• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Неперервні випадкові величини

ІІ модель розподілу Пуасона.

Розглянемо додатну числову вісь, на якій відмічаємо випадковий потік подій – це випадковим чином поява подій у часі. На відміну від першої моделі Пуасона, тут з’являється додаткова умова(*): кожна наступна подія випадково з’являється у часі, але не раніше, ніж з’явилися попередні події. На розподіл Пуасона накладаються умови:

1) Стаціонарність

2) Ординарність

3) Безпіслядія.

Розглянемо числовий відрізок довжини . Ймовірність того, що на часовому відрізку з’явились подій дорівнює

, де , . Тобто додаткова умова(*) не впливає на кінцевий резльтат.

У незалежних випробуваннях Бернуллі подія з’явиться разів, причому

– кількість випробувань дуже велике число

– ймовірність дуже мале число, так щоб – не астрономічно велике.

Якщо – астрономічно велике, то за допомогою навіть суперсучасних комп’ютерів перетворити цей вираз у число неможливо, так як ! неможливо підрахувати, тому у якості наближення цього числа інженер бере:

ІІ модель розподілу Пуасона зветься законом рідких явищ.

Обґрунтування застосування формули Пуасона

Примітка! і – конкретні відомі нам числа. Залишаючи без зміни , спрямуємо до . Отримаємо числову послідовність, яка має границю: (див. Першу модель Пуасона, де ). Пригадаємо одне з означень теорії границь. Нехай числова послідовнсть має границю Це означає, що належить цьому околу. Якщо – кількість випробувань дуже велике число, то можемо припустити, що все це дорівнює дуже малому околу.

Простором елементарних подій неперервної випадкової величини є всі числа числової осі чи відрізок (відрізки) числової осі.

Як розглядалось в прикладі ( кидання навмання голки в пів інтервал ) ймовірність будь-якого числа, яке теоретично може настати в результаті випробування тотожно рівна 0. Таким чином виникає ситуація, коли з’являються елементарні чи складні події, що мають ймовірність настання 0, а теоретично можуть настати, і навпаки: є події, які мають ймовірність наставання 1, а теоретично можуть не настати. (Наприклад, від всіх чисел числової осі викинути всі раціональні числа).

Всі граничні теореми теорії ймовірностей і деякі просто результати гарантуються з ймовірністю 1, чи їх не наставання з ймовірністю 0. Як розв’язати це протиріччя між математичною теорією ймовірностей і інженерним трактуванням?

,

Як і для будь-якої випадкової величини, так і для неперервної випадкової величини функція розподілу.

її властивості збігаються з властивостями для дискретної випадкової величини, крім однієї: функція розподілу неперервної випадкової величини є неперервною функцією. Таким чином, якщо випадкова величина є неперервною, то нульова ймовірність наставання може бути лише у складних подій, що є нескінченно незліченою множиною чисел.

Неперервна випадкова велична зветься абсолютно неперервною (далі в курсі просто неперервною), якщо існує така числова скалярна функція дійсного аргументу , що належить класу неперервних функцій чи кусково-неперервних з обмеженою кількістю розривів І роду, яка задовольняє наступну інтегральну рівність:

Ця функція зветься функцією щільності (функцією густини). Прикладом неперервної випадкової величини, що не є абсолютно неперервною є сума неперервної випадкової величині і дискретної випадкової величини.

Властивості функції щільності

1)

2) , тому що функція розподілу є монотонно неспадна.

3) Нехай на відрізку функція щільності є неперервною функцією, тоді рівність еквівалентна , в тих точках, в яких ця похідна існує.

4) Якщо існує похідна від функції розподілу, то має місце наступна рівність:

Доведення:

(використана відповідна властивість функції розподілу)

Примітка! В цьому виразі в якості не лівий кінець цього відрізка, а будь-яке число цього відрізка. При цьому зміниться лише конкретний вигляд нескінченно-малої функції

Приклади неперервних випадкових величин:

1) Рівномірний розподіл.

Неперервна випадкова величина рівномірно розподілена на відрізку , якщо ї функція щільності наступна:

.

Знайдемо константу

2) Експонційний розподіл

Самостійно перевірити, що

Математичне сподівання від неперервної випадкової величини

Нехай неперервна випадкова функція дійсного аргументу є неперервна випадкова величина, у якої відома функція щільності . Розглянемо випадкову величину .

Наприклад,

ш

Математичним сподіванням зветься

Обґрунтування цієї формули.

Ми знаємо, що якщо дискретна випадкова велична задається табличкою

, то (для спрощення вважаємо, що є неперервної на всій числовій осі.). Усю числову вісь розіб’ємо на відрізки довжини , – мале число. – лівий кінець і-ого відрізка для будь-якого і від до . І замінимо неперервну випадкову величину дискретною випадковою величиною наступним чином:

якщо неперервна випадкова величина настала в і-ий відрізок, то прийняла значення . Чим менше , тим краще апроксимує , при . переходить в .

Табличка для задається:

Неперервна випадкова велична , що дорівнює замінюється дискретною випадковою величиною

Так як – неперервна числова скалярна функція дійсного аргументу , то для малих аргументу , то тим краще апроксимує . Якщо переходить в .

Знайдемо математичне сподівання для .

(використана формула див. «початкові та центральні моменти дискретної випадкової величини»).

Якщо цей інтеграл існує, то дорівнює вищевказаному інтегралу (обмежений по модулю).

Математичним сподіванням неперервної випадкової величини зветься

Початковим моментом -ого порядку зветься

Показати самим, що всі властивості початкових моментів, включаючи такі самі як і у дискретних випадкових величин.

Центральним моментом -ого порядку випадкової величини зветься

Дисперсією випадкової величини зветься її другий центральний момент

Довести самим, що всі властивості дисперсії випадкової величини, а саме:

1) , то

2)

3)

Читайте також:

1. Абсолютні і відносні величини
2. Абсолютні і відносні статистичні величини
3. Абсолютні, відносні та середні величини.
4. Багатовимірні випадкові величини. Система двох випадкових величин
5. Векторні і скалярні величини
6. Векторні і скалярні величини
7. Величини ліміту каси підприємства за три місяці
8. Величини.
9. Ве­личи­ни та її вла­с­ти­во­с­ті. Дискретні випадкові величини та їх розподіли
10. Видатки та заощадження як функції доходу. Автономні величини та їх чинники. Крива планових видатків.
11. Визначення величини зносу направляючих.
12. Визначення величини одноденних витрат окремих видів матеріальних цінностей (у натуральному і грошовому виразі).

Переглядів: 1489