• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Підмножини. Універсальна множина.

Означення 1.1.3. Множину A називають підмножиною множини B тоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини A належить і множині B.

Позначують AÍB або BÊA. Читають: “множина A міститься у множині B”, “множина В містить множину А”. Знаки Í і Ê називаються знаками включення або нестрогої нерівності.

Якщо AÍB, однак A¹B, то пишуть AÌB і називають множину A власною (строгою або істинною) підмножиною множини B. Знак Ì (або É), на відміну від знака Í (або Ê), називається знаком строгого включення.

Очевидно, що для будь-якої множини A виконується AÍA. Крім того, прийнято вважати, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини A, тобто ÆÍA (зокрема, ÆÍÆ). Множини А і Æ називають невласними підмножинами множини А, всі інші – власні.

Слід чітко розуміти різницю між знаками Î і Í та не плутати ситуації їхнього вживання. Для будь-якого об’єкта x виконується xÏÆ.

Наприклад,

{a,b}Í{{a,b},{b,c}}, aÎ{a,b}, {c}Ï{a,c}, {a}Í{a,b}.

Властивості підмножин:

§ – рефлексивність;

§ якщо і , то – антисиметричність;

§ якщо і , то – транзитивність.

Разом з множиною А іноді доводиться мати справу з множиною всіх її підмножин, яку на честь Джорджа Буля назвали буліаном множини А і позначають ß (А). Отже, за означенням:

.

Наприклад, якщо , то .

Зауважимо, що якщо множина А має п елементів, то буліан міститиме елементів, через що його називають множиною-степенем множини А.

У конкретній математичній теорії буває зручно вважати, що всі розглядувані множини є підмножинами деякої фіксованої множини, яку називають універсальною множиною або універсумом і позначають через E (або U). Наприклад, в елементарній алгебрі такою універсальною множиною можна вважати множину дійсних чисел R, у вищій алгебрі – множину комплексних чисел C, в арифметиці – множину цілих чисел Z, в традиційній планіметрії – множину всіх точок площини або множину всіх геометричних об’єктів, тобто множину множин точок на площині тощо.

У процесі вивчення множин зручно застосовувати так звані діаграми Ейлера-Венна. На них універсальну множину схематично зображують у вигляді прямокутника, а різні її підмножини – у виглядів кругів чи інших фігур всередині цього прямокутника. Наприклад, на даному рисунку зображено універсальну множину Е та її підмножини A, B i C, причому .

Читайте також:

1. Діалог як універсальна форма спілкування
2. Естетичне як універсальна категорія естетики
3. Корупція як універсальна проблема суспільства.
4. Множина. Операції з множинами
5. Підмножина. Рівні множини. Зображення множин і зв’язків між ними за допомогою кругів Ейлера
6. Підприємство як універсальна категорія: основні підходи
7. Поняття множини і елемента множини. Порожня множина. Способи задання множин
8. Сталь прокатна широкосмугова універсальна ГОСТ 82-76
9. Універсальна біржа — біржа, яка здійснює операції не тільки з широким асортиментом товарів, а й з валютою, цінними паперами та фрахтовими контрактами.
10. Універсальна динамічна характеристика автомобіля
11. Універсальна система для автоматизації бухгалтерського обліку та управління підприємством SMarket 4.0 САТеліт

Переглядів: 3566