Новини освіти і науки:

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Ренційовною в цій точці є їх алгебраїчна сума, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх похідних.

u ( x )

...

u ( x ) ^′

u′ ( x )

u′

( x )

...

u′ ( x ) .

[ ₁

] =

± ₂

Доведення.

Візьмемо

функцію

трьох

доданків

y = u₁( x ) + u₂ ( x ) − u₃ ( x ) .Надамо аргументу

x приріст x .Тоді

функція

y та її складові

u₁ ( x ),u₂ ( x ),u₃ ( x )

одержать відповідно

прирости

y ,

u₁ ,

u₂ ,

u₃ , причому

y =[u₁ ( x + x ) + u₂ ( x + x ) − u₃ ( x + x )]−−[u₁ ( x ) + u₂ ( x ) + u₃ ( x )]= u₁ + u₂ − u₃ .

Складемо відношення приросту функції

до приросту ар-

гументу

x і перейдемо до границі при умові,що

x → 0 .Викори-

ставши властивості границь і врахувавши,

що

похідні

функ-

ційu₁( x ),u₂( x ),u₃( x ) існують, одержимо

y′= lim

= lim

u₁ +

u₂ −

^u³ = lim

u₁

+ lim

u₂

− -

x→0 x

x→0

x→0 x

lim

u₃

u′

( x )

u′ ( x )

або

x →0

− ₃

u ( x ) ^′

u ( x )

−

u′ ( x )

u′ ( x ) ,

що

треба

[

]

⁺ 2

−

було довести.

ТЕОРЕМА 3. Якщо функції u=u( x ) і v=v( x )

диференційовні в точці

x ,то їх добуток диференційовний в цій

точці і має місце формула ( u⋅v )=u′v+v′u .

Доведення.Позначимо y = uv .Надамо приросту

аргументу х. Тоді функції и, v ,у одержать відповідно прирости

v ,

y ,

причому

y + y = ( u + u )( v + v ) = uv + uv + u v + u v .

Знайдемо приріст

y :

у = uv + uv + u v + u v − uv = uv + u v + u v .

Складаємо відношення приростів

= ^u v +

u + ^u v .

x → 0 ,використавши

Перейдемо до границі при умові , що

властивості границь і врахувавши, що функція

неперервна,

оскільки вона диференційовна, і тому

lim

v = 0 .

x→0

Отже,

lim

^u v + u

lim

u ₊

lim

v =

x→0 x

x→0 x x→0

= u′v + uv′ , а тому y′ = ( uv )′ = u′v + uv′ . Теорема доведена.

Наслідок 1.Сталий множник можна виносити за знак похід-

ної.

Доведення. (Cy)′= C′y + Cy′= Cy′,оскількиС′=0.

Наслідок 2.Похідна добутку декількох диференційованихфункцій дорівнює сумі добутків похідної кожної з цих функцій на всі решта функції співмножники.

Доведення проведемо для випадку трьох співмножників.

( uvw )′= ( uv )′w + uvw′= ( u′v + uv′ )w + uvw′= u′vw + v′uw + w′uv .

Приклад.Знайти похідну функціїy=xⁿ(	n −натуральне
число).
Розв’язування.
	xⁿ = x x x … x .
	n –раз
Використовуючи наслідок 2 , маємо
( xⁿ )′ =	x′xⁿ⁻ ¹ + x′xⁿ⁻ ¹ + ... + x′xⁿ⁻ ¹ = nxⁿ⁻ ¹ .
	n
Отже,	y′= nxⁿ⁻ ¹ .	(4.2)

ТЕОРЕМА 4. Якщо функції u=u( x ), v=v( x ) диференційовні в точці x , причому v( x )≠0 , то їх частка

також має похідну в цій точці, яка обчислюється за формулою:

u ^′

u′v − uv′

Доведення. Позначимо y =

. Надамо аргументу x приросту

x .Тоді u,v , y

одержать відповідно прирости

v , y ,причо-

му y + y =

u +

. Знайдемо приріст y :

v +

y =

u + u

−

uv + v u − uv − u v

₌ uv − u v _.

v + v v

v( v + v )

v ² + v v

^u ⋅ v − u

Складемо відношення приростів

v² + v

Перейдемо до границі при умові,

що

x → 0 ,

використавши

властивості границь і врахувавши, що функція v

неперервна, оскі-

льки вона диференційовна, і тому

lim

v = 0 .

x→0

				lim	^u ⋅ v − u lim	v			u′v − uv′
		y		x
Отже,	lim	=	x→0	x	x→0		=	,
	lim ( v² + v	v )			_v2
	x→0 x

x→0

а тому y′ = ^u^′^v ⁻ ^uv^′ . Теорема доведена.

v ²

Наслідок 3.Якщо знаменник дробу постійна величина,то

u ^′

u′

u ^′

u′c − uc′

u′c

u′

Дійсно,

c²

Наслідок 4.Якщо чисельник дробу–постійна величина,то

^′

c′v − cv′

= −

cv′

v²

Зокрема, при с = 1 маємо

′

v′

= −

v²

Наслідок 5.(похідні функцій

y = tgx , y = ctgx ).

Справедливі формули:

( tgx )′=

x ≠^π+πn ;

( ctgx )′=−

, x ≠ πn .

cos² x

sin² x

Доведення.

^′

sin x

(sin x )′ cos x − sin x(cos x )′

( tgx )′=

cos² x

cos x

cos x ⋅ cos x − sin x( − sin x )

cos²

x + sin² x

;

cos

² x

cos² x

cos²

( ctgx )′=

cos x ^′

(cos x )′ sin x − cos x(sin x )′

sin² x

sin x

₌− sin x sin x − cos x cos x ₌₋

, що треба довести.

sin² x

Приклади.

1.Знайти похідні функцій:

а) y = 5 x⁴ − 2 x³ + x² − 4 x + 10 .

Розв’язування. Використовуючи послідовно теорему2,наслідок 1 і формулу похідних від степеня (4.2), одержимо:

а) y′ = ( 5 x⁴)′ − ( 2 x³)′ + ( x²)′ − ( 4 x )′ + ( 10 )′ =

= 5 ⋅ 4 x³ − 2 ⋅ 3 x² + 2 x − 4 + 0 = 20 x³ − 6 x² + 2 x − 4 .

б)

y = ( 2 x³ + 1 )cos x .

Розв’язування. Використовуючи теорему3,одержимо

y′= ( 2 x³ + 1 )′ cos x + ( 2 x³ + 1 )(cos x )′= 6 x² ⋅ cos x +

+ ( 2 x³ + 1 )( − sin x ) = 6 x²cos x − ( 2 x³ + 1 ) sin x .

в)

y =

tgx

² − 1

Розв’язування.Використовуючи теорему4і наслідок5,одер-

жимо

( tgx )′( x² − 1 ) − tgx( x² − 1 )′

( x²

− 1 ) − 2 xtgx

y′=

cos² x

( x² − 1 )²

( x² − 1 )²

_x2

− 1 − 2 xtgx ⋅ cos² x

x² − 1 −

2 x sin x cos² x

cos x

( x²

− 1 )² cos² x

( x² − 1 )² cos² x

− 1

− 2 x sin x cos x

x²

− x sin 2 x − 1

( x²

− 1 )² cos² x

( x

² − 1 )² cos² x

2.Економічним підрозділом підприємства встановлено, що ви-трати виробництва x одиниць продукції виражаються формулою (у

гривнях). V(x)=0,01x²+40x+2000.

Знайти маржинальні (граничні) витрати та середні витрати і обчислити їх при х=200.

Розв’язування. Маржинальні витрати для довільної кількостівиготовленої продукції визначаються як похідна від функції витрат

V ′( x ) = 0 ,02 x + 40 .При x = 200 маємо

V ′( 200 ) = 0 ,02 ⋅ 200 + 40 = 4 + 40 = 44 .

Середні витрати V ( x ) на одиницю продукції V ( x ) = ^{V ( x )} .

					x
			0 ,01x²	+ 40 x + 2000
V ( x ) =	= 0 ,01x + 40 +	.
	x	x

При x = 200 , одержимо

V ( 200 ) = 0 ,01 ⋅ 200 + 40 + ²⁰⁰⁰ = 2 + 40 + 10 = 52.

200

Проаналізувавши одержані результати, можна зробити висно-вок, що при середніх витратах на виробництво одиниці продукції в розмірі 52 грн., додаткові витрати на виробництво одиниці додатко-вої продукції складуть 44 грн. і не перевищать середніх витрат.

3. Визначити маржинальний дохід і прибуток підприємства, якщо місячні витрати на виготовлення і реалізацію x одиниць про-

дукції виражаються формулою V ( x ) = 0 ,02 x² + 100 x + 10000 , а кі-лькість реалізованих виробів в залежності від роздрібної ціни p ви-значаються формулою x = 4000 − 10 p .Знайти маржинальний дохід

і прибуток при виробництві x = 500 одиниць продукції. Розв’язування. Визначимо роздрібну ціну одиниці продукції

10 p = 4000 − x , p = 400 − 0 ,1x .

Дохід підприємства буде

D( x ) = p ⋅ x = ( 400 − 0 ,1x )x = 400 x − 0 ,1x ² ,а прибуток

P( x ) = D( x ) − V ( x ) = 400 x − 0 ,1x² − 0 ,02 x² − 100 x − 10000 =

= 300 x−0 ,12 x²−10000.

Маржинальний дохід

D′( x ) = ( 400 x − 0 ,1x² )′= 400 − 0 ,2 x ,

а маржинальний прибуток

P′( x ) = ( 300 x − 0 ,12 x² − 10000 )′= 300 − 0 ,24 x.

При x=500 маємо D′(500)=400-0,2·500=400-100=300, P′(500)=300-0,24·500=300-120=180.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Основні правила диференціювання	\|	Похідна від складної функції

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.03 сек.