МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
ТЕМА 3. Допоміжний математичний матеріалПлан
1. Матриці: поняття, види, операції, властивості, визначник.При розв’язанні економічних задач використовуються таблиці значень, системи регресій, які зручно записувати лаконічно, з використанням матричних позначень. Матриці – це прямокутні таблиці елементів, розташовані у рядках і стовпцях. Матриця [А] називається прямокутною матрицею порядку n на m, або nxm (n – число рядків, m – число стовпців).
Матриця, в якій число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною. Порядок квадратної матриці визначається одним числом – кількістю рядків (стовпців). Матриця, яка складається з одного рядка елементів, називається вектором – рядком. Матриця, яка складається з одного стовпця елементів, називається вектором – стовпцем. Квадратна матриця називається діагональною, якщо елементи, які не належать головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, в якій кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою [Е]. Одинична матриця має вигляд: Матриця, в якої всі елементи дорівнюють нулю, називається нульовою. Квадратна матриця [А] порядку n називається симетричною, якщо виконується умова для всіх елементів матриці. Матриця [A] дорівнює матриці [B], якщо вони одинакових розмірів, наприклад, nxm, і мають однакові відповідні елементи: . Розглянемо дії над матрицями 1. Додавання матриць Додавання матриць вводиться тільки для матриць одного порядку. Сумою двох матриць [A] і [B] порядку nxm називається матриця [C], яка має такий самий порядок mxn, як і матриці [А] і [В], причому кожен елемент матриці [C] дорівнює сумі відповідних елементів матриць [A] і [B]: 2. Множення числа на матрицю Добутком числа на матрицю [A] порядку nxm називається матриця [B] порядку nxm, кожний елемент якої дорівнює добутку числа на відповідний елемент матриці [A]: = . Для додавання і множення матриць на число справедливі такі операції: 1) [A] + [B] = [B] + [A] – комутативний закон додавання матриць; 2) [A] + ([B] + [C]) = ([A] + [B]) + [C] – асоціативний закон додавання матриць; 3) (b[A]) = ( b)[A] - асоціативний закон множення чисел на матрицю; 4) ([A] + [B]) = [A] + [B] – дистрибутивний закон множення числа на суму матриць; 5) ( + b)[A] = [A] + [B] - дистрибутивний закон множення cуми чисел на матрицю. 3. Добуток матриць Добуток двох матриць вводиться лише для узгоджених матриць. Дві матриці [A] і [B] називаються узгодженими, якщо кількість стовпців першої матриці [A] дорівнює кількості рядків другої матриці [B]. Якщо матриці [A] порядку nxm і [B] порядку mxp узгоджені, то добутком цих матриць називається така матриця [С] порядку nxp, для якої елемент дорівнює добутку кожного елемента -го рядка матриці [A] на -й стовпець матриці [B].
Операція множення матриць не комутативна: . Квадратну матрицю можна помножити саму на себе, тобто піднести до квадрата. Для дій над матрицями справедливі такі властивості: 1) - асоціативний закон множення матриць; 2) - дистрибутивний закон множення матриці на суму матриць; 3) - комутативний закон множення квадратної матриці [A] на одиничну матрицю [E] такого ж порядку. 4. Транспонування матриць Матриця [A] називається транспонованою відносно матриці [A], якщо кожен стовпець матриці [A] є відповідним рядком матриці [A], тобто перший стовпець матриці [A] є першим рядком матриці [A], відповідно другий стовпець матриці [A] є другим рядком матриці [A] тощо. Для елементів транспонованих матриць виконується умова . Якщо квадратна матриця [A] симетрична, то виконується умова . Властивості транспонованих матриь: 1. ([A] ) ; 2. ([A]+[B]) ; 3. ([A] [B]) 4. ([A] [B] [C]) . 5. Обернена матриця Ролзглянемо невироджену матрицю п-го порядку. Квадратна матриця [A] називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю, тобто det [A] , і виродженою або особливою, якщо її визначник дорівнює нулю, тобто det [A] = 0.
. Квадратна матриця [A] називається оберненою до квадратної матриці [A] того ж порядку, якщо їх добуток дорівнює одиничній матриці: . 6. Визначник матриці Визначник матриці [A] – це число det [A], яке знаходиться за встановленим правилом. Для матриці другого порядку визначник обчислюється за формулою: [A] = = . Для матриці третього порядку визначник обчислюється за формулою: [A] = = = Отже, підсумовуючи сказане, визначник – це функція, яка кожній матриці, за виключенням вироджених, ставить у відповідність дійсне число. Для обчислення визначників матриць вищих порядків зручно використовувати пакет електронних таблиць Excel.
2. Диференційне числення в матричній формі.Розглянемо деякі випадки диференційного числення в матричній формі, які використовуються в економетрії. 1. Нехай задані вектори , . Знайдемо частинну похідну за змінною від скалярного добутку ( ): , звідки випливає, що похідна від скалярного добутку векторів ( ) за одним із них дорівнює другому вектору:
. 2. Розглянемо добуток , де [A] – квадратна симетрична матриця порядку п: Знайдемо частинні похідні за елементами вектора : Це подвоєний добуток і-го рядка матриці [A] на вектор стовпець Х: Враховуючи, що , а також, що для симетричної матриці , отримаємо альтернативну формулу: 3. Розглянемо квадратичну форму як функцію елементів матриці [A]. Знайдемо частинну похідну за елементом : Всього таких похідних буде nxn. Звідси: . 4. Знайдемо другу частинну похідну за вектором Х: . Читайте також:
|
||||||||
|