Ють граничне поло-ження MT січної MP , коли точка P , рухаю-чись по кривій прямує до точки M .

Розглянемо графік y=f(x). Візьмемо на графіку точку М(x,y) і другу точку

Р( x + x , y + y ). Про-

у					Т

					Р
	М φ				y
у			Q
		х
φ	α А			В
О						х
	х		х+ х
					Мал.1

ведемо січну МР і позначимо кут нахилу її до додатнього на-прямку осі Ox через ϕ . Позначимо кут, який утворює дотична

MT з додатнім напрямом осі 0 x черезα.

Якщо пересувати точку Р по кривій до точки М, то гра-ничним положенням січної МР буде дотична МТ до графіка в точці М. Як видно з

малюнка AM = f ( x ), BP = f( x + x ),

QP = BP − BQ = f ( x + x ) − f ( x ) = y; MQ = AB = x .

Отже, tgϕ =	QP	=	f ( x +	x ) − f ( x )	=	y	,

			MQ	x	x
а lim tgϕ = lim	y	= f ′( x ) = tgα.

x →0	x →0	x

Отже, похідна в даній точці x дорівнює тангенсові кута, утво-реного дотичною до графіка функції в точці M ( x , y ) з додатнім

напрямом осі Ox . Інакше, похідна в точці x дорівнює кутовому ко-ефіцієнту дотичної до графіка функції в точці ( x , f ( x )).

2.2. Дотична і нормаль до графіка функції Задача.Знайти рівняння дотичної і нормалі до кривої,заданої

рівнянням y = f ( x ) в точці з абсцисою x₀ .

Розв’язування.ТочкаMна кривій має координатиx=x₀y = y₀ = f ( x₀ ) .Кутовий коефіцієнт дотичної k = f ′( x₀ ). Викори-

ставши рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом на площині, що проходить через задану точку M , одержимо рівняння дотичної:

y − y₀ = f ′( x₀ )( x − x₀ ).

Нормаль до кривої в заданій точці перпендикулярна до дотичної, проведеної в цій точці. А тому кутовий коефіцієнт нормалі на основі умови перпендикулярності двох прямих

k_н =−

= −

. Отже, рівняння нормалі

f ′( x₀ )

k_д

y − y₀ =−

( x − x₀ ).

f ′( x₀ )

Приклад.Знайти рівняння дотичної і нормалі до параболи

y = x² в точці з абсцисою x = 2 .

Розв’язування. Похідна y′= 2 x ,

y′( 2 ) = 2 ⋅ 2 = 4.Знайдемо

ординату цієї точки

y( 2 ) = 2² = 4.

Рівняння дотичної

y − 4 = 4( x − 2 ) або y = 4 x − 4 .

Рівняння нормалі y − 4 = −

( x − 2 ) або y =−

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Геометричний зміст похідної	\|	Механічний зміст похідної

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.013 сек.