Цій точці рівні нулю, тобто

		∂u		( X		) = 0 ,

		∂x₁
			∂u
				( X ⁰ ) = 0 ,

			∂x₂
		..................
			∂u				) = 0.
					( X
		∂x_n

Доведення теореми 3 аналогічне доведенню теореми 1.
Допустимо,	що точка	X ⁰ = ( x₁⁰ , x₂⁰ ,..., x_n⁰ )	є критичною точ-
кою. Знайдемо	значення	других частинних	похідних функції
u = u( x₁ , x₂ ,..., x_n ) в точці X ⁰	і складемо матрицю

	∂ ² u	( X		)

	∂x₁
	∂		u		( X ⁰ )
H ( X ⁰ ) =

	∂x₂∂x₁
	∂ ² u	...
			( X		)


	∂x_n∂x₁

∂ ² u								∂ ² u
			( X		),	...,					( X	)

∂x₁∂x₂					∂x₁∂x_n
∂ ² u	( X ⁰	),		...,		∂ ² u			( X ⁰ )	(5.13)

							∂x₂∂x_n
∂x₂	...			...
∂ ² u				∂ ² u	...
		( X		),	...,		( X		)


∂x_n∂x₂					∂x_n

Матриця виду (5.13) називається матрицею Гесса. Встановимо достатні умови екстремуму функції u=f(x₁, x₂,…,x_n) в

т. X⁰( x₁⁰, x₂⁰,..., x_n⁰). Нехай точка X⁰ = ( x₁⁰, x₂⁰,..., x_n⁰) є підозрілою на екстремум.

Розкладемо функцію u = u( x₁, x₂,..., x_n) в ряд Тейлора в око-

лі точки X⁰( x₁⁰, x₂⁰,..., x_n⁰) :

∂u( X

)

u( x₁ , x₂ ,..., x_n ) = u( x₁⁰ , x₂⁰ ,..., x_n⁰ ) +∑

( x _j − x⁰_j

) +

∂x _j

j = 1

n n

∑∑^∂

u( X

⁾ ( x_i − x_i⁰ )( x _j − x⁰_j ) +ε(

X − X ⁰

∂x_i ∂x _j

² i = 1 j = 1

де ε → 0 , коли

X − X ⁰

( x₁ − x₁⁰ )² + ( x₂ − x₂⁰ )² + ... + ( x_n − x_n⁰ )² → 0.

Очевидно,

що точка X⁰

точкою

максимуму, якщо

u( x₁ , x₂ ,...x_n ) ≤ u( x₁⁰ , x₂⁰ ,..., x_n⁰ ).

Аналогічно , точка

X ⁰ є точкою

мінімуму, якщо u( x₁, x₂,..., x_n) ≥ u( x₁⁰, x₂⁰,..., x_n⁰).

Це в свою чергу залежить від значення квадратичної форми

n n	∂	2	u( X	0	⁾ ( x_i − x_i⁰ )( x _j − x⁰_j ).
∑∑
i = 1 j = 1		∂x_i ∂x _j

Для характеристики знаку цієї суми використаємо матрицю Гесса, яка була введена раніше. Тепер сформулюємо умови додатної (від’ємної) визначеності матриці Гесса. Для цього введемо поняття головних мінорів матриці H(X⁰)

Означення6. Мінор, розташований на перетині перших k-рядків і k стовпців матриці називається головним мінором k-го порядку.

Наприклад:

M₁ =	∂ ²u( X ⁰ )	,
	∂x₁²

		∂ ² u( X ⁰ )

M_n =		∂x₁²
	...
		∂ ² u( X ⁰ )
		∂x_n∂x₁

...

	∂ ² u( X ⁰ )
M₂ =			∂x₁²
∂	2	u( X	0	)

	∂x₂∂x


∂ ² u( X ⁰ )
∂x₁∂x_n		.
...
∂ ² u( X ⁰ )
∂x_n²

∂ ²u( X ⁰	)
∂x₁∂x₂	)	,
∂ ²u( X ⁰
∂x₂²

ТЕОРЕМА 4. (Критерій Рауса-Гурвіца). Якщо головні мі-нори матриці H ( X ⁰ ) додатні, то функція u=u(x₁,x₂,…,x_n) дося-

гає мінімуму в точці X ⁰ .

Якщо ( −1 )M₁ > 0 , M₂ > 0 ,( −1 )M₃ > 0 ,...,( −1 )ⁿM_n > 0 , то

функція u=u(x₁, x₂,…,x_n) досягає максимуму в точці X⁰.Цей факт добре відомий із теорії додатної (від’ємної) визначеності матриць і , відповідно, квадратичних форм. В математичній літературі цей кри-

терій називають також критерієм Сільвестра.

Випадок екстремуму функції двох змінних z = f ( x , y )	є час-
тковим випадком екстремуму функції багатьох змінних.
§10. Умовний екстремум функції багатьох змінних
Нехай функція u = u( x₁, x₂,..., x_n)	досліджується на екстре-
мум при умові, що виконуються рівняння
q₁ ( x₁	, x₂	,..., x_n ) = b₁
_q		( x		, x	,..., x	n	) = b	(5.14)
					² , де m < n
	................................
		( x₁	, x₂	,..., x_n ) = b_m
^qm

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна та достатня умови екстремуму. Критерій Рауса-Гурвіца	\|	Рівняння (5.14) називаються рівняннями зв’язку, а відпо-відний екстремум функції називається умовним екстремумом.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.007 сек.