• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Похідна від складної функції

Нехай у є функція від аргументу u, тобто y = f(u), і нехай ар-гумент u є деяка функція від незалежної змінної x: u = ϕ( x ).Тоді y

є функція від x: y = f [ϕ( x )]. В таких випадках говорять, що у є фу-

нкція від функції або складною функцією від аргументу x.

Нехай ми вміємо обчислювати похідну від у по аргументу и, а також похідну від аргументу и по незалежній змінній х. Встанови-мо, як обчислюється похідна від у по незалежній змінній х.

ТЕОРЕМА. Якщо функції y=f ( u ) і u=ϕ( x ) мають похідні, то похідна складної функції y=f[ϕ( x )]дорівнює похі-

дній від функції у по проміжному аргументу и, помноженій на похідну від проміжного аргументу и по незалежній змінній х.

Доведення.Надамоxдовільний малий прирістx.Тодіфункція u=φ(x) дістане приріст u, а функція y = f(u) дістане при-

що доводить теорему.

Зауваження.В даній теоремі розглянуто складну функцію,деyзалежить від x через проміжну змінну u. Можлива і більш складна за-лежність з двома, трьома і більшим числом проміжних змінних. При цьому правило диференціювання залишається тим же.

Так, наприклад, якщо y=f(u), де u=φ(t), а t=ψ(x), то y′( x ) = f ′( u ) ⋅ ϕ′( t ) ⋅ ψ′( x ) .

Приклад 1.Знайти похідну функціїy = sin³ x.Розв’язування.Покладаємоu = sin x , тодіy = u³.

При певному досвіді проміжний аргумент не пишуть, а вико-ристовують його неявно.

Приклад 2.Знайтиy′,якщоy = tg (x²+4).Розв’язування. Пам’ятаючи,щоu = x²+4,знаходимо

Приклад 3.Знайти похідну функціїy = cos² ( 3 x + 2 ) .

Розв’язування.Цю функцію можна розглядати як складну здвома проміжними змінними

y = u² , де u = cos t , t = 3 x + 2.

y′= 2 cos( 3 x + 2 )(cos( 3 x + 2 ))′= 2 cos( 3 x + 2 )( − sin( 3 x + 2 ))×

× ( 3 x + 2 )′=−2 cos( 3 x + 2 ) sin( 3 x + 2 ) ⋅ 3 =−3 sin 2( 3 x + 2 ).

Читайте також:

1. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
2. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
3. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
4. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
5. Аналіз складної вольової дії
6. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
7. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
8. Асимптоти графіка функції
9. Асимптоти графіка функції
10. Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
11. Базові функції, логічні функції
12. Банки як провідні суб’єкти фінансового посередництва. Функції банків.

Переглядів: 1801