Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
У попередніх параграфах напруження й зусилля в пластинці виражені через прогини її серединної площини. Отже, для визначення напружень і зусиль необхідно знати функцію прогинів .
Виріжемо із серединної площини пластинки нескінченно малий елемент розмірами і покажемо прикладені до нього зусилля (рис. 5.5).
Рис. 5.5. Зусилля в нескінченно малому елементі
На грані діє поперечна сила . На грані , що відстоїть від грані на нескінченно малій відстані , поперечна сила одержує нескінченно мале збільшення і дорівнює .
Аналогічно, на гранях і діють відповідно поперечні сили й . Нормально до серединної площини діє поверхневе навантаження інтенсивністю .
Для того щоб розглянутий елемент серединної площини перебував у рівновазі, повинні задовольнятися шість умов рівноваги: три рівняння проекцій сил на координатні осі і три рівняння моментів щодо цих осей. При цьому всі зусилля варто множити на довжину грані, по якій вони діють.
Спроектуємо всі сили, зображені на рис. 5.5, на вісь :
.
Після спрощення одержуємо
.
(5.12)
Рівняння моментів всіх сил щодо осі має вигляд
Після спрощення одержуємо
.
(5.13)
Аналогічно, з рівняння моментів щодо осі виходить
.
(5.14)
Виключимо з рівнянь (5.12)-(5.14) поперечні сили. У результаті одержимо
.
Підставимо в це рівняння вирази моментів (5.8) і (5.10):
,
звідки після спрощення
,
(5.15)
або
.
(5.16)
Одержали основне рівняння згинання пластинки, яке звичайно називається рівнянням Софі Жермєн. При його інтегруванні з'являться довільні постійні, які повинні бути визначені з умов на контурі пластинки, що залежать від характеру закріплення її країв.