Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Границя послідовності

Відображення множини натуральних чисел у множину дійсних чисел називається числовою послідовністю, тобто . Вживають також позначення:

– називають членом послідовності, а - номером цього члена. Послідовність називається обмеженою, якщо множина обмежена. Тобто таке, що для Послідовність необмежена, якщо множина

необмежена, або .

Означення (границі послідовності за Коші)

Число називається границею послідовності , якщо для таке, що для

Записують або при .

З геометричної точки зору це означає, що довільний -окіл точки містить безліч членів послідовності, а зовні цього околу лежить хіба що скінченне число членів послідовності.

Послідовність, яка має скінченну границю називається збіжною, і розбіжною в протилежному випадку.

Означення (фундаментальної послідовності).

Послідовність називається фундаментальною, якщо для таке, що і виконується нерівність .

Теорема. (Критерій Коші збіжності послідовності).

Для того, щоб послідовність була збіжною необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальною.

Зауваження При розв’язанні наступних задач часто буде використовуватися поняття цілої частини числа , позначається – найбільше ціле число, яке не перевищує .

Приклад1. Користуючись означенням границі послідовності за Коші довести, що

Виберемо довільне і розглянемо модуль різниці між -им членом послідовності і числом

Згідно з означенням границі послідовності ми повинні вказати номер (залежний від ) такий, що виконується нерівність

Для того, щоб вказати номер досить взяти цілу частину числа тобто . Дійсно, якщо , то

Таким чином, для довільного існує номер такий, що для всіх номерів виконується нерівність
Приклад 2. Користуючись критерієм Коші довести збіжність послідовності , де .

Згідно з критерієм Коші збіжності послідовності досить показати, що послідовність є фундаментальною. Оцінимо

Оскільки , то

=

Таким чином для довільних маємо .

Виберемо довільне і за виберемо цілу частину числа , тобто . Тоді для всіх

маємо . Отже для довільного і довільного виконується нерівність .

Приклад 3.Користуючись критерієм Коші довести, що послідовності , де є розбіжною.

Доведемо, що послідовність не є фундаментальною.

Розглянемо (кожен з доданків оцінено найменшим за величиною останнім доданком).

Покладемо ( ) , тоді , для

Остання оцінка показує, що при яке б не було , для всіх і довільного натурального числа (візьмемо p=n) виконується нерівність

тобто послідовність не є фундаментальною, а отже є розбіжною.

 

Послідовність називається нескінченно малою (НМ), якщо . Послідовність називається нескінченно великою (НВ), якщо для такий, що для всіх виконується і записують

При розв’язуванні задач використовуються наступні властивості НМ, НВ, а також збіжних послідовностей:

1. Алгебраїчна сума скінченного числа НМ послідовностей є НМ послідовність

2. Добутком НМ послідовності на обмежену послідовність є НМ послідовність

3. Якщо НВ (НМ) послідовність , то послідовність є НМ(НВ) послідовністю. Зокрема тощо

4. Якщо і ,то

А)

Б)

В)якщо ,

і .

Приведемо також три теореми.

Теорема 1(про проміжну послідовність). Якщо і, починаючи з певного номера виконується нерівність тоді

Теорема (Штольца)Якщо послідовності і задовольняють умовам:

1) при

2)

3) (причому може дорівнювати ). Тоді


Читайте також:

  1. Визначений інтеграл, як границя інтегральних сум
  2. Визначення послідовності вогнепальних поранень.
  3. Визначення послідовності обробки поверхонь заготовки
  4. Виявлення послідовності
  5. Встановлення факту віднесення аварійної події до рангу НС, ви­значення виду та рівня НС проводиться у такій послідовності.
  6. ГРАНИЦЯ САМОЗАЙМАННЯ
  7. Границя функції
  8. Границя функції
  9. Границя функції двох змінних
  10. Границя функції на нескінченності
  11. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.




Переглядів: 3637

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Точні верхня і нижня межі числових множин | Границя функції

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.037 сек.