В більшості випадків обчислення визначеного інтеграла зво-диться до знаходження первісної для відповідного невизначеного інтеграла, а потім використовується формула Ньютона-Лейбніца. Тому всі методи, які використовуються для знаходження невизначе-ного інтеграла використовуються для знаходження визначеного інтеграла.
◙ Заміна змінної в визначеному інтегралі
b
Нехай дано ∫f ( x )dx , f ( x ) - неперервна на [a;b]. Заміна
a
змінної для визначеного інтеграла полягає в тому, що вводиться но-ва змінна, зв’язана з попередньою співвідношенням x = ϕ( t ) така,
що ϕ( t ) - неперервно диференційована на [a;b]. Якщо при зміні t від α до β, х змінюється від a до b, a = ϕ( α ) , b = ϕ( β ) і складна функція f ( ϕ( t )) визначена і неперервна на відрізку [α;β],
b
β
то правильна формула
∫ f ( x )dx =∫ f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt .
(6.42)
a
α
Приклад 22.Обчислити∫
4 − x2 dx .
Розв’язування.Вводимо нову змінну за формулою
x = 2 sin t .
Ви-
значимо нові межі інтегрування. Якщо х = 0, то 2 sin t = 0
і t = 0 –
нижня межа інтегрування. Якщо х = 2, то 2 sin t = 2
і t = π- верхня
π .
межа інтегрування. Отже t
буде змінюватись від
0до
Тоді
π
π
∫
4 − x2 dx =∫ 4 − 4 sin2 t 2 cos tdt = 4∫cos2 tdt =
π
π
sin2t
= 2∫
( 1 + cos2t )dt = 2( t +
)
= π .
◙ Метод інтегрування за частинами
b
b
Полягає в застосуванні формули:
∫udv =[uv]
ab
−∫vdu. (6.43)
a
a
Приклад 23.Обчислити∫xe−xdx.
Розв’язування.Використаємо формулу інтегрування за частинами.
Нехай u = x , dv = e−xdx. Одержимо du = dx , v = −e−x .