Вираз елементів рекуренти через початковий стан

Запис станів двійкового регістру через супроводжуючу матрицю

Розглянемо матрицю , для якої елементи останнього стовпця з номерами дорівнюють одиниці, а решта – нулі.

, , .

Матриця називається супроводжуючою матрицею послідовності.

Матриця оборотна і

тобто

Звідки

і , .

Зокрема, якщо

то

де рекуренти додаються поелементно.

Приклад. Супроводжуюча матриця для розгортки РЗЛЗЗ з рекурентним співвідношенням має вид:

Точки знімання мають номери 0 і 2, тому в останньому стовпці елементи і , а решта – нулі.

Виразимо послідовність початкових станів 11000 10001 00011 00110 … через супроводжуючу матрицю:

;

……………………………………………………….

Стан регістру після -го такту роботи дорівнює

Матричний запис дозволяє записати одночасно послідовність станів для декількох початкових станів, тому що, наприклад, операції і можна записати як добуток матриць

Це дозволяє розглядати рекуренту з векторним початковим станом.

Співвідношення дозволяє легко обчислити стан при дуже великих , оскільки існують ефективні методи обчислення степеня матриці.

Виявляється, що так само неважко визначити номери бітів з початкового стану , комбінація яких дає біт рекурентної послідовності з номером .

Нехай , , – рядки одиничної матриці порядку . Розглянемо кожний рядок як початковий стан відповідної рекуренти .

Запишемо рекуренти як рядки деякої матриці і розглянемо її як послідовність векторів-стовпців . Послідовність підпорядковується тому ж самому рекурентному співвідношенню, що і . Початковий стан становлять векторів , що за побудовою є стовпцями матриці .

Координати наступного вектора можна отримати як останні біти станів , або одною матричною операцією: вибрати останній стовпець з матриці . Таким чином, – першій, а – останній стовпець матриці . Наступний стовпець буде останнім стовпцем в матриці , першим стовпцем якої є , і так далі, .

У добутку матриць останній стовпець матриці дорівнює добутку матриці на останній стовпець матриці . Це означає, що сусідні стовпці матриці пов’язані співвідношенням

або

де – довільне ціле число, оскільки матриця оборотна. Таким чином, ми легко можемо обчислити вектори . Назвемо стовпці матриці характеристичними векторами.

Нехай . Оскільки , то , тобто є сумою рядків матриці з коефіцієнтами . В термінах стовпців це означає, що біт рекуренти з номером можна записати як , де – координати вектора . Номери цих координат, відмінні від нуля, вказують, сумою яких компонент початкового стану є біт .

Приклад. Розглянемо одночасно послідовності станів регістра з рекурентним співвідношенням для початкових станів.

Перший крок (перехід від початкового стану до стану з номером ) дає

тобто .

Другий крок (перехід від стану до стану ) дає

тобто і так далі.

Тепер треба сумістити стани, щоб отримати рекурентних послідовностей, які підписані одна під одною

Маємо 5 початкових станів (рядки матриці ), далі 5 станів після кроку 1 (рядки матриці ) і 5 станів після кроку 2 (рядки матриці ).

Суміщаємо стани з перших рядків: 1000010, з других рядків: 0100001 і так далі. Але це теж саме, що суміщати сусідні матриці, бо останні 4 стовпчики попередньої матриці і перші 4 стовпчики наступної матриці співпадають, тобто маємо:

Розгорнемо матрицю до кінця періоду. У цієї матриці стовпці з номерами 0-4 утворюють матрицю , стовпці з номерами 1-5 утворюють матрицю , стовпці з номерами 2-6 утворюють матрицю і т.д. Таким чином, матриці, що перетинаються по 4-х стовпцях мають вид , і їхні останні стовпці розташовані поруч. Але за правилами множення матриць з рівності випливає, що останній стовпець матриці дорівнює добутку матриці на останній стовпець матриці , тобто , , і так далі.

Оскільки – обротна, то цей закон виконується для довільних цілих , зокрема, , . Таким чином, ми можемо швидко обчислити не розгортаючи рекуренту

Згадаємо, що поелементна сума рекурент, які задовольняють одне й теж саме рекурентне співвідношення, є рекурентою, що також задовольняє це співвідношення з початковим станом, що дорівнює сумі початкових станів рекурент-доданків.

Нехай – довільний початковий стан, який для нашого прикладу матиме вид .

Розглянемо добуток , який дорівнює лінійній комбінації рядків матриці з коефіцієнтами . За попереднім, послідовність – рекурента, початковий стан якої є , а біт з номером є добутком . Оскільки ми легко можемо побудувати , то ми знаємо номери ненульових координат цього вектора, а це дає нам змогу вказати номери елементів початкового стану, сума яких дорівнює біту з номером , не знаючи ні початкового стану, ні значення біту з номером .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Лінійна рекурентна послідовність, що генерується РЗЛЗЗ	\|	Існування тричленних похідних співвідношень

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.