• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Границя послідовності

Відображення множини натуральних чисел у множину дійсних чисел називається числовою послідовністю, тобто . Вживають також позначення:

– називають членом послідовності, а - номером цього члена. Послідовність називається обмеженою, якщо множина обмежена. Тобто таке, що для Послідовність необмежена, якщо множина

необмежена, або .

Означення (границі послідовності за Коші)

Число називається границею послідовності , якщо для таке, що для

Записують або при .

З геометричної точки зору це означає, що довільний -окіл точки містить безліч членів послідовності, а зовні цього околу лежить хіба що скінченне число членів послідовності.

Послідовність, яка має скінченну границю називається збіжною, і розбіжною в протилежному випадку.

Означення (фундаментальної послідовності).

Послідовність називається фундаментальною, якщо для таке, що і виконується нерівність .

Теорема. (Критерій Коші збіжності послідовності).

Для того, щоб послідовність була збіжною необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальною.

Зауваження При розв’язанні наступних задач часто буде використовуватися поняття цілої частини числа , позначається – найбільше ціле число, яке не перевищує .

Приклад1. Користуючись означенням границі послідовності за Коші довести, що

Виберемо довільне і розглянемо модуль різниці між -им членом послідовності і числом

Згідно з означенням границі послідовності ми повинні вказати номер (залежний від ) такий, що виконується нерівність

Для того, щоб вказати номер досить взяти цілу частину числа тобто . Дійсно, якщо , то

Таким чином, для довільного існує номер такий, що для всіх номерів виконується нерівність
Приклад 2. Користуючись критерієм Коші довести збіжність послідовності , де .

Згідно з критерієм Коші збіжності послідовності досить показати, що послідовність є фундаментальною. Оцінимо

Оскільки , то

=

Таким чином для довільних маємо .

Виберемо довільне і за виберемо цілу частину числа , тобто . Тоді для всіх

маємо . Отже для довільного і довільного виконується нерівність .

Приклад 3.Користуючись критерієм Коші довести, що послідовності , де є розбіжною.

Доведемо, що послідовність не є фундаментальною.

Розглянемо (кожен з доданків оцінено найменшим за величиною останнім доданком).

Покладемо ( ) , тоді , для

Остання оцінка показує, що при яке б не було , для всіх і довільного натурального числа (візьмемо p=n) виконується нерівність

тобто послідовність не є фундаментальною, а отже є розбіжною.

Послідовність називається нескінченно малою (НМ), якщо . Послідовність називається нескінченно великою (НВ), якщо для такий, що для всіх виконується і записують

При розв’язуванні задач використовуються наступні властивості НМ, НВ, а також збіжних послідовностей:

1. Алгебраїчна сума скінченного числа НМ послідовностей є НМ послідовність

2. Добутком НМ послідовності на обмежену послідовність є НМ послідовність

3. Якщо НВ (НМ) послідовність , то послідовність є НМ(НВ) послідовністю. Зокрема тощо

4. Якщо і ,то

А)

Б)

В)якщо ,

і .

Приведемо також три теореми.

Теорема 1(про проміжну послідовність). Якщо і, починаючи з певного номера виконується нерівність тоді

Теорема (Штольца)Якщо послідовності і задовольняють умовам:

1) при

2)

3) (причому може дорівнювати ). Тоді

Читайте також:

1. Визначений інтеграл, як границя інтегральних сум
2. Визначення послідовності вогнепальних поранень.
3. Визначення послідовності обробки поверхонь заготовки
4. Виявлення послідовності
5. Встановлення факту віднесення аварійної події до рангу НС, ви­значення виду та рівня НС проводиться у такій послідовності.
6. ГРАНИЦЯ САМОЗАЙМАННЯ
7. Границя функції
8. Границя функції
9. Границя функції двох змінних
10. Границя функції на нескінченності
11. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.

Переглядів: 3657