• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Точні верхня і нижня межі числових множин

Розглянемо числову множину . Якщо існує таке, що для будь-якого має місце нерівність , то множина називається обмеженою зверху, а число - верхнею межею множини . Аналогічно, якщо таке, що для будь-якого має місце нерівність , то множина називається обмеженою знизу, а число - нижня межа множини .

Число , яке є найменшим серед усіх верхніх меж множини , називається точною верхнею межею множини . Число , яке є найбільшим серед усіх нижніх меж множини , називається точною нижнею межею множини .

Теорема(Про існування точних меж) Непорожня обмежена зверху(знизу) множина дійсних чисел має точну верхню (нижню) межу.

Теорема(Критерій існування точних меж) Число тоді і тільки тоді, коли:

1) є верхня межа , тобто

2) для довільного числа існує таке, що .

Для того, щоб число необхідно і достатньо, щоб:

1) є нижня межа , тобто

2)для довільного числа існує таке, що .

Приклад 1. Знайти точні межі множини

Зауважимо, що для справедлива нерівність

Тобто . З іншої сторони, для

Таким чином множина обмежена знизу числом , яке співпадає з і необмежена зверху, тобто

Приклад 2. Знайти точні межі множини

Для всіх парних значень справджуються оцінки

Таким чином можна стверджувати, що множина необмежена зверху, отже

Для всіх непарних виконується нерівність

Покажемо, що число . Згідно з критерієм існування точної нижньої межі для цього досить показати, що . Дійсно, замість можна взятии довільний елемент множини з непарним номером і такий, що і . Знайдемо k^

Таким чином

Завдання 1

Знайти точні межі множини

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Читайте також:

1. Алгебра множин
2. Бюджетні множини й лінії бюджетного обмеження
3. Верхня і нижня грані дійсних чисел
4. Виберіть 1 найточніший варіант твердження. Абсолютна істина – це
5. Видатки на господарські потреби та інші поточні видатки
6. Видатки усіх бюджетів поділяються на поточні і видатки розвитку.
7. Види відображень множин
8. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
9. Визначення загальної множини компонентів
10. Визначення множини допустимих планів задачі ЛП
11. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
12. Відмінок Однина Множина

Переглядів: 6831