора. Можна додатково побудувати проміжні точки, наприклад М і N, за допомогою паралелі n. Побудова на комплексному кресленні показана лініями із вказівкою напрямку стрілками.

7.6 Знаходження точок перетину прямої лінії з геометричними тілами

При перетині прямої з будь якою поверхнею поступають наступним чином:

Рис.115 – Перетин прямої з пірамідою

- проводять через дану пряму допоміжну січну площину(рис.115);

- будують лінію перетину допоміжної площини з даною поверхнею;

- визначають точки перетину отриманої лінії перетину з даною прямою, зазвичай в якості допоміжної площини приймають проецюючу площину. Тому що в цьому випадку побудова лінії перетину поверхні значно спрощується та отримують прості перетини.

8 ПОБУДОВА ЛІНІЇ ВЗАЄМНОГО ПЕРЕТИНУ ГЕОМЕТРИЧНИХ ТІЛ

Конструкція деталей є сполученням різних геометричних поверхонь – призматичних, пірамідальних, циліндричних, конічних та ін. При перетині таких поверхонь виходять плоскі або просторові криві або ламані лінії.

Для побудови таких ліній перетину поверхонь варто знаходити точки, одночасно приналежні пересічним поверхням. У загальному випадку для побудови цих точок застосовують спосіб поверхонь-посередників. Дані поверхні перетинають допоміжною поверхнею-посередником, одержують лінії перетину посередника з кожною поверхнею. Перетини цих ліній дають загальні точки, що належать лінії перетину.

Загальна лінія перетину має характерні (опорні) точки, з них і варто починати побудову лінії перетину. До цих точок відносяться: точки, розташовані на контурних утворюючих поверхонь, що визначають границі видимості; крайні точки лінії перетину; крайні праві й ліві, найвищі й найнижчі. Всі інші точки перетину є проміжними.

Основні способи побудови ліній перетину поверхонь. У більшості випадків як поверхні-посередники застосовують або площини, або сфери. У результаті одержують два основних способи: спосіб допоміжних площині спосіб допоміжних сфер.

Спосіб допоміжних сфер має два випадки:

– перший випадок, коли сфери мають один загальний центр, він називається способом концентричних сфер;

– другий випадок, коли сфери мають різні центри, він називається способом ексцентричних сфер.

Розглянемо перший випадок, як найбільше часто застосовуваний. Спосіб паралельних допоміжних площин застосовують тоді, коли допоміжні паралельні площини, перетинаючи поверхні, дають у перетині поверхонь такі лінії, як прямі й коло.

Спосіб концентричних допоміжних сфер застосовують тоді, коли осі поверхонь обертання перетинаються і паралельні однієї із площин проекцій.

8.1Знаходження лінії взаємного перетину поверхонь багатогранників

Перетин поверхонь багатогранників дає ламані лінії, які є відрізками лінії перетину граней одного багатогранника з іншим. Положення одного багатогранника стосовно іншого може бути досить різноманітним. Залежно від цього і різні лінії перетину. У тому випадку, якщо один багатогранник «проходить» скрізь інший, такий перетин називають

повним перетином, у результаті виходять дві замкнуті плоскі ламані лінії перетину (рис.115а ).

У тому випадку, якщо один багатогранник як би «врізається» в інший, не перетинаючи всю її поверхню (рис.115б) , такий перетин називають неповним перетином, у результаті одержують одну замкнуту просторову ламану лінію перетину.

а б

Рис.115 – Перетин призматичної та пірамідальної поверхонь

Побудова лінії взаємного повного перетину призматичної і пірамідальної поверхонь. У цьому випадку повний перетин поверхонь. Неправильна трикутна піраміда як би «входить» в одну грань призми по трикутнику DEF і «виходить» із призми по трикутнику ABC в іншу грань. У перетині виходять дві плоскі замкнуті ламані лінії (трикутники). Бічні грані призми є горизонтально проектуючими. Тому горизонтальні проекції А₁ В₁ С₁ і D₁ Е₁ F₁ точок перетину ребер трикутної піраміди з бічними гранями призми вже визначені. Користуючись вертикальними лініями зв'язку, знаходять їхні фронтальні проекції А₂, В₂, С₂ і D₂, E₂, F₂. Потім точки А_2, В₂, С₂ і D₂, Е₂, F₂ з'єднують суцільними лініями, як видимі ділянки лінії перетину, а точки А₂, С₂ і Е₂, F₂ штриховими – як невидимі. Одержують фронтальні проекції двох плоских ліній перетину.

Побудова лінії взаємного неповного перетину призматичної та пірамідальної поверхонь. У цьому випадку – неповний перетин поверхонь. Неправильна трикутна піраміда тільки двома бічними ребрами S₂ і S₃ перетинає бічні грані призми, а правильна трикутна призма тільки одним бічним ребром п перетинає дві бічні грані піраміди. У перетині – одна просторова замкнута ламана лінія. Бічні грані призми, як і в першому прикладі, є проектуючими. Горизонтальні проекції А₁ С₁, і G₁ E₁ точок перетину бічних ребер S2 і S3 піраміди із гранями призми на площині П₁, уже визначені. Їхні фронтальні проекції А₂, С₂ і G₂ Е₂ одержують, використовуючи вертикальні лінії зв'язку. Для визначення проекцій точок перетину ребра призми п із гранями піраміди вводять площину-посередник – горизонтально проектуючу площину δ, що проходить через ребро n призми.

Площина δ перетинає бічні грані піраміди по двох прямих Sm і Sk. Фронтальні проекції S₂m₂ і S₂k₂ цих прямих перетинають фронтальну проекцію п₂ ребра призми в точках В₂ і F₂, які є фронтальними проекціями перетину ребра п призми із гранями піраміди. Потім фронтальні проекції точок, розташовані на гранях призми і піраміди, з'єднують прямими лініями, наприклад точку А₂ із точкою В₂, точку В₂ із точкою С₂ і т.д. Одержують фронтальну проекцію лінії перетину. Причому ділянки А₂В₂, В₂С₂ і G₂F₂, F₂Е₂ проекції ламаної лінії перетину, як розташовані на видимих гранях призми й піраміди, зображують суцільними товстими лініями, як видимі, а ділянки A₂G₂ і C₂E₂, розташовані на невидимих гранях призми й піраміди – штриховими лініями, як невидимі.

Горизонтальні проекції В₁ і F₁ зливаються із проекцією n₁, ребра призми.

8.2 Знаходження лінії взаємного перетину поверхонь обертання

Взаємно перетинаючись, дві поверхні обертання в загальному випадку утворять просторові криві лінії (точки яких не розташовані в одній площині). При деяких умовах в окремих випадках лінії перетину можуть бути плоскими кривими (еліпси, коло), а іноді навіть прямими лініями.

Спосіб допоміжних січних площин.Допоміжні площини-посередники варто брати такі, які в перетині з поверхнями давали б прості й зручні в графічному відношенні лінії, тобто коло й прямі.

У більшості випадків для побудови лінії перетину як площини-посередників застосовують площини рівня, як горизонтальні так і фронтальні. При виконанні побудови ліній перетину завжди варто починати з визначення опорних точок і точок видимості.

Побудова ліній перетину поверхонь двох кругових циліндрів, осі обертання яких перетинаються під кутом 90°.

Будують профільну проекцію горизонтального циліндра. Визначають проекції опорних точок: А(А₁ А₂, А₃) – вищої; В(В₁ В₂, В₃) – нижчій; D(D₁ D₂, D₃) – передньої й С(С₁ С₂, С₃) – задньої (рис.116 ).

Рис.116 – Перетин двох кругових циліндрів

Вводять дві паралельні площини-посередники μ і μ₁, фронтальних площин рівня. Вони перетнуть вертикальний циліндр по утворюючій 1₂ =2₂ і горизонтальний – по утворюючій 3₂ = 4₂, 5₂ = 6₂. Перетин отриманих проекцій утворюючих визначає фронтальні проекції N₂F₂ видимих точок N, F і проекції К₂,Е₂ невидимих точок К, Е. Потім точки А₂, N₂, D₂, E₂, D₂ з'єднують суцільною товстою кривою лінією, вона є фронтальною проекцією видимої частини лінії перетину й сполучиться із проекцією А₂К₂С₂Е₂ симетричній частини лінії переходу, розташованої за загальною площиною симетрії (рис.116). Горизонтальна проекція лінії перетину зливається з горизонтальною проекцією вертикального циліндра, а профільна – із профільною проекцією горизонтального циліндра.

8.3 Знаходження лінії взаємного перетину багатогранників та

Читайте також:

1. Аналітичний розрахунок сумарного завантаження типових перетинань
2. Взаємний перетин геометричних тіл
3. Визначення: Площина, що проходить через дотичну й головну нормаль до кривої в точці А називається дотичною площиною.
4. Виробництво мочених виробів методом прямого, багатократного макання форм в латексні композиції без застосування коагуляцій
5. Відмінність непрямого умислу від прямого.
6. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
7. Властивості прямого перетворення за Лапласом
8. Галузі, на перетині яких розвивається інформаційний менеджмент
9. Діагностика зовнішнього середовища непрямого впливу
10. Елокуція ти прийоми непрямого мовленнєвого впливу.
11. Закон розподілу швидкостей по перетину круглої труби при ламінарному режиму течії рідини.
12. Збирання схеми прямого пуску трифазного двигуна.

Переглядів: 2926