• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Щільність f(x, y) імовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y), та її властивості

Характеристикою системи неперервних випадкових величин є щільність імовірностей.

Для визначення щільності ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) застосовується формула (18).

Розглянемо прямокутник зі сторонами Dх та Dу (рис. 5).

Рис. 5

Імовірність розміщення системи (Х, Y) у прямокутній області
(x < X < x + Dx, y < Y < y + Dy) обчислюється за формулою

P(x < X < x + Dx, y < Y < y + Dy) =
= F(x + Dx, y + Dy) + F(x, y) – F(x + Dx, y) – F(x, y + Dy).

Поділивши цю ймовірність на площу прямокутника Dx, Dy і спрямувавши Dx ® 0, Dy ® 0, дістанемо ймовірність у точці, тобто щільність:

Отже,

(19)

Функція f (x, y) може існувати лише за умови, що F (x, y) є неперервною за аргументами х і у та двічі диференційовною.

Функції f (x, y) у тривимірному просторі відповідає певна поверхня — так звана поверхня розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y).

Тоді f (x, y) dxdy — імовірність розміщення системи двох випадкових величин у прямокутнику зі сторонами dx, dy.

Властивості f (x, y)

1. Функція f (x, y) ³ 0, оскільки F(x, y) є неспадною відносно аргументів х і у.

2. Умова нормування системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) така:

(20)

Якщо , то (131) набирає такого вигляду:

. (21)

3. Імовірність розміщення системи змінних (х, у) в області обчислюється так:

(22)

Імовірність розміщення системи змінних (х, у) у прямокутній області D = (a < x < b, c < y < d)

(23)

4. Функція розподілу ймовірностей системи двох змінних визначається з рівняння

(24)

5. Якщо , то (25)

Приклад 5. Задано

f (x, y) = a, якщо (x, y) Î W, a = const;

f (x, y) = 0, якщо (x, y) Ï W,

де W = (–2 £ x £ 4, –3 £ y £ 5).

Знайти a і F(x, y). Обчислити P(–1 < x < 2, –2 < y < 3).

Розв’язання. Множина W зображена на рис. 6.

Рис. 6

Для визначення а застосовуємо умову нормування (20):

,

де .

Отже, маємо

f (x, y) = 1/48, якщо (x, y) Î W,

f (x, y) = 0, якщо (x, y) Ï W.

Згідно зі (136) при –2 < x < 4, –3 < y < 5 дістанемо:

Якщо –2 < x < 4, y > 5, то

Якщо x > 4, – 3 < y < 5, то

Звідси

7. Основні числові характеристики для системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y)

Якщо, то виконуються співвідношення:

Якщо , то маємо:

8. Умовні закони розподілу для неперервних випадкових величин Х і Y, які утворюють систему (Х, Y) (на «5» балів)

Як і в системі двох дискретних випадкових величин, у системі двох неперервних випадкових величин розглядаються умовні закони розподілу.

Звідси

Умовні закони розподілу для неперервних випадкових величин Х, Y, що утворюють систему (Х, Y), визначаються умовними щільностями ймовірностей f (x / y), f (y / x):

.

Тому дістаємо

f (x, y) = f (x) f (y / x) = f (y) f (x / y).

Для умовних законів розподілу неперервних випадкових величин умова нормування має такий вигляд:

Якщо випадкові величини Х та Y є незалежними, то

f (x / y) = f (x), f (y / x) = f (y).

f (x, y) = f (x) f (y).

Для незалежних випадкових величин Х та Y виконується рівність

F(x, y) = F(x) F(y).

Числові характеристики для умовних законів розподілу ймовірностей:

9. Стохaстична залежність (на «5» балів)

Дві випадкові події називаються незалежними, якщо

, або F(x, y) = F(x) F(y).

Для неперервних випадкових величин Х і Y умовy незалежності можна подати через щільності ймовірностей:

f (x, y) = f (x) f (y).

Умову незалежності можна записати і так:

f (x / y) = f (x), f (y / x) = f (y).

Залежність випадкових величин у певному розумінні є узагальненням поняття функціональної залежності. Якщо в разі функціональної залежності між величинами Х та Y кожному значенню Х = х відповідає певне значення Y = у, то в разі залежності між випадковими величинами Y і Х кожному можливому значенню Х = х відповідає множина значень Y, які характеризуються умовними щільностями ймовірності f (y / x).

Отже, залежність між випадковими величинами означає аналітичну залежність щільності умовного розподілу однієї з них від значень, яких набуває друга величина. Таку залежність називають стохастичною або ймовірнісною. Виявляється вона не лише у зміні умовних законів розподілу, а й у зміні умовних числових характеристик: M (X / y), M (Y / x), D (X / y), D (Y / x), тобто умовних математичних сподівань та умовних дисперсій (рис. А—F).

Отже, рис. А, В ілюструють те, що кореляційною залежністю між випадковими величинами Y і Х є функціональна залежність умовних математичних сподівань М (X / у), М (Y / х) від аргументів у та х:

М (X / у) = a(у). М (Y / х) = b(х).

Ці рівняння називають рівняннями регресії. Якщо М (Y / х) = М (y), М (X / у) = М (х), то кореляційна залежність відсутня, але існує стохастична залежність (див. рис. С і D), оскільки змінюються умовні дисперсії. Випадок, коли між Х і Y відсутня стохастична, а отже, і кореляційна залежність, ілюструють рис. Е і F.

Отже, якщо між випадковими величинами Y і Х існує кореляційна залежність, то між ними обов’язково іcнує й стохастична залежність. Але за наявності стохастичної залежності між випадковими величинами Х і Y кореляційної залежності між ними може й не бути.

Читайте також:

1. I. Органи і системи, що забезпечують функцію виділення
2. I. Особливості аферентних і еферентних шляхів вегетативного і соматичного відділів нервової системи
3. II. Анатомічний склад лімфатичної системи
4. IV. Розподіл нервової системи
5. IV. Система зв’язків всередині центральної нервової системи
6. IV. Філогенез кровоносної системи
7. POS-системи
8. VI. Філогенез нервової системи
9. Абсолютна величина числа позначається символом .
10. Абсолютні і відносні величини
11. Абсолютні і відносні статистичні величини
12. Абсолютні, відносні та середні величини.

Переглядів: 1089