МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
||||||||||
Границя функціїДійсне число називається граничною точкою множини , якщо Кажуть, що є граничною точкою множини , якщо Кажуть, що є граничною точкою множини , якщо Нехай , а . Інтервал називається -околом точки і позначається . Множина називається проколеним -околом точки . Надалі будемо припускати, що точка є граничною точкою області визначення функції . Означення (Коші). Число називають границею функції в точці , якщо Означення (Гейне). Число називають границею функції в точці , якщо для довільної послідовності , що задовольняє умовам 1. 2. виконується співвідношення Позначення: або Ці означення рівносильні. Означенням границі функції за Гейне зручно користуватись у тому випадку, коли потрібно довести, що функція не має границі в точці. Для цього досить довести, що існують дві послідовності та , які задовольняють умовам означення, але відповідні послідовності значень функції та не мають однакових границь. Кажуть, що якщо та якщо Число називають границею функції при , якщо Позначення: Число називають границею функції при , якщо Позначення: Всі властивості границь послідовностей легко переносяться на границі функцій в точці. Запишемо дві важливі границі, які часто використовують при обчисленні інших границь функцій: I. — перша визначна (важлива) границя; II. — друга визначна (важлива) границя. Введемо поняття односторонніх границь. Число називають границею справа функції в точці , якщо Позначення: Число називають границею зліва функції в точці , якщо Позначення: Для того, щоб , необхідно і достатньо, щоб Функція називається нескінченно малою (НМ) при (або в точці ), якщо Функція називається нескінченно великою (НВ) при (або в точці ), якщо Властивості нескінченно малих функцій: 1. Сума скінченного числа нескінченно малих є нескінченно малою. 2. Добуток скінченного числа нескінченно малих є нескінченно малою. 3. Добуток нескінченно малої функції та обмеженої функції є нескінченно малою. 4. Якщо функція є нескінченно малою при , але відмінна від нуля в околі точки , то є нескінченно великою в цій точці. Для того, щоб , необхідно і достатньо, щоб мало місце представлення де — нескінченно мала функція при . Якщо і є нескінченно малими при , то при 1. вони називаються нескінченно малими одного порядку малості при ; 2. вони називаються еквівалентними нескінченно малими при ; 3. функція називається нескінченно малою вищого порядку малості при ніж , що позначають ( дорівнює «о мале» від при ); 4. функція називається нескінченно малою нижчого порядку малості при ніж , що позначають при ; 5. функція має порядок малості відносно при ; 6. якщо не існує, то нескінченно малі і називаються непорівнюваними при . Якщо , то функція називається головною частиною нескінченно малої відносно при . Якщо і є нескінченно великими при , то при 1. вони називаються нескінченно великими одного порядку росту при ; 2. функція називається нескінченно великою нижчого порядку росту при ніж ; 3. функція називається нескінченно великою вищого порядку росту при ніж ; 4. функція має порядок ростуі відносно при ; 5. якщо не існує, то нескінченно великі і називаються непорівнюваними при . Якщо , то функція називається головною частиною нескінченно великої відносно при . Для того, щоб нескінченно малі і були еквівалентними при , необхідно і достатньо, щоб при . Границя добутку (відношення) функцій не змінюється, якщо в ньому замінити нескінченно малу на еквівалентну нескінченно малу функцію. Таблиця еквівалентних нескінченно малих: при ; при ; при ; при . Приклад 1. Довести за означенням, що границя не існує. Доведення. Доведемо, що ця функція не задовольняє означенню границі функції за Гейне при . Для цього розглянемо послідовності та , де Тоді А оскільки та мають різні границі, то границя не існує. Приклад 2. Довести за означенням, що границя не існує. Доведення. Розглянемо послідовності та , де Тоді А оскільки та мають різні границі, то границя не існує. У найпростіших випадках обчислення границі зводиться до підстановки у функцію граничного значення аргумента, наприклад, . Проте часто така підстановка приводить до невизначених виразів, зокрема, таких: 1) невизначеність типу (відношення двох нескінченно великих величин); 2) невизначеність типу (відношення двох нескінченно малих величин); 3) невизначеність типу (добуток нескінченно малої величини на нескінченно велику); 4) невизначеність типу (різниця двох нескінченно великих величин); 5) невизначеності типу , , . Операцію обчислення границі у цих випадках називають розкриттям невизначеності. Розглянемо деякі способи розкриття невизначеності. 1. Невизначеність типу задана відношенням двох многочленів.Такі невизначеності можна розкривати за правилом: Приклад 3.Обчислити границі:
Розв’язання. Користуючись наведеним вище правилом, легко знаходимо: а) ; б) ; в) . Відповідь:а) 0; б) ; в) . 2. Невизначеність типу задана відношенням двох многочленів. Приклад 4. Обчислити границю . Розв’язання. Оскільки , , то маємо невизначеність типуу . Щоб її розкрити, розкладемо чисельник і знаменник на множники: . Скорочуючи на , маємо: . Відповідь: . Множник , через який чисельник і знаменник прямують до нуля, називають критичним множником. Отже, щоб розкрити невизначеність виду , задану відношенням двох многочленів, треба скоротити дріб на критичний множник. 3. Невизначеність типу задана ірраціональними виразами. Приклад 5. Обчислити границю . Розв’язання. Для обчислення границі помножимо й поділимо дріб на вираз, спряжений з чисельником, а потім розкладемо на множники знаменник і чисельник і скоротимо на критичний множник: . Відповідь: . У випадку, коли корені кубічні, вираз доповнюють не до різниці квадратів, а до різниці кубів. 4. Невизначеність задана трансцендентними виразами. У випадку, коли невизначеність задана тригонометричними виразами тощо, користуються еквівалентністю нескінченно малих функцій. Приклад 6. Обчислити границю . Розв’язання. При , , . Замінюючи нескінченно малі величини еквівалентними їм величинами, дістанемо: Відповідь: . Якщо границю потрібно обчислити не в точці , то часто використовують заміни. Приклад 7. Обчислити границю . Розв’язання. Маємо невизначеність типу . Зробимо заміну тоді при Відповідь: . 5. Невизначеність типу . ЇЇ розкривають за допомогою другої визначної границі. Приклад 8. Обчислити границю . Розв’язання. Використовуючи другу визначну границю, дістанемо: Відповідь: . Завдання 1 Довести за означенням, що границя не існує: 1. 2. 3. 4. де — ціла частина . 5. де — ціла частина . 6. 7. де — ціла частина . 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. де — ціла частина . 15. 16. де — ціла частина . 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. де — ціла частина . 27. 28. 29. 30. Завдання 2 Обчислити границі: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. Завдання 3 Обчислити границі: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. Завдання 4 Обчислити границі: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. Завдання 5 Знайти порядок малості і виділити головну частину нескінченно малої функції відносно при . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. Завдання 6 Знайти порядок росту і виділити головну частину нескінченно великої функції відносно при . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. Читайте також:
|
|||||||||||
|