• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Границя функції

Дійсне число називається граничною точкою множини , якщо

Кажуть, що є граничною точкою множини , якщо

Кажуть, що є граничною точкою множини , якщо

Нехай , а . Інтервал називається -околом точки і позначається . Множина

називається проколеним -околом точки .

Надалі будемо припускати, що точка є граничною точкою області визначення функції .

Означення (Коші). Число називають границею функції в точці , якщо

Означення (Гейне). Число називають границею функції в точці , якщо для довільної послідовності , що задовольняє умовам

1.

2.

виконується співвідношення

Позначення: або

Ці означення рівносильні. Означенням границі функції за Гейне зручно користуватись у тому випадку, коли потрібно довести, що функція не має границі в точці. Для цього досить довести, що існують дві послідовності та , які задовольняють умовам означення, але відповідні послідовності значень функції та не мають однакових границь.

Кажуть, що

якщо

та

якщо

Число називають границею функції при , якщо

Позначення:

Число називають границею функції при , якщо

Позначення:

Всі властивості границь послідовностей легко переносяться на границі функцій в точці.

Запишемо дві важливі границі, які часто використовують при обчисленні інших границь функцій:

I. — перша визначна (важлива) границя;

II. — друга визначна (важлива) границя.

Введемо поняття односторонніх границь.

Число називають границею справа функції в точці , якщо

Позначення:

Число називають границею зліва функції в точці , якщо

Позначення:

Для того, щоб , необхідно і достатньо, щоб

Функція називається нескінченно малою (НМ) при (або в точці ), якщо

Функція називається нескінченно великою (НВ) при (або в точці ), якщо

Властивості нескінченно малих функцій:

1. Сума скінченного числа нескінченно малих є нескінченно малою.

2. Добуток скінченного числа нескінченно малих є нескінченно малою.

3. Добуток нескінченно малої функції та обмеженої функції є нескінченно малою.

4. Якщо функція є нескінченно малою при , але відмінна від нуля в околі точки , то є нескінченно великою в цій точці.

Для того, щоб , необхідно і достатньо, щоб мало місце представлення

де — нескінченно мала функція при .

Якщо і є нескінченно малими при , то при

1. вони називаються нескінченно малими одного порядку малості при ;

2. вони називаються еквівалентними нескінченно малими при ;

3. функція називається нескінченно малою вищого порядку малості при ніж , що позначають ( дорівнює «о мале» від при );

4. функція називається нескінченно малою нижчого порядку малості при ніж , що позначають при ;

5. функція має порядок малості відносно при ;

6. якщо не існує, то нескінченно малі і називаються непорівнюваними при .

Якщо , то функція називається головною частиною нескінченно малої відносно при .

Якщо і є нескінченно великими при , то при

1. вони називаються нескінченно великими одного порядку росту при ;

2. функція називається нескінченно великою нижчого порядку росту при ніж ;

3. функція називається нескінченно великою вищого порядку росту при ніж ;

4. функція має порядок ростуі відносно при ;

5. якщо не існує, то нескінченно великі і називаються непорівнюваними при .

Якщо , то функція називається головною частиною нескінченно великої відносно при .

Для того, щоб нескінченно малі і були еквівалентними при , необхідно і достатньо, щоб при .

Границя добутку (відношення) функцій не змінюється, якщо в ньому замінити нескінченно малу на еквівалентну нескінченно малу функцію.

Таблиця еквівалентних нескінченно малих:

при ;

при ;

при ;

при .

Приклад 1. Довести за означенням, що границя

не існує.

Доведення. Доведемо, що ця функція не задовольняє означенню границі функції за Гейне при . Для цього розглянемо послідовності та , де

Тоді

А оскільки та мають різні границі, то границя

не існує.

Приклад 2. Довести за означенням, що границя

не існує.

Доведення. Розглянемо послідовності та , де

Тоді

А оскільки та мають різні границі, то границя

не існує.

У найпростіших випадках обчислення границі зводиться до підстановки у функцію граничного значення аргумента, наприклад,

.

Проте часто така підстановка приводить до невизначених виразів, зокрема, таких:

1) невизначеність типу (відношення двох нескінченно великих величин);

2) невизначеність типу (відношення двох нескінченно малих величин);

3) невизначеність типу (добуток нескінченно малої величини на нескінченно велику);

4) невизначеність типу (різниця двох нескінченно великих величин);

5) невизначеності типу , , .

Операцію обчислення границі у цих випадках називають розкриттям невизначеності. Розглянемо деякі способи розкриття невизначеності.

1. Невизначеність типу задана відношенням двох многочленів.Такі невизначеності можна розкривати за правилом:

Приклад 3.Обчислити границі:

а) ;

б) ;

в) .

Розв’язання. Користуючись наведеним вище правилом, легко знаходимо:

а) ;

б) ;

в) .

Відповідь:а) 0; б) ; в) .

2. Невизначеність типу задана відношенням двох многочленів.

Приклад 4. Обчислити границю .

Розв’язання. Оскільки

, ,

то маємо невизначеність типуу . Щоб її розкрити, розкладемо чисельник і знаменник на множники:

.

Скорочуючи на , маємо:

.

Відповідь: .

Множник , через який чисельник і знаменник прямують до нуля, називають критичним множником. Отже, щоб розкрити невизначеність виду , задану відношенням двох многочленів, треба скоротити дріб на критичний множник.

3. Невизначеність типу задана ірраціональними виразами.

Приклад 5. Обчислити границю .

Розв’язання. Для обчислення границі помножимо й поділимо дріб на вираз, спряжений з чисельником, а потім розкладемо на множники знаменник і чисельник і скоротимо на критичний множник:

.

Відповідь: .

У випадку, коли корені кубічні, вираз доповнюють не до різниці квадратів, а до різниці кубів.

4. Невизначеність задана трансцендентними виразами.

У випадку, коли невизначеність задана тригонометричними виразами тощо, користуються еквівалентністю нескінченно малих функцій.

Приклад 6. Обчислити границю

.

Розв’язання. При , , . Замінюючи нескінченно малі величини еквівалентними їм величинами, дістанемо:

Відповідь: .

Якщо границю потрібно обчислити не в точці , то часто використовують заміни.

Приклад 7. Обчислити границю

.

Розв’язання. Маємо невизначеність типу . Зробимо заміну тоді при

Відповідь: .

5. Невизначеність типу .

ЇЇ розкривають за допомогою другої визначної границі.

Приклад 8. Обчислити границю

.

Розв’язання. Використовуючи другу визначну границю, дістанемо:

Відповідь: .

Завдання 1

Довести за означенням, що границя не існує:

1.

2.

3.

4. де — ціла частина .

5. де — ціла частина .

6.

7. де — ціла частина .

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. де — ціла частина .

15.

16. де — ціла частина .

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26. де — ціла частина .

27.

28.

29.

30.

Завдання 2

Обчислити границі:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Завдання 3

Обчислити границі:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Завдання 4

Обчислити границі:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Завдання 5

Знайти порядок малості і виділити головну частину нескінченно малої функції відносно при .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Завдання 6

Знайти порядок росту і виділити головну частину нескінченно великої функції відносно при .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Читайте також:

1. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
2. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
3. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
4. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
5. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
6. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
7. Асимптоти графіка функції
8. Асимптоти графіка функції
9. Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
10. Базові функції, логічні функції
11. Банки як провідні суб’єкти фінансового посередництва. Функції банків.
12. Банківська система та її основні функції

Переглядів: 2553