Теорема Ферма

Незважаючи на те, що в час, коли жив відомий французький математик П’єр Ферма (1601-1665), поняття похідної не було відо-ме, суть того методу, який він застосовував при знаходженні найбі-льших і найменших значень функції виражає теорема, яку справед-ливо називають теоремою Ферма.

ТЕОРЕМА ФЕРМА. Нехай функція y=f ( x ) визначена в

інтервалі ( a ,b ) і в деякій внутрішній точці x₀ цього інтервалу

приймає найбільше чи найменше значення. Тоді, якщо в цій то-чці існує похідна, то вона дорівнює нулю, тобто f′( x₀ )=0 .

Доведення. Нехай в точціx₀функціяf ( x )приймає найбі-льше значення, тобто f ( x ) ≤ f ( x₀) для будь-якого x ∈ ( a ,b ). Це значить, що y = f ( x₀ + x ) − f ( x₀) ≤ 0 для будь-якої точки

x +	x ∈ ( a ,b ). Тому при	x > 0 буде		y	≤ 0

							x
		y
і lim	= f ′( x₀ ) ≤ 0	, а при	x < 0 маємо			y	≥ 0 і

x →0	x						x
lim		y	= f ′( x₀ ) ≥ 0.

x →0	x

Співставивши обидва співвідношення, одержуємо, що f′(x₀)=0.

Аналогічно доводиться, що

ція f ( x ) в точці x₀ набуває	у
найменшого значення.
Перетворення в нуль
похідної функції f ′( x₀) гео-
метрично означає, що в цій
точці x₀	дотична до графіка
функції	y = f ( x ) паралельна	O

осі 0 x (мал. 5).

f ′( x₀ ) = 0 у випадку,коли функ-

а х0 b _Мал_.5 х

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Основні теореми диференціального числення	\|	Теорема Ролля

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.013 сек.