Незважаючи на те, що в час, коли жив відомий французький математик П’єр Ферма (1601-1665), поняття похідної не було відо-ме, суть того методу, який він застосовував при знаходженні найбі-льших і найменших значень функції виражає теорема, яку справед-ливо називають теоремою Ферма.
ТЕОРЕМА ФЕРМА. Нехай функція y=f ( x ) визначена в
інтервалі ( a ,b ) і в деякій внутрішній точці x0 цього інтервалу
приймає найбільше чи найменше значення. Тоді, якщо в цій то-чці існує похідна, то вона дорівнює нулю, тобто f′( x0 )=0 .
Доведення. Нехай в точціx0функціяf ( x )приймає найбі-льше значення, тобто f ( x ) ≤ f ( x0) для будь-якого x ∈ ( a ,b ). Це значить, що y = f ( x0 + x ) − f ( x0) ≤ 0 для будь-якої точки
x +
x ∈ ( a ,b ). Тому при
x > 0 буде
y
≤ 0
x
y
і lim
= f ′( x0 ) ≤ 0
, а при
x < 0 маємо
y
≥ 0 і
x →0
x
x
lim
y
= f ′( x0 ) ≥ 0.
x →0
x
Співставивши обидва співвідношення, одержуємо, що f′(x0)=0.