Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Рівняння (5.14) називаються рівняннями зв’язку, а відпо-відний екстремум функції називається умовним екстремумом.

Для дослідження функції u( x₁, x₂,..., x_n) на екстремум при умові (5.14) використаємо функцію Лагранжа.

L( x₁ , x₂ ,..., x_n ,λ ₁ ,λ ₂ ,...,λ _m ) = u( x₁ , x₂ ,..., x_n ) +

+ ∑λ _i ( q_i ( x ) − b_i ),

i = 1^m

яка дозволяє задачу з обмеженням звести до задачі без обмежень. Очевидно, що при обмеженнях (5.14)

L( x ,λ ) = u( X ) і u_{extr .}( X ^* ) = L_{extr .}( X ^* ,λ ).

Необхідні умови екстремальності в точці X^* функції L( X ,λ ) мають вид:

∂L( X ^* ,λ ) ∂u( X ^* ) n ∂q _j ( X ^* )

= + ∑ λ _j =

∂x₁ ∂x₁ ∂x₁

j = 1

.............................................................

∂L( X ^* ,λ ) ∂u( X ^* ) n ∂q _j ( X ^* )

= + ∑ λ _j =

∂x_n ∂x_n ∂x_n

j = 1

∂L( X^*,λ ) ₌ _q

( X ^* ,λ ) − b = 0 ,

∂λ ₁

.........................................................

∂L( X ^* ,λ )

= q_m ( X * , λ ) − b_m = 0.

∂λ _m

0 ,

(5.15)

Із

системи

рівнянь

знаходимо

координати точки

X ^* ( x^*₁ , x^*₂ ,..., x^*_n ),

в якій досягається екстремум. Значення λ ₁,...,λ _n

при цьому

ролі

не грають. Характер екстремальності точок

X ^* ( x^*₁ , x^*₂ ,..., x^*_n )

визначаємо з допомогою достатніх умов, які за-

стосовуються

тільки до

функції u( x ), оскільки

q_i ( x ) − b_i = 0 ,

( i =

1,m

Приклад 1.Знайти екстремум функції

z = 2 x₁² + x₁ x₂ + x₂² + 2 x₁ − 4 x₂

при умові x₁ + x₂ = 2.

Розв’язування.

Запишемо

обмеження

у виді

x₁ + x₂ − 2 = 0.

Функція Лагранжа матиме вид:

L( x₁ , x₂ ,λ ) = 2 x₁² + x₁ x₂ + x₂² + 2 x₁ − 4 x₂ +λ( x₁ + x₂ − 2 ) .

Знаходимо частинні похідні першого порядку

∂L

= 4 x₁ + x₂

+ 2 +λ ,

∂L

= x₁ + 2 x₂ − 4 +λ ,

∂x₁

∂x₂

∂L

= x₁ + x₂ − 2.

∂λ

Використовуючи необхідну умову екстремуму, складаємо си-

стему рівнянь:

4 x₁ + x₂ + 2 +λ= 0

− 4 +λ= 0

× ( −1 ) .

^x1 + ^{2 x}2

x₁ + x₂ − 2

= 0

Виключимо λ з перших двох рівнянь. Помножимо друге рів-няння на число (-1) і додамо до першого рівняння. В результаті отримаємо систему рівнянь:

3 x₁ − x₂ + 6

= 0

3 x₁ − x₂

+ 6

= 0

⇒ x₁

=−1; x₂

= 3.

+ x

− 2

= 0

⇒

4 x₁

+ 4 = 0

Отже, точка X^*( −1;3 ) є точкою підозрілою на екстремум. Складаємо матрицю Гесса:

∂ ² L

∂

( 4 x₁ + x₂

) = 4;

∂ ² L

∂

( 4 x₁

+ x₂

) = 1;

∂x₁²

∂x₁

∂x₁∂x₂

∂x₂

∂ ² L

∂

( x₁

+ 2 x₂

) = 2;

∂x₂²

∂x₂

) =

M₁

= 4 > 0;

M₂ =

= 7 > 0.

H ( X

1 2 ^;

1 2

Отже, в точці X^*( −1;3 )

маємо z_min :

z_min = 2( −1 )² + ( −1 ) ⋅ 3 + 3² + 2 ⋅ ( −1 ) − 4 ⋅ 3 =−6.

З геометричної точки зору z_min( X^*) досягається в вершині параболи, яка отримується в результаті перетину параболоїда

z = 2 x₁² + x₁ x₂ + x₂² + 2 x₁ − 4 x₂ з площиною x₁ + x₂ − 2 = 0.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Цій точці рівні нулю, тобто	\|	Емпіричні формули. Побудова формули лінійної залежності методом найменших квадратів

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.