Ють граничне поло-ження MT січної MP , коли точка P , рухаю-чись по кривій прямує до точки M .
Розглянемо графік y=f(x). Візьмемо на графіку точку М(x,y) і другу точку
Р( x + x , y + y ). Про-
у
Т
Р
М φ
y
у
Q
х
φ
α А
В
О
х
х
х+ х
Мал.1
ведемо січну МР і позначимо кут нахилу її до додатнього на-прямку осі Ox через ϕ . Позначимо кут, який утворює дотична
MT з додатнім напрямом осі 0 x черезα.
Якщо пересувати точку Р по кривій до точки М, то гра-ничним положенням січної МР буде дотична МТ до графіка в точці М. Як видно з
малюнка AM = f ( x ), BP = f( x + x),
QP = BP − BQ = f ( x + x ) − f ( x ) = y; MQ = AB = x .
Отже, tgϕ =
QP
=
f ( x +
x ) − f ( x )
=
y
,
MQ
x
x
а lim tgϕ = lim
y
= f ′( x ) = tgα.
x →0
x →0
x
Отже, похідна в даній точці x дорівнює тангенсові кута, утво-реного дотичною до графіка функції в точці M ( x , y ) з додатнім
напрямом осі Ox . Інакше, похідна в точці x дорівнює кутовому ко-ефіцієнту дотичної до графіка функції в точці ( x , f ( x )).
2.2. Дотична і нормаль до графіка функції Задача.Знайти рівняння дотичної і нормалі до кривої,заданої
рівнянням y = f ( x ) в точці з абсцисою x0 .
Розв’язування.ТочкаMна кривій має координатиx=x0y = y0 = f ( x0 ) .Кутовий коефіцієнт дотичної k = f ′( x0 ). Викори-
ставши рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом на площині, що проходить через задану точку M , одержимо рівняння дотичної:
y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 ).
Нормаль до кривої в заданій точці перпендикулярна до дотичної, проведеної в цій точці. А тому кутовий коефіцієнт нормалі на основі умови перпендикулярності двох прямих
kн =−
= −
. Отже, рівняння нормалі
f ′( x0 )
kд
y − y0 =−
( x − x0 ).
f ′( x0 )
Приклад.Знайти рівняння дотичної і нормалі до параболи