Методи обчислення визначеного інтеграла

В більшості випадків обчислення визначеного інтеграла зво-диться до знаходження первісної для відповідного невизначеного інтеграла, а потім використовується формула Ньютона-Лейбніца. Тому всі методи, які використовуються для знаходження невизначе-ного інтеграла використовуються для знаходження визначеного інтеграла.

◙ Заміна змінної в визначеному інтегралі

Нехай дано _∫ f ( x )dx , f ( x ) - неперервна на [a;b]. Заміна

змінної для визначеного інтеграла полягає в тому, що вводиться но-ва змінна, зв’язана з попередньою співвідношенням x = ϕ( t ) така,

що ϕ( t ) - неперервно диференційована на [a;b]. Якщо при зміні t від α до β, х змінюється від a до b, a = ϕ( α ) , b = ϕ( β ) і складна функція f ( ϕ( t )) визначена і неперервна на відрізку [α;β],

	b	β
то правильна формула	_∫ f ( x )dx =_∫ f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt .	(6.42)
	a	α

Приклад 22.Обчислити_∫

4 − x² dx .

Розв’язування.Вводимо нову змінну за формулою

x = 2 sin t .

Ви-

значимо нові межі інтегрування. Якщо х = 0, то 2 sin t = 0

і t = 0 –

нижня межа інтегрування. Якщо х = 2, то 2 sin t = 2

і t = ^π - верхня

^π .

межа інтегрування. Отже t

буде змінюватись від

0до

Тоді

∫

4 − x² dx =_∫ 4 − 4 sin² t 2 cos tdt = 4_∫cos² tdt =

sin2t

= 2_∫

( 1 + cos2t )dt = 2( t +

)

= π .

◙ Метод інтегрування за частинами

	b	b
Полягає в застосуванні формули:	_∫udv =[uv]		a^b	−_∫vdu. (6.43)

	a	a

Приклад 23.Обчислити_∫xe⁻^xdx.

Розв’язування.Використаємо формулу інтегрування за частинами.

Нехай u = x , dv = e⁻ ^xdx. Одержимо du = dx , v = −e⁻ ^x .

− x

_e⁻ ^x_dx = ( − xe ⁻ ^x − e ⁻ ^x )

∫

xe⁻ ^xdx =− xe

∫

= 1 −

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Грування, тобто має місце формула	\|	Наближене обчислення визначених інтегралів

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.015 сек.