• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Індикатори множин

Нехай — універсальна множина. Для довільної множини визначимо функцію правилом:

Функція називається індикатором множини . Зауважимо, що

Для індикаторів множин справедливі наступні властивості:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Властивості 1-8 використовуються для доведення різноманітних тотожностей між множинами.

Приклад 1. Множина А складається з елементів , де , множина — із елементів . Знайти .

Розв’язання. Нехай — спільний елемент множин і . Тоді справедлива рівність

, де .

Звідки маємо

отже має ділитися на 3 без остачі. Позначивши різницю через к, маємо

Звідки

Отже

Приклад 2. Довести рівність (перший закон двоїстості).

Розв’язання.

І спосіб. Доведемо, що кожний елемент лівої частини рівності є елементом правої. Для довільного маємо

Отже .

З іншого боку, для довільного маємо

Отже .

З отриманих двох включень випливає, що

ІІ спосіб. Доведемо рівність методом індикаторів. Для цього встановимо тотожність індикаторів лівої та правої частин. Маємо

Праві частини рівностей однакові, отож

тобто

Приклад 3. Довести рівність множин

Розв’язання.

І спосіб. Обчислимо індикатори лівої та правої частин рівності (аргументи для скорочення записів не пишемо):

в силу рівності .

Праві частини двох останніх рівностей однакові, отже

тобто

ІІ спосіб. Скористаємось відомими фактами алгебри множин. Маємо , отже

(другий закон двоїстості) =

= (дистрибутивний закон) =

Завдання 1

Задати наступні множини через їх елементи:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

Знайти перетин множин :

26.

27.

28.

29.

30.

Завдання 2

Довести рівності між множинами двома способами: методом двох включень та методом індикаторів:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Читайте також:

1. Алгебра множин
2. Безпека фондового ринку: суть, критерії та індикатори оцінки
3. Бюджетні множини й лінії бюджетного обмеження
4. Види відображень множин
5. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
6. Визначення загальної множини компонентів
7. Визначення множини допустимих планів задачі ЛП
8. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
9. Відмінок Однина Множина
10. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
11. Відношення порядку на множині дійсних чисел.
12. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.

Переглядів: 1147